基于矩陣列變換的標準正交基求法

陳云坤

(貴州師范大學數學與計算機科學學院,貴陽 550001)

基于矩陣列變換的標準正交基求法

陳云坤

(貴州師范大學數學與計算機科學學院,貴陽 550001)

給出了將Rn的一個基化為標準正交基的新方法.

列初等變換;三角矩陣;標準正交基

1 引 言

文[1-3]給出了用矩陣的合同變換求標準正交基的方法——合同變換正交化法.本文給出一種改進的求標準基的方法——順序對角線正交化法.此方法簡便易行.最后證明了在R3上將一個基化為正交基,與順序對角線正交化法和Schmidt正交化法所得結果是一致的.

2 順序對角線正交化法

定義1 設A=(aij)為n階方陣.若存在可逆矩陣Pi,i=1,…,n-1,使得

其中Ak=(a(k)ij)是n-k階方陣,a(0)11=a11,則稱矩陣A可順序對角化為下三角形矩陣.

定理2 設A=(aij)為n階正定矩陣,則存在第三種初等矩陣之積P,使得

且對A施行合同變換后得

由A是正定矩陣可知,P′AP是對稱矩陣,從而A1是n-1階對稱矩陣.設A1的k階順序主子式為|A1(k)|,則P′AP的k+1階順序主子式為

由正定矩陣的性質知,P′AP也是正定矩陣,于是P′AP的一切順序主子式大于零,從而a11|A1(k)|＞0.由A是正定矩陣可知,a11＞0,從而|A1(k)|＞0.因此,A1的一切順序主子式大于零,故A1是正定矩陣.

對A1仍可重復上述步驟,…,對上述步驟重復n-1次后便終止,這時,易知存在第三種初等矩陣之積Pi,i=1,…,n-1,使得

其中P=P1…Pn-1.

注1 由定理2的證明過程可得任意正定矩陣可順序對角化為下三角形矩陣.我們把定理2中,將正定矩陣A初等變換為AP的過程稱為對矩陣A施行順序對角化化為下三角形矩陣.

新的正交化方法的原理 設αi=(a1i,…,ani)′,i=1,…,n是Rn的一個基,以αi為列向量構成矩陣A=(aij),則A′A是正定矩陣.由定理2知存在第三種初等矩陣之積P,使得A′PA和P′A′PA為下三角矩陣.由|P′A′AP|=c1c2…cn及A′A,P是可逆矩陣可得ci≠0.令,則

由上所述,我們得到將Rn的一個基α1,α2,…,αn化為標準正交基的一種新方法.

新的正交化法的具體的步驟:

(i)求A′A,其中A=(α1,α2,…,αn);

上述方法,我們將其稱為順序對角線正交化法.

注2 若將(ii)替換為

則順序對角線正交化法變為合同變換正交化法.

3 順序對角線正交化法的例子

例[4]在R3中將基

化為的標準正交基.

解 實施順序對角線正交化法.

從而〈β2,β3〉=-,因此β1,β2,β3不是R3的一個正交基.這說明當把A′A化為下三角形矩陣時,采用的是非順序對角化過程,則對A施行相同的列初等變換所得B=AP的列向量不一定是R3的一個正交基.

注4 若對上例利用Schmidt正交化法其結果(見[4,P497,例5])與上述方法的結果完全一致.事實上,我們有以下結果:

注意到β1,β2,β3是矩陣A利用Schmidt正交化法所得正交基,從而

注5 定理3表明對α1,α2,α3施行正交化采用順序對角線正交化法和Schmidt正交化法所得結果是一致的.

[1] 李宗勝.標準正交基的一種求法[J].數學通報,1991,30(3)：21-25.

[2] 王桂蘭.用矩陣的合同變換法求標準正交基[J].遼寧師范大學學報(自然科學版),1987,10(3)：94-96.

[3] 仇永平.合同變換正交化方法[J].曲阜師范大學學報(自然科學版),1988,14(1)：70-75.

[4] 曹錫嗥,等編.高等代數[M].北京：北京師范大學出版社,1987：495-497.

A Method for Finding an Orthonormal Basis by Column Elementary Operation

C H EN Yun-kun, Z HAO Ping
(School of Mathematics and Computer science,Guizhou Normaal University,Guiyang,550025,China)

We present a new method of obtaining an orthonormal basis from a given basis of space Rn.

column elementary transformation;triangular matrix;orthonormal basis

O151.24

C

1672-1454(2011)03-0184-05

2008-08-18;[修改日期]2008-10-21

貴州省科學技術基金項目(黔科合J字L KS[2010]04)