非線性波動(dòng)方程的各向異性有限元方法

王志軍, 郭 城

(鄭州師范學(xué)院,鄭州 450044)

非線性波動(dòng)方程的各向異性有限元方法

王志軍, 郭 城

(鄭州師范學(xué)院,鄭州 450044)

研究了非線性波動(dòng)方程的各向異性有限元方法,得到了半離散格式下的最優(yōu)誤差估計(jì).

非線性波動(dòng)方程;各向異性;半離散;誤差估計(jì)

1 引 言

考慮下面一類非線性波動(dòng)方程型問題

關(guān)于此類非線性方程的漸進(jìn)穩(wěn)定性或一致穩(wěn)定性研究有[1-3],而有關(guān)此類方程的數(shù)值分析的結(jié)果還不多見,所以尋求其相應(yīng)的數(shù)值方法就顯得更為重要.

本文首先建立了上述非線性波動(dòng)方程的各向異性有限元格式,證明了這種格式解的存在唯一性,其次得到了相應(yīng)的先驗(yàn)誤差估計(jì).

2 單元的構(gòu)造

引理1[4]上述定義的插值算子^I具有各向異性特征,即對多重指標(biāo)α=(α1,α2),當(dāng)|α|=1時(shí),有

設(shè)Jh是Ω的一個(gè)矩形剖分.對?K∈Jh我們假設(shè)hkx=hx,hky=hy,但不要求Jh滿足上述的正則性假設(shè)或擬一致假設(shè).對任意的K∈Jh,用(xK,yK)代表K的重心,2hx,2hy分別代表平行于x軸和y軸的兩邊的邊長.于是存在仿射變換FK:^K→K,x=xK+hx^x,y=yK+hy^y.有限元空間定義如下

插值算子Ih∶H2(Ω)→Vh可定義為

3 半離散格式的收斂性分析

顯然(6)是關(guān)于未知函數(shù)ψ(t)的二階非線性常微分方程組,當(dāng)給定初值uht(0),uh(0)時(shí),由[5]知(6)存在惟一解.

引理2[6]由插值定理易得

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[6] Ciarlet P G.The finite element method for elliptic problem[M].Amsterdam：North-Holland Publ.,1978.

An Anisotropic Finite Element Method for Nonlinear Wave Equations

WA N G Zhi-j un, GUO Cheng
(Zhengzhou Normal University,Zhengzhou 450052,China)

A kind of anisotropic finite element approximation to wave equation is discussed with semidiscretization, the same optimal error estimates.

nonlinear wave equations;anisotropic finite elements;semi-discrete;error estimate

O175.2;O242.21

A

1672-1454(2011)03-0150-03

2009-06-16