函數概念的起源、演變與發展

李孟芹

(天津工業大學理學院,天津 300160)

函數概念的起源、演變與發展

李孟芹

(天津工業大學理學院,天津 300160)

按照時間的推進,先后論述了函數概念的起源、誕生、嚴密化、飛躍及其擴展.

函數;概念;起源;演變;發展

1 引 言

今日的數學大廈是歷經數千年、數代數學家不斷建設完善的結果.其中函數概念從它于17世紀被引入以來,也伴隨著數學思想的發展,經歷了數次演變,逐漸從模糊走向嚴密.對于數學和科學來說,函數是一個最重要、最有意義的數學概念,是人類心智發展的一個重要標志[1].俄羅斯數學家亞歷山大洛夫將數學分為四個基本的、本質上不同的階段：第一階段是萌芽時期;第二階段是常量數學時期;第三階段是變量數學時期.隨著笛卡兒對坐標的引入,解析幾何被廣為接受;第四階段是現代數學時期,集合論的誕生,為數學發展開創了一個新時代,集合成為數學的新語言[2].隨著數學的發展,函數概念也經歷了演變,并隨之有了全新的定義,又擴展到數學的各個古老的、新興的分支領域之中,拓撲、泛函分析、函數空間、解析數論等都是運用函數開拓出的新的數學領域.

作為最能深刻刻畫現代數學發展的一個數學概念,認真地考察函數概念的起源、演變及其發展,不僅能夠進一步加深對函數概念的認識與把握,也是深入了解數學思想和整個數學理論發展的重要途徑.

2 函數概念的起源

對過去科學概念的確立認識,應當采用歷時的方法,按照歷史實際存在的境遇和觀點,來研究過去的科學[3].從歷史上看,函數概念的產生有以下三個來源.

2.1 科學的數學化,為函數概念刻畫奠定了基礎.

物理學的定量研究與描述,興起了科學的數學化,為函數概念刻畫奠定了基礎.自文藝復興以來,科學研究以認識和解釋自然現象和規律為宗旨,人們在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自轉和公轉,那么下降的物體為什么不發生偏移而還要垂直下落到地球上?還有,斜拋物體的射程、高度及軌跡是什么?科學家的興趣也集中在能夠解釋這些規律的公式上.伽利略等一大批科學家對運動和一些幾何內容作了定量研究,得出了一些規律性的變量之間關系,但都是文字關系描述,如“從靜止狀態開始的以定常加速度下降的物體,其經過的距離與所用的時間的平方成正比”,“兩個等體積圓柱體的側面積之比等于它們高度之比的平方根”,這標志科學數學化的開始.他雖然沒有采用字母和運算符號的表示,但已經明確出量與量之間的關系,為函數概念的內涵確定奠定了基礎.

2.2 代數符號化為函數概念奠定了重要的形式基礎.

從丟番圖到韋達,代數學逐步走出了文字敘述式表述,已經廣為接受用阿拉伯數字和字母進行運算、書寫代數式和代數方程.韋達用字母表示未知量的乘冪,成為算術與代數的分界,即代數是施行于事物的類或形式的運算方式.韋達力圖把代數學隱藏在幾何形式下的代數恒等式建立起來[4].笛卡兒對韋達使用的字母符號作了改進,將已知量和未知量的符號作了分區：他用字母表前面的字母,如a,b,c等表示已知量,用字母表末的字母,如x,y,z等表示未知量.這已成為現今的習慣用法.數學量、運算符號等的引入,逐步使代數擺脫了文字敘述,形成了鮮明、直觀、簡潔的表示和運算,為函數概念的表示和形式化打下了良好的基礎.

2.3 解析幾何的變量概念,為函數概念的誕生提供了前提.

1637年,笛卡兒在他的《幾何》中用字母表示幾何作圖中已知和未知的線段,并確定這些線段之間的相互關系,使同一個量能用兩種方式表示出來,從而得到一個代數方程.他引入坐標系和坐標變量x,y,這樣幾何中的一個曲線,就對應于x,y描述的一個代數方程.這標志,笛卡兒將數學的結構從幾何轉到了代數,也為函數概念的誕生提供了前提[5].

3 函數概念的誕生——“變量說”

函數一詞是由萊布尼茲于1673年引入的,但不是后來意義上的函數,僅僅用于表示任何一個隨曲線上的點的變動而變動的縱坐標、切線、法線等長度[1].

1697年,約翰·伯努利給出了函數的第一個定義：一個按照任何方式用變量和常量構成的量.1698年,他采用了萊布尼茲的說法,稱這個量為“x的函數”,表示為X.1718年,他又明確定義了一個變量的函數：由這個變量和常量的任意一種方式構成的量,表示為Φx.伯努利強調的是函數要用公式來表示[4].

1797年拉格朗日在他的《解析函數論》中把一元或多元函數定義為：自變量在其中可以按任意形式出現并對計算有用的表達式[4].換句話說,他認為,函數是運算的一個組合.

由以上史料分析可以看出,從函數概念的引入到18世紀末,人們對函數概念的定義在不斷改進,到18世紀末,函數概念的“變量說”：“函數是一些量依賴于另一些量的變化而變化的量,并且必須能用一些解析式或公式表示出來”得到了大家的普遍認可和應用.雖然此時的函數概念中已經蘊含了對應關系的意思,但仍沒有明確提出函數是某種對應關系,并且函數必須能用解析式表示出來的提法也使函數概念的內涵受到了約束,因為它只是函數概念的外延.

4 函數概念的嚴密化——“對應說”

解析表達式的函數定義占據了18世紀的統治地位,也受到歐拉等當時一大批大科學家的推崇.從數學的角度看,用確定的解析式來表達函數是正當的要求,但問題也正出于此,函數是否必須有解析式子?是否真如有些數學家所抱怨的：能用解析式子表達的函數是“真函數”,不能用解析式子表達的函數就是“假函數”呢?

函數的解析表達式及萊布尼茲引入的關于函數、導數、微分和積分等符號具有代數化和簡潔明朗的運算性,顯現出比幾何和其他表示的顯著優越性.在以歐拉為代表的代數表達式的形式演算推動下,歐洲大陸上的拉格朗日、拉普拉斯、歐拉、柯西、伯努利家族等迅速將形式演算方法拓展到物理、力學等科學研究之中,促進了常微分方程、偏微分方程、復變函數等新領域的形成與發展,這個過程反過來也刺激了函數概念的發展,促使人們從更加嚴密的角度來考察它,數學分析也得到向嚴密化的推進.

對函數的形式演算,需要將復雜的、超越的函數展成級數.由于對振動弦的研究,提出了函數整體性質刻畫的問題,而不一定都將函數表示成解析表達式,函數的概念可以描述隨意畫出的任意曲線(不規則函數、不連續函數等).對于過去以較簡單的代數函數性質直接推廣到所有函數上去的做法,引起廣泛爭論,引起了數學分析嚴密化問題,也開始了對函數概念的進一步探討.

1807年,傅立葉在研究熱傳導方程時,得到了現在稱為傅立葉級數的三角函數無窮級數.他稱,任意函數可以用正弦函數和余弦函數的無窮和來表示.這就引起了關于周期函數、連續性、可導性、收斂性等涉及數學分析的嚴密性問題.1811年,傅里葉談到了級數的收斂性.后來狄里克萊證明了：一個三角級數可以收斂于不連續函數.從此以后,函數概念不再強調純解析表達式,為函數概念向前邁進一步奠定了基礎.

比傅立葉更進一步,狄里克萊1837年給出了一個函數定義：假定a和b是兩個確定的值,x是一個變量,它順序變化取遍a和b之間的值,于是,如果對于每個x,有唯一的一個有限的y以如下方式與之對應：即當x從a連續地通過區間到達b時,y=f也類似地順序變化,那么y稱為該區間中x的連續函數.而且完全不必要要求y在整個區間中按同一規律依賴于x[5].按照這個定義,即使像下面定義的f,仍可說是函數：f在x為有理數時為1,當x為無理數時為0.這就是著名的狄里克萊函數.從此,人們普遍接受：沒有必要認為函數僅僅是可以用數學運算表示的那種關系.這個函數的定義比傅立葉的定義有了根本性的發展,引入了現代函數概念中的兩個要素：區間(即定義域)和對應.

1876年,狄里克萊的學生黎曼給出了一個一般性的函數概念：如果設z為可以取一切實數的變量,對于它的每個值對應到未定量w的唯一值,那么稱w是z的函數.這個定義已經很趨于現代的函數定義了.

1879年,Frege的定義：如果在一個表達式(其含義無需探究)中,一次或多次出現一個簡單或復合的符號,并且,我們認為這個符號在某些或所有出現的地方可以用其它事物代替(但各處要用同一事物代替),那么,我們稱表達式中保持不變的成分為函數,可替代的部分則是這個函數的自變量[5].在這一定義中,也已隱含了現代函數概念的兩個要素：定義域即定義中的可替代的部分;對應關系即定義中所說的表達式中保持不變的成分.

此后,又有許多數學家給出了函數的定義,都在強調：函數是變量間的某種“對應”關系,并且沒有必要認為函數僅僅是可以用數學運算表示的那種關系.

由以上史料分析可以看出,從18世紀末到19世紀后半葉,隨著數學的發展,函數概念也逐漸嚴密化,明確了函數不只是一個變量依賴于另一個變量的變化而變化的量,能否用解析式表示也無關緊要,重要的是：變量間必須存在“對應”關系,即對于每一個x值,一定對應于一個且僅對應于一個y的值.但對于“對應”的真正含義仍不夠明確,而且對于函數的概念,當時還沒有一個通用的定義.

5 函數概念的飛躍——“關系說”

從19世紀70年代開始,康托爾發表了一系列文章,系統地分析和刻畫了實數的連續性及無窮集合的性質,出現了連續統等問題的研究,逐步形成并誕生了集合理論.在康托爾開創了集合論理論后,由于其對于數學的基礎性,成為現代數學描述的基礎語言.因此,函數概念的定義再一次面臨著新變化.

1887年,戴德金的關于函數的定義：系統S上的一個映射蘊涵了一種規則,按照這種規則,S中每一個確定的元素s都對應著一個確定的對象,它成為s的映象,記作φ(s).我們也可以說,φ(s)對應于元素s,φ(s)由映射φ作用于s而產生或導出;s經映射φ變換成φ(s)[5].在這個定義中,首次用映射來描述函數,而且明確了映射中所蘊含的“規則”即對應“關系”才是函數概念的內涵,已非常接近函數的現代定義了.

1936年,布爾巴基給出了函數的現代定義：設E和F是兩個集合,它們可以不同,也可以相同,E中的一個變元x和F中的變元y之間一個關系成為一個函數關系,如果對每個x∈E,都存在唯一的y∈F,它滿足跟x的給定關系,表示為f:E→F[8].這就是用映射來表達的現代的函數概念.

現在的大部分數學教材中函數的定義：設X,Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中的每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應,則稱f為定義在X上的函數,記作f:X→Y, 通常也簡記作y=f(x),x∈X,其中x稱為自變量,y稱為因變量,X稱為定義域.

現代函數定義中,強調對應“法則”或對應“關系”f才是函數概念的內涵,而在先前的“對應說”中,沒有明確“對應”的含義,它強調的是值與值之間的對應.函數的現代定義與經典定義從表述形式上看雖然只相差幾個字,但卻是概念上的重大發展,是數學發展道路上的重大轉折,近代的泛函分析可以作為這種轉折的標志.

另外,值得關注的是：現代的教材或數學書中,為什么在涉及到函數的記號時,往往y=f(x)與f:X→Y仍然同時并用?這既有沿用歷史的習慣用法,但更深層地原因是,記號y=f(x)使用起來更方便,仍然用它充分體現了數學語言的工具性.

從變量與變量之間的解析式表示、變量與變量之間存在著對應到兩個集合間的映射,不僅成為函數概念演變中的一個里程碑,而且是人類思維發展史上的一座金光閃閃的紀念碑.

6 函數概念的擴展與數學疆域的拓展

用集合論的語言定義函數的概念,可稱為函數,也可以叫做映射.主要表示式為f:X→Y,也可以表示為f.在不同的領域或情況下,變換、算子、對應等與函數概念等價.那么,從這個意義上講,變換、算子可以看作是函數概念在不同方面的擴展,而這些擴展,使函數概念深刻地滲入到最古老的數論、幾何等領域,也拓展出一些新領域.

6.1 函數的拓展：廣義函數.

20世紀二三十年代,英國物理學家狄拉克在發展與完善量子力學理論時,引入了一個δ函數[7]：它只在一點處不為零,而它在全直線上的積分卻等于1.他系統地使用了δ函數及其導數的概念.這一函數概念與當時的標準分析格格不入,引起數學家的很大困惑.有人聲稱盡管狄拉克總能得到一致和有用的結果,但狄拉克是錯的[8].但由于描述質點、點電荷、瞬時源等物理中重要的理想化概念的需要,物理學家不顧批評,仍堅持對δ函數的各種運用.到1945-1948年間,在前人的基礎上,施瓦茲將δ以及類似函數發展成完全嚴密的和有用的理論,出版了兩卷本的《分布理論》,他稱之為廣義函數,也因此獲得了菲爾茲獎.從那時起人們知道了如何對待δ,它們實質上是分布.廣義函數論現已廣泛地成為數學(微分方程理論)、物理學和工程領域研究的重要工具.

6.2 空間的拓展：函數空間與拓撲、泛函分析.

將函數作為空間的“點”,定義兩個函數之差的測度為空間中兩點的距離,就構成了函數空間,使空間拓展到抽象空間,為數學開拓出許多新疆域,如希爾伯特空間、巴拿赫空間,成為拓撲學、泛函分析等發展的基礎[9].變換、同胚、算子等與函數意義相同的概念成為這些領域的重要而基本的概念.

函數空間中的不動點定理成為證明微分方程解存在的重要工具.1922年,Birkhoff和Kellogg將拓撲學中不動點定理推廣到無窮維的函數空間.20世紀30年代Schauder和Ceray將函數空間的不動點定理用于微分方程解的存在的證明取得極大成功[5].

函數空間的引入,也促進了泛函分析的興起與發展.算子可以看作是函數概念在函數空間的拓展.目前算子理論已得到了極大發展,是線性和非線性泛函分析的重要內容,成為數學中動力系統理論、群和代數的表示理論以及數學物理、量子力學、統計力學中的重要工具.

6.3 數論的拓展：解析數論.

歐拉首先提出用數學分析方法解決數論問題.在研究過程中黎曼[7]引進了著名的(x)函數,將其推廣應用于素數分布,成為解析數論的重要基礎.目前,由于函數等分析概念在數論中的應用,已經在數論領域中形成了素數理論及代數數論等重要的數學獨立分支.

7 結束語

許多數學概念是在數學的整體演變與發展過程中,逐漸被認可、被完善的,都有一個從模糊、不嚴密到嚴謹的發展歷程.從概念的追本溯源中、從概念的演變中、從過去和現代人的看法中來研究,有助于人們對數學思想和概念的認識和掌握,有助于數學觀念的形成.歷史分析表明,函數概念是數學發展之途中標志數學內容和形式分界性的一個基本概念和重要概念,促進了代數在數學中地位的提高,也推動了幾何學的新發展.

函數概念歷經數百年來的演變發展,形成了函數的現代定義,應該說已經相當完善和嚴密了,不過科學和數學的發展是無止境的,函數的概念也會隨之繼續擴展.

[1] 博克納·薩洛蒙[美].數學在科學起源中的作用[M].長沙：湖南教育出版社,1992.

[2] 亞歷山大洛夫[俄].數學它的內容、方法和意義[M].北京：科學出版社,2001.

[3] 赫爾奇·克拉夫[丹].科學史導論[M].北京：北京大學出版社,2005.

[4] 克萊因M[美].古今數學思想(1-4卷)[M].上海：上?？茖W技術出版社,1985.

[5] Dieter Ruthing.函數概念的一些定義[J].數學譯林,1986,15(3)：260-263.

[6] 徐品方.數學符號史[M].北京：科學出版社,2006.

[7] 數學百科全書(1-5卷)[M].北京：科學出版社,1997.

[8] 舒茨B F[英].數學物理中的幾何方法[M].上海：上?？茖W技術出版社,1986.

[9] 克萊因M[美].現代世界中的數學[M].上海：上海教育出版社,2004.

Origin,Evolvement and Development of the Function Concept

L I Meng-qin
(School of Science,Tianjin Polytechnic University,Tianjin 300160,China)

According to the gradation of time,the origin,the naissance,the rigor,the leap and the extending of the function concept are dissertated.

function;concept;origin;evolvement;development

O1-0

C

1672-1454(2011)03-0179-05

2008-08-28;[修改日期]2009-01-15