將數學實驗的思想和方法融入大學數學教學

韓 明

（福建工程學院數理系，福州 350108）

將數學實驗的思想和方法融入大學數學教學

韓 明

（福建工程學院數理系，福州 350108）

大學數學教學中應注重理論聯系實際，注重數學思想和方法的講授，強調應用案例中融入數學實驗思想的新教學方法.改革課堂教學方法，探索新的教學模式，加強學生的實踐性教學環節，培養學生的應用和創新能力.最后，本文給出了幾個例子顯示了數學實驗與大學數學教學結合的效果.

大學數學，數學實驗，教學改革，實踐，創新

1 引 言

傳統的數學課程教學方法是老師講、學生練.這種模式注重培養學生進行精密的計算、嚴密的邏輯推理能力，而忽視了對學生主動思考、自主創新能力的培養.在這種教學模式下，學生對數學的認識也僅是停留在記公式、做計算題和證明題上.這與當前社會對科技人才的培養中數學素質和能力的要求相差甚遠.從上世紀90年代中期開始，數學實驗作為大學數學教學改革的產物在國內高等院校誕生，它以與傳統數學教學不同的方式在大學數學教育中引起廣泛的興趣.

1989年，著名的科學家錢學森教授在中國數學會教育與科研座談會上提出：“電子計算機的出現對數學科學的發展產生了深刻的影響，大學理工科的數學課程是不是需要改革一番？”

1992年，美國工業與應用數學學會的一篇論文就指出：“一切科學與工程技術人員的教育必須包括愈來愈多的數學和計算機科學的內容.數學建模和相伴的計算正在成為工程設計中的關鍵工具.”美國科學、工程和公共事業政策委員會在一份報告中曾指出：“今天，在科學技術中最為有用的領域就是數值分析與數學建模.”所有這些思想都與數學建模、數學實驗所包含的內容密切相關.

周遠清（前教育部副部長）、姜啟源發表在2006年1月11日《光明日報》上的文章《數學建模競賽實現了什么？》指出：十幾年來在我國開展的“全國大學生數學建模競賽”的實踐已經證實了數學建模競賽至少實現了以下兩點：（1）提高了學生的綜合素質；（2）推動了高校教育改革.

實踐證明：數學建模是連接“學”和“用”的一個橋梁.李大潛院士提出：“把數學建模的思想和方法融入到大學的主干數學課程中去.”文獻［1］和［2］已經做了這方面的嘗試工作.目前，多數專業的主干數學課程主要有《高等數學》、《線性代數》和《概率論與數理統計》，而數學實驗是連接這三門課程與數學建模（Mathematical Modelling）的一個橋梁.因此仿照李大潛院士的說法，我們可以提出：“把數學實驗的思想和方法融入到大學的主干數學課程中去.”文獻［3］對數學類專業的課程，已經做了這方面的嘗試工作；本文將要對大學數學類課程，做這方面的嘗試工作.

21世紀對各類專業技術人才的培養中數學素質和能力的要求越來越高，我們培養的人才應具有帶專業背景的實際問題建立數學模型的能力，這樣才能在實際工作中發揮更大的創造性.把數學實驗的思想和方法融入到大學的主干數學課程中去，正是為培養學生運用計算機研究、學習數學的能力，鍛煉學生動手能力，進而提高學生的創造能力.

2 什么是數學實驗

大家都知道物理實驗和化學實驗，那么什么是數學實驗呢？長期以來，人們對數學教學的認識就是概念、定理、公式和解題.在傳統的數學教學過程中，教師在黑板上講數學，而學生則在課堂上聽數學和在紙上做題目.這樣，對多數學生而言，數學的發現探索活動沒有能夠真正開展起來，學習數學的積極性也沒有真正被調動出來.

隨著計算機的普及和發展，改變了數學只用紙和筆進行研究的傳統方式，特別是利用計算機成功地解決了“四色問題”對數學領域產生了巨大的影響，盡管有些數學家不承認這是一個證明（即嚴格的按數學邏輯推理得到的證明），但是問題的最終解決還是被數學界接受了.20世紀70年代末，我國數學家吳文俊從中國傳統的數學機械化思想出發，創立了幾何定理機器（計算機）證明的“吳方法”，實現了利用計算機進行推理證明的突破，獲得了國內外學術界的高度稱贊與廣泛重視，他因此獲得我國首屆重大科技成果獎.

隨著科學技術的進步，尤其是計算機技術的快速發展，數學對當代科學乃至整個社會的影響和作用日益顯著.數學成為科學研究的主要支柱，其方法及計算已經與理論研究和科學實驗成為科學研究中不可缺少的手段.同時現代數學幾乎滲透到包括自然科學、經濟管理以至人文社會科學在內的所有學科和應用領域中，通過建立數學模型（Mathematical Model）、應用數學理論和方法并結合計算機來解決實際問題已成為極其普遍的模式.因此，社會對科技人才的培養中的數學素質和能力已經提出了更高的要求.然而傳統的數學課程對此反映不足，不能體現數學在科技和現實生活中所起的重要作用.因此出現了像李大潛院士指出的那種“長期存在的矛盾現象：一方面數學很有用，另一方面學生學了數學以后卻不會用.”

關于什么是數學實驗，目前還沒有一個統一的定義.所謂數學實驗（Mathematical experiment），是在現代教育理論（特別是建構主義學習理論）指導下，旨在引導學生借助數學軟件理解抽象的數學理論、自主探索和研究數學問題以及數學的應用問題的實踐過程（文獻［4］）.

建構主義學習理論強調以學生為中心，要求學生由外部刺激的被動接受者和知識的灌輸對象轉變為信息加工的主體、知識意義的主動建構者；教師由知識的傳授者、灌輸者轉變為學生主動建構意義的幫助者、促進者.計算機技術的普及，為實現建構主義的學習環境提供了理想的條件.可見在建構主義學習環境下，教師和學生的地位、作用與傳統教學相比已發生很大變化.這就意味著教師應該在數學實驗教學中要采用全新的教學模式、全新的教學方法和教學設計思想.

學生憑借簡單易學、高度集成化的數學軟件系統，能方便地對數學問題或實際應用問題進行符號演算、數值計算和圖形分析，從而能夠提高數學實踐能力、培養探索精神，進而在實踐和探索過程中提高學生的創造能力.數學實驗既然是實驗，就要求學生多動手、多上機、勤思考，在教師的指導下探索解決實際問題的方法，在失敗與成功中獲得真知.

在提到數學實驗時，不能不提數學建模以及全國大學生數學建模競賽.由教育部高教司和中國工業與應用數學學會共同主辦的全國大學生數學建模競賽，每年一次，十幾年來這項競賽的規模以平均年增長25%以上的速度發展.競賽雖然發展得如此迅速，但是參加者畢竟還是很少一部分學生，要使它具有強大的生命力，必須與日常的教學活動和教育改革相結合.十幾年來，在競賽的推動下許多高校相繼開設了數學建模課程以及與此密切相關的數學實驗課程.另外怎樣在大學的主干數學課程中融入數學實驗的思想，也是十分有意義的工作.

3 把數學實驗的思想和方法融入到大學的主干數學課程

以下通過幾個例子，應用MATLAB軟件，從幾個不同的側面看一下“數學實驗的思想和方法融入到大學的主干數學課程”的效果.

如果用手工推導，得出這樣的結果需要繁雜、細致的工作，而且稍有不慎就可能得出錯誤的結果.

通過例1我們看到，手工推導得出的結果的可信程度有時會受到懷疑.

例2 在《線性代數》課程中學習了求矩陣的行列式的方法，比如用代數余子式的方法可以把一個n階行列式問題化簡成n-1階行列式問題，而n-1階行列式又可化簡為n-2階行列式問題，這樣用遞歸的方法可以最終化簡成二階行列式求解問題.因此可以得到結論，任意階矩陣的行列式都可以直接求出來.

事實上，這個結論忽視了算法的計算復雜度問題，這樣的算法計算量龐大，高達（n-1）（n＋1）！＋n.比如n＝20時，運算次數為（n-1）（n＋1）！＋n＝9.707279012624794×1020（應用MATLAB，執行命令19＊factorial（21）＋20即可得到），相當于在每秒億次的巨型機（如中國最快的銀河計算機）上3000年的計算量.考慮Hilbert矩陣

以下應用MATLAB分別計算n＝10和n＝20時Hilbert矩陣的行列式和秩.

以上結果說明n＝10和n＝20時Hilbert矩陣的行列式的值接近零，這也說明高階Hilbert矩陣接近奇異矩陣.以上結果還說明，雖然n＝10和n＝20時Hilbert矩陣都接近奇異矩陣，但它們都是滿秩矩陣，因此都是非奇異矩陣.

應用MATLAB軟件，（i）畫出n個人中至少有兩個人生日相同的概率曲線（1≤n≤100）；（ii）對n＝10，20，30，40，50，60，70，80，計算n個人中至少有兩個人生日相同的概率.

解 （i）輸入命題

運行結果見下表

n 10 20 30 40 50 60 70 80 pn 0.1169 0.4114 0.7063 0.8912 0.9704 0.99410.9992 0.9999

例4 若

解 （i）輸入命令x＝［0∶0.01∶2，2＋eps∶0.01∶5，5］；

運行結果見圖2.

圖1 生日問題的概率曲線圖

圖2 函數f（x）的區域填充圖

例1是符號演算問題，例2，例3的（2）和例4的（2）是數值計算問題，例3的（i）和例4的（i）是圖形分析問題.應該說明，以上四個例子中的程序都已通過MATLAB7.0的運行.

4 結束語

通過以上四個例子，我們從幾個不同的側面初步地領略了“把數學實驗的思想和方法融入到大學的主干數學課程中去”的效果.同濟大學出版社出版了一套“大學數學”教材，包括《高等數學》，《線性代數》，《概率論與數理統計》，《數學實驗》等，這套教材體現了“把數學實驗的思想和方法融入到大學的主干數學課程中去”.關于進一步需要研究的其他問題［4，6］，還需要我們繼續努力探索.

［1］ 劉瓊蓀，鐘波.將數學建模思想融入工科“概率統計”教學中［J］.大學數學，2006，22（2）：152—154.

［2］ 黎彬，陳小強，李世貴.數學建模思想融入大學數學教學研究與實踐［J］.重慶科技學院學報，2007，14（4）：171—172.

［3］ 張小紅.將數學實驗的思想融入數學類課程［C］∥大學數學課程報告論壇組委會.大學數學課程報告論壇論文集2006.北京：高等教育出版社，2007：254—256.

［4］ 韓明，王家寶，李林.數學實驗（MATLAB版）［M］.上海：同濟大學出版社，2009.

［5］ 韓明.概率論與數理統計（第二版）［M］.上海：同濟大學出版社，2010.

［6］ 薛定宇，陳陽泉.高等應用數學問題的MATLAB求解［M］.北京：清華大學出版社，2004.

Applying the Idea and Methods of Mathematical Experiment to the Teaching of College Mathematics

H AN Ming
（Department of Mathematics and Physics，Fujian University of Technology，Fuzhou 350108，China）

In the teaching of college mathematic，teachers should combine theory with practice，focus on the teaching of mathematics ideas and methods and apply the idea of mathematical experiment in application cases.They should improve classroom teaching，exolore new teaching model and focus on students’practice to develop their abilities in application and innovation.Finally，this papre several examples are given，show that the effect of mathematical experiment to the teaching of the course of college mathematics.

college mathematic；mathematical experiment；teaching reformation；practice；innovation

G424.1

C

1672-1454（2011）04-0137-05

2008-09-05