概率分布的實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題

易利亞

(貴州大學(xué)人民武裝學(xué)院,貴陽(yáng) 550025)

概率分布的實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題

易利亞

(貴州大學(xué)人民武裝學(xué)院,貴陽(yáng) 550025)

基于一維隨機(jī)變量,通過(guò)闡釋概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的內(nèi)在本質(zhì),給出了概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的一個(gè)充分必要條件,得到分布函數(shù)族及其連續(xù)性特征,揭示出概率論中分布函數(shù)定義所蘊(yùn)含的合理性和深刻性.

概率論;概率分布的實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn);分布函數(shù)族;連續(xù)性

1 引 言

在柯?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕矢爬椤胺秦?fù)的、規(guī)范的、可列可加的集函數(shù)”后,概率便在測(cè)度論中獲得了最深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì)[1],這使得在一般意義下通過(guò)研究概率分布來(lái)達(dá)到對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的揭示有了理論支撐.這就是分布函數(shù)問(wèn)題.

分布函數(shù)問(wèn)題更一般的提法是：概率分布的實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題.根據(jù)實(shí)分析理論,一定條件下幾乎處處相等的實(shí)函數(shù)都可作為給定隨機(jī)變量的概率分布函數(shù),表明能實(shí)現(xiàn)概率分布的實(shí)函數(shù)具有特定的結(jié)構(gòu),它們有著區(qū)別于其它實(shí)函數(shù)的共同本質(zhì).然而概率論所定義的兩型分布函數(shù)F1(x)=P{ξ∈(-∞,x]}與F2(x)=P{ξ∈(-∞,x)}在連續(xù)性質(zhì)上所表現(xiàn)出來(lái)的不一致,常使學(xué)習(xí)者對(duì)這種共同本質(zhì)“莫衷一是”,這在一定意義上影響了分布函數(shù)概念認(rèn)知的完備性.

基于此,筆者對(duì)概率分布的可實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)性、概率分布函數(shù)區(qū)別于其它實(shí)函數(shù)的本質(zhì)特征、概率分布函數(shù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)三個(gè)方面進(jìn)行了討論,給出了概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的一個(gè)充分必要條件,揭示了分布函數(shù)的族結(jié)構(gòu)及其連續(xù)性特征,以此來(lái)闡釋概率論所給定義的合理性和深刻意涵,旨在深化對(duì)分布函數(shù)概念的認(rèn)識(shí).

2 概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的本質(zhì)

2.1 概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的概念.

概率論在把隨機(jī)現(xiàn)象轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,經(jīng)歷了兩次抽象.第一次抽象是通過(guò)引入隨機(jī)事件概念,建立起基于σ-代數(shù)的概率空間(Ω,F,P).第二次抽象是在(Ω,F,P)的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入隨機(jī)變量概念,建立起從樣本空間Ω到實(shí)數(shù)集R上的映射關(guān)系,從而隨機(jī)現(xiàn)象的問(wèn)題就可以借助Borelσ-代數(shù),用實(shí)分析的思想和方法來(lái)加以討論.

如果說(shuō)第一次抽象奠定了公理化概率論的基礎(chǔ),那么第二次抽象的理論價(jià)值在于,它提示了隨機(jī)變量作為(基本)隨機(jī)事件的映射雖然是隨機(jī)而變的,它的值不能事先確定,但對(duì)于給定的x,事件{ξ∈(-∞,x]}(定義為{ω∈Ωξ(ω)∈(-∞,x]}∈F )或{ξ∈(-∞,x)}(定義為{ω∈Ω(ω)∈(-∞,x)}∈F )的概率遵循著某種“規(guī)則性”：兩型集{ξ∈(-∞,x]},{ξ∈(-∞,x)}的概率可由x按某種法則唯一地確定.這表明,概率分布總是可以實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的.

但是,現(xiàn)有分布理論把這種可實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)性認(rèn)知為隨機(jī)變量ξ取(-∞,x]型集或(-∞,x)型集時(shí),其概率P(·)可用x的函數(shù)來(lái)“表示”,而當(dāng)出現(xiàn)截然不同的連續(xù)性時(shí),卻沒(méi)有對(duì)這種對(duì)立給出相應(yīng)的闡釋.這不能不說(shuō)是一個(gè)欠缺.

事實(shí)上,概率的測(cè)度本質(zhì)決定了概率分布在一般意義下是不可能用實(shí)函數(shù)來(lái)“表示”的,因?yàn)樘热羧绱?概率就無(wú)需再言什么測(cè)度本質(zhì)了.所給兩型定義實(shí)際上也并沒(méi)有完全實(shí)現(xiàn)用實(shí)函數(shù)來(lái)“表示”集函數(shù),這從它們對(duì)概率分布的描述時(shí)不得不借助實(shí)函數(shù)的單側(cè)極限手段就可見(jiàn)出.

其實(shí)正是這種借助,剛好提示了概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的內(nèi)在規(guī)定性：隨機(jī)變量的概率分布只能是用實(shí)函數(shù)來(lái)“描述”的.兩型分布函數(shù)也僅是表明,第一型當(dāng)點(diǎn)集取(-∞,x]型集時(shí),概率P(·)的分布可用x的函數(shù)F1(x)來(lái)表示,而當(dāng)點(diǎn)集取(-∞,x)時(shí),就只能用F1(x-0)來(lái)表示了;同樣,第二型在點(diǎn)集取(-∞,x)時(shí),概率P(·)的分布可用x的函數(shù)F2(x)來(lái)表示,而當(dāng)點(diǎn)集取(-∞,x]時(shí),就只能用F1(x+0)來(lái)表示.

因而從根本上講,概率分布所遵循的“規(guī)則性”決定了其實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的單側(cè)極限表示性,這就是概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的本質(zhì).換句話說(shuō),概率分布的實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)是通過(guò)實(shí)函數(shù)的單側(cè)極限表示來(lái)實(shí)現(xiàn)的.這種認(rèn)識(shí)的合理性不僅可在F1(x),F2(x)描述同一隨機(jī)變量概率分布時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的差異中得到傳達(dá),而且在L-S測(cè)度論中可以嚴(yán)格證明.

基于上面的認(rèn)識(shí),在概率空間(Ω,F,P)中,(-∞,x]或(-∞,x)型集的概率總可以用一個(gè)實(shí)函數(shù)的單側(cè)極限來(lái)表示,其一般形式為：

為此,可給出概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的如下定義.

定義1 設(shè)ξ是(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量,F(x)是定義在R上的函數(shù).若

則稱P(·)的分布在R上是可實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的,F(x)叫隨機(jī)變量ξ的概率分布函數(shù),簡(jiǎn)稱為分布函數(shù).

此定義下的F(x)有著如下基本性質(zhì).

定理1 設(shè)F(x)是隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù),則

(i)F(x)單調(diào)不減;

(ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1.

證(i)用反證法.假設(shè)F(x)非單調(diào)不減,則至少存在一點(diǎn)x0∈R,有

這與概率的非負(fù)性矛盾,所以原結(jié)論成立.

(ii)由結(jié)論(i),任給t＞0,有定理1的重要意義在于,它揭示了概率分布函數(shù)區(qū)別于其它實(shí)函數(shù)的重要特征：它是定義在R上的非負(fù)、規(guī)范、單調(diào)不減函數(shù).

應(yīng)用L-S測(cè)度理論可以證明,定義在R上的非負(fù)、規(guī)范、單調(diào)不減函數(shù)F(x)所確定的L-S測(cè)度必是概率測(cè)度,因而F(x)必是該概率空間某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).讀者可參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]自己給出證明.

2.2 概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)定理.

文獻(xiàn)[3]曾對(duì)引言中的兩型分布函數(shù)的異同作過(guò)具體比較.遺憾的是,該文作者未能進(jìn)一步揭示出兩定義蘊(yùn)涵著的統(tǒng)一本質(zhì).這就是下面的定理.

定理2(概率分布的實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)定理) 定義在R上的函數(shù)F(x)是給定隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)的充分必要條件是,F(x)可表示成如下形式：

這里,當(dāng)在F(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),λ∈R;當(dāng)在F(x)的間斷點(diǎn)時(shí),λ∈[0,1].

證先證必要性.設(shè)F(x)是給定隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù),因?yàn)閱握{(diào)不減,故?x∈R,

則m,n均為非負(fù)數(shù).當(dāng)m,n不同時(shí)為0時(shí),F(x)在x點(diǎn)非連續(xù).不妨設(shè)n≠0,有

同理可證,F(x-0)=P{ξ∈(-∞,x)}.所以由定義1知,F(x)是給定隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù).

定理2表明,概率分布函數(shù)值由(-∞,x]型集、(-∞,x)型集的概率值及參數(shù)λ完全確定,因而它深刻地反映了概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的全部本質(zhì).

特別地,在定理2中,當(dāng)λ=1時(shí),F(x)=P{ξ∈(-∞,x]}=F1(x);當(dāng)λ=0時(shí),F(x) =P{ξ∈(-∞,x)}=F2(x).可見(jiàn)F1(x),F2(x)都是概率分布函數(shù)的特殊情形.

3 分布函數(shù)的連續(xù)性與結(jié)構(gòu)

3.1關(guān)于連續(xù)性的若干結(jié)論.

下面是定理2的三個(gè)推論,它們較好地揭示了分布函數(shù)的連續(xù)性本質(zhì).

推論1 設(shè)F(x)是隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù),則F(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是

證由定理2知顯然成立.

稱概率值P{ξ=x0}為分布函數(shù)F(x)在x0點(diǎn)的躍度,它的一般形式為

推論2 設(shè)F(x)是隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù),x0是其間斷點(diǎn),則當(dāng)λ=1時(shí),F(x)在x0點(diǎn)是右連續(xù)的;當(dāng)λ=0時(shí),F(x)在x0點(diǎn)是左連續(xù)的;當(dāng)0＜λ＜1時(shí),F(x)在x0點(diǎn)是無(wú)單側(cè)連續(xù)的.

證只證最后一個(gè)結(jié)論,用反證法.不妨設(shè)F(x)在x0點(diǎn)左連續(xù),則F(x0-0)=F(x0),有

得λP{ξ=x0}=0.而x0是間斷點(diǎn),根據(jù)推論1,P{ξ=x0}≠0,故λ=0,與0＜λ＜1矛盾.

推論2表明,單側(cè)連續(xù)并非分布函數(shù)的本質(zhì)屬性,兩型定義在連續(xù)性上的對(duì)立,實(shí)在是“黑馬”與“白馬”的對(duì)立,而在此推論下,“馬”的本質(zhì)昭然若揭.

推論3 若隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)F(x)在R上連續(xù),則F(x)是唯一的.

證由推論1,當(dāng)F(x)在R上連續(xù)時(shí),?x∈R,P{ξ=x}=0.現(xiàn)假設(shè)ξ還有另一個(gè)分布函數(shù)G(x),則由定理2知,?λ,λ′∈R,λ≠λ′,有

綜上,能實(shí)現(xiàn)概率分布的實(shí)函數(shù)F(x)區(qū)別于其它實(shí)函數(shù)的根本特征在于：它(們)是定義在R上的非負(fù)、規(guī)范、單調(diào)不減、在有間斷點(diǎn)時(shí)可修改定義使其至少單側(cè)連續(xù)的函數(shù).

3.2 分布函數(shù)族及其形式統(tǒng)一性.

運(yùn)用實(shí)分析理論,可得到分布函數(shù)被稱為L(zhǎng)ebesgue分解的一個(gè)結(jié)構(gòu)[4],在那里,任何分布函數(shù)都可由三種基元函數(shù)(離散型分布函數(shù)、連續(xù)型分布函數(shù)和奇異型分布函數(shù))迭加而成.這是一種分析結(jié)構(gòu)意義下的分解.

我們當(dāng)然也可在代數(shù)結(jié)構(gòu)意義下剖析概率分布函數(shù)的結(jié)構(gòu).根據(jù)定理2和引言中的兩型定義,可得出如下關(guān)系式：

這里,當(dāng)在F(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),λ∈R,當(dāng)在F(x)的間斷點(diǎn)時(shí),λ∈[0,1].可見(jiàn)定義1下的分布函數(shù)恰好是引言中兩型分布函數(shù)的線性組合.這表明能實(shí)現(xiàn)概率分布的實(shí)函數(shù)自成一族,它們有著較好的形式統(tǒng)一性.

至于分布函數(shù)族中λ的實(shí)際意義,我們以一個(gè)實(shí)例加以說(shuō)明.

3.3 兩型分布函數(shù)定義的合理性.

下面從分布函數(shù)族出發(fā),對(duì)引言中兩型定義的合理性進(jìn)行討論.

定理3 在分布函數(shù)族F(x)=λF1(x)+(1-λ)F2(x)中,對(duì)于給定的x,F1(x),F2(x)線性相關(guān)的充分必要條件是F(x)的躍度為0.

證必要性.由F1(x),F2(x)線性相關(guān),有F1(x)=kF2(x)(k≠0),于是

注意到F(+∞)=1,F2(+∞)=1,故有1=λk+1-λ,所以k=1.從而F1(x)=F(x)=F2(x) ,即F(x-0)=F(x)=F(x+0),故F(x)在x點(diǎn)處連續(xù).由推論3知,P{ξ=x}=0.

充分性.顯然,當(dāng)P{ξ=x}=0時(shí),有F(x-0)=F(x)=F(x+0),即F1(x)=F2(x),所以F1(x),F2(x)線性相關(guān).

此定理表明,分布函數(shù)族中的所有分布函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的解析表達(dá)是同一的,而在不連續(xù)點(diǎn)處,則根據(jù)躍度定義和借助單側(cè)極限手段,可將整個(gè)分布函數(shù)族表達(dá)為如下形式：

可見(jiàn),對(duì)整個(gè)分布函數(shù)族而言,F1(x),F2(x)各自都具有基元特征,因而從概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的角度看,概率論中所給出的兩型分布函數(shù)定義是有著深刻的合理性的.

4 結(jié)束語(yǔ)

分布函數(shù)概念是概率論中一個(gè)十分重要的概念.盡管實(shí)分析理論已給出了一般測(cè)度意義下分布函數(shù)的特征,但對(duì)概率測(cè)度來(lái)說(shuō),多少顯得有些粗略,缺乏應(yīng)有的完備性.本文基于一維隨機(jī)變量,系統(tǒng)地闡釋了概率分布實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的內(nèi)在本質(zhì),并通過(guò)這種闡釋,還原了現(xiàn)有概率論中不曾討論的分布函數(shù)族及其內(nèi)在結(jié)構(gòu),并通過(guò)這種還原,揭示出概率論所給分布函數(shù)定義所蘊(yùn)含的合理性和深刻性,這對(duì)完整理解分布函數(shù)概念,無(wú)疑地具有積極意義.

[1] 江澤堅(jiān),吳智權(quán).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：人民教育出版社,1979.

[2] 程其襄,張奠宙,魏國(guó)強(qiáng),胡善文,王漱石.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社,2003.

[3] 陶應(yīng)奇.兩種分布函數(shù)的比較[J].綿陽(yáng)師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),1999,18(2)：18-19.

[4] 應(yīng)堅(jiān)剛,何萍.概率論[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2006.

The Question on the Real Function Realization of Probability Distribution

YI L i-ya
(The People’s Armed College,Guizhou University,Guiyang 550025,China)

Based on one-dimensional random variables,the writer gives a sufficient and necessary condition on the real function realization of probability distribution,obtains the family and continuity characteristic of the distribution function, and reveals the rationality and profundity of the definition of the distribution function in probability theory through explaining the intrinsic nature of the real function realization of probability distribution.

probability theory;real function realization of probability distribution;family of the distribution function;continuity

O211.1

A

1672-1454(2011)03-0139-06

2008-05-16