高超聲速飛行器自適應切換控制及穩定性分析*

談樹萍， 李智斌

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

高超聲速飛行器自適應切換控制及穩定性分析*

談樹萍1，2， 李智斌1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

針對高超聲速飛行器巡航段控制問題，構造自適應切換控制并對閉環穩定性進行了分析.高超聲速飛行器動力學模型具有非線性、多變量和開環不穩定的特點.首先給出動力學模型局部線性化的方法，并設計自適應切換律和非線性反饋控制.進而給出全局穩定性分析結果，證明在所設計自適應切換控制下，閉環系統指數收斂到狀態原點附近一個小鄰域內.

高超聲速飛行器；切換控制；自適應切換律；穩定性

本文符號

V：速度；T：推力；α：攻角；D：阻力；μ：地球引力常數；m：質量；γ：飛行路徑角；h：高度；r：距地心距離；L：升力；q：俯仰角；Myy：俯仰力矩；Iyy：慣量矩；ρ：大氣密度；S：參考面積；CL：升力系數；CD：阻力系數；CT：推力系數；R：地球半徑；δe：舵面偏差；β：油門設置.

高超聲速空天飛行器對于飛行條件和動力學參數的改變非常敏感，其軌跡與姿態高度耦合.氣動參數并不是由舵偏角唯一確定，還受馬赫數、攻角、側滑角、角速度和大氣環境等的影響，而且馬赫數對氣動參數的影響呈現出強非線性.由于以上原因，高超聲速飛行器的動力學模型呈現出強非線性和強時變性.這些都加大了空天飛行器的控制難度.

對于空天飛行器這樣的強時變和強非線性系統，自上世紀80年代，人們就開始研究其控制器設計方法［1-3］.在早期，主要是基于線性模型來設計控制律，如文獻［4］假設所有狀態是可量測的，只有小的傳感器噪聲污染，控制的目的是飛行器穩定以及高度精確的跟蹤速度和高度命令信號，同時保證攻角偏差少于0.5o，并且使得控制能量最小化.考慮到空天飛行器是強非線性系統，隨后人們主要針對非線性系統展開控制律設計，例如文獻［5］基于非線性模型首先通過在某個工作點附近反饋線性化的方法，將非線性系統轉化為等效的線性系統；隨后，引入了自適應滑模控制設計方法，有效地處理參數的不確定性.由于高超聲速飛行器的控制設計要求具有實時性，針對高超聲速飛行器的爬升、巡航和再入段，國內學者基于特征模型和全系數自適應控制方法對控制器設計問題展開了深入的研究［6-8］.

為了能夠設計在整個巡航階段使得飛行器穩定的控制器，本文提出了針對不同工作點對系統線性化、通過切換工作點構造切換線性系統的方法，并隨后通過閉環等價性，將原非線性系統控制器的構造問題轉化為對等價的切換線性系統構造切換控制的問題.最后證明在本文設計的切換控制下系統的穩定性.

1 高超聲速動力學模型

1.1 縱向動力學模型

現在文獻中常見的高超聲速飛行器的縱向模型多基于剛體假設，由關于速度V，飛行路徑角γ，高度h，攻角α和俯仰角q的一組微分方程描述如下［9］：

式中：

注1.式(2)中的各項參數主要是參考了文獻［9］中給出的參數，但是考慮到 CL(α)，CD(α)，CT(β)，CM(α)，(α)等參數中涉及到的常系數，如0.6203等，實際上是在文獻［9］中給出的標稱工作點處系統對應的系數.我們這里考慮系統在整個巡航階段不同工作點處的控制問題，涉及到的相應的系數的值應該是不同的，但是為了使本文的控制構造方法表達更加清晰，而不是陷入到關于各種變量的繁雜描述中，我們這里引用常系數來表明CL(α)等參變量關于系統狀態α等的函數關系.如果要嚴格表明其在不同工作點關于α等的函數關系，應該表示如下：

發動機的動力學方程符合以下的二階系統：

我們關心的輸出項是高超聲速飛行器的飛行高度及速度，這是通過飛行器的油門設置βc和俯仰控制舵面偏差δe來控制的.

假設1.時變參數 m，I，S，和 ρ可得.

這里我們考慮的是大氣層內高超聲速飛行器的巡航段，飛行高度大于 33.528km，小于39.624km［9］.在巡航過程中，高超聲速飛行器的飛行速度很快，而攻角和飛行路徑角相對而言非常小，從而我們可以引入如下的簡化［9］：

地球引力常數μ=3.986005×1014，經過簡單計算，可得

令

我們得到一個由7階系統：

其中 X=［V，γ，h，α，q，β1，β2］T為系統狀態，油門設置βc和舵面偏差δe為控制輸入，速度V和高度h為輸出變量，H(X)是由動力學方程(4)右端的非線性函數構成的7階非線性函數矩陣，控制矩陣

1.2 切換系統動力學模型

非線性函數矩陣H(X)關于函數變量X光滑.H(X)關于任意工作點X0的二階泰勒展開為

式中：

J(X0)ΔX] ，i=1，2，…，7.為Hession矩陣，=X0+θΔX，0≤θ≤1，ΔX=X-X0.容易計算得

其中，

根據方程(9)，非線性系統方程可改寫為

實際上，二次型J(X0)表征非線性系統(10)在工作點X0附近的非線性程度，當非線性程度足夠小時，J(X0)可視為系統擾動.

上述非線性系統在工作點X0附近的改寫過程為整個巡航過程系統的改寫提供了基本框架.在給出整個巡航段切換系統之前，我們首先介紹一下切換時刻、切換持續時間、切換頻率和停留時間的概念.

定義1.考慮切換律σ(t)，對應于切換律 σ(t)的切換時刻0＜t1＜t2＜…定義為tk+1=inf{t＞tk：σ(t)≠σ(tk)}.切換持續時間δk定義為δk=tktk-1(k=1，2，…).切換頻率 f定義為在區間 ［0，t］內的切換次數}.

停留時間定義為τ=in fkδk.

類似于在工作點X0附近的泰勒展開及非線性程度項的整合過程，對于一系列工作點Xσ(t)附近進行展開，系統 (7)可改寫為切換系統：

其中時刻 t0，t1，… 代表相應的工作時刻，即切換時刻.狀態矩陣

其中，

注 2.為了簡化符號，在本文隨后部分將 a1，σ(X，t)簡記為 a1， 類似的將 a2，σ(X，t)簡記為 a2， b2，σ(X，t)簡記為b2，諸如此類.

2 自適應切換控制

高超聲速飛行器動力學參數對飛行條件具有強耦合性.本文通過選擇合適的控制向量 ［δeβc］T以保證整個巡航段飛行器的穩定控制.切換控制系統的控制性能依賴于切換時刻的選擇和相應的工作點，考慮到二次型Jσ(X，t)表明了系統關于工作點的非線性程度，本節我們設計了與相關的在線自適應切換律σ(X，t)及相應的自適應非線性反饋控制.

首先給出如下引理.

引理1.當a2b3-b2a3≠0且c1a2+c2b2≠0時，切換系統 (11)的任一切換子系統能控.

證明.通過簡單計算可得，當a2b3-b2a3≠0且c1a2+c2b2≠0時，

滿秩，引理得證.

構造如下自適應切換控制律：

式中

自適應切換律滿足：

σ(X，t)=

注3.存在這樣的Xi+1滿足條件(13).根據泰勒展開，Δ X，其中 Δ X=X-X0，X*=X0+θΔX，0≤θ≤1，H1(X*)是 Hession陣.

而HD是實對稱矩陣：

對于二次型

其中，λ1，λ2，…，λ7是實對稱矩陣HD的7個特征值，Q的7個列向量是HD屬于λ1，λ2，…，λ7的7個單位正交的特征向量.對Hi()，我們設定閾值C0，對每一個若對應的說明系統在該工作點處的非線性程度滿足控制器要求，否則需要切換工作點.

假設2.切換律 σ(X，t)：D×［t0，∞)→ Θ是分段常

值連續函數，其中Θ ={1，2，…，N}，N為正整數.在自適應切換控制(12)-(13)下，相應的閉環系統為

3 穩定性分析

引理 2［10］.假設矩陣 A∈ Rn×n，B∈ Rn×m滿足系統(A，B)能控.那么，存在M＞0使得對任意λ＞0，存在矩陣K∈Rm×n使得以下不等式成立：

引理 3［10］.矩陣 Ai∈ Rn×n，Bi∈ Rn×m滿足子系統(Ai，Bi)能控，則存在 M＞0，使得對任意 λ＞0，存在一組增益矩陣 Ki， i=1，…，7， 使得

其中L=(n-1)(n+2)/2.

證明.據假設 1和引理 2，對 i=1，2，…N，存在 Mi＞0，使得對任意λ＞0，存在矩陣Ki∈Rm×n使得以下不等式成立：

定理1.當 a2b3-b2a3≠0且 c1a2+c2b2≠0時，對切換系統(11)及自適應切換控制(12)～(13)，如果對任意給定的常數ε，滿足f≤ε，停留時間τ＞0，且存在有界常數C＞0使得≤ C，那么在切換自適應控制(12)～(13)下閉環系統穩定，且滿足

其中

證明.根據引理3，對任意 λ＞0，存在一組反饋矩陣 Ki，i=1，…，7， 滿足

其中 M ＞0 是某個依賴于 {Gi，Bi，i=1，2，…N} 的常數.

對切換系統 (11)，假設初始時刻為 t0，系統初始狀態為 X0，自適應切換時刻序列記為 t1，t2，…，tk，… .根據定義，對任意 t∈ ［tk，tk+1)， 閉環系統記為

記Ak=Gk+BKk，則系統可改寫為

求解微分方程(16)，解得

同理對 t∈ ［tk-1，tk) ，取 t=tk，可求解得 Xk：

遞推解得

以及

根據引理3，可得如下不等式

從而

根據停留時間τ的定義，可得

記 C1=Mλ7，從而

其中μ=λ-(ln M+7 lnλ)(ε+1).

綜合不等式(18)～(19)，即當λ足夠大使得不等式

成立時，系統狀態滿足

不等式 (20)表明對足夠大的時間t和參數λ，閉環系統(15)的狀態變量指數收斂到狀態原點附近的一個小鄰域內，定理得證.

4 結 論

本文針對高超聲速飛行器這一具有強非線性和強時變性的動力系統，通過在工作點附近線性化系統并切換工作點的方式得到了切換線性系統，并證明了與切換系統各子系統閉環等價的線性系統能控，而且針對閉環后等價的切換系統設計了切換控制，證明了原系統在此切換控制下狀態的穩定性.

需要指出的是，本文假設工作點切換持續時間的上確界為有限常數，且系統線性化后得到的常矩陣和有界噪聲滿足一定的一致有界性，這些條件相對比較苛刻，還需要在進一步的工作中弱化或去掉.并且如何獲得切換工作點的系統參數也是在設計控制器過程中需要進一步解決的問題.

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Sw itching Control Design for a Hypersonic Flight Vehicle

TAN Shuping1，2， LI Zhibin1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering， Beijing 100190， China；2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory， Beijing 100190， China)

An adaptive switching controller is designed and analyzed for the longitudinal dynamics of a generic hypersonic flight vehicle in the whole cruise phase rather than a trimm ing condition.Thismodel is nonlinear，multivariable and unstable.The adaptive controller presented in this paper consists of a local linearization method， an adaptive switching law and a nonlinear feedback control law.Furthermore， it is obtained that the closed-loop system is stable under the adaptive switching control.

hypersonic flight vehicle； switching control； adaptive switching law；stability

TP273+.2

A

1674-1579(2011)01-0021-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.01.005

*國家自然科學基金(60804016)資助項目.

2010-09-19

談樹萍(1978—)，女，山東人，工程師，研究方向為航天器姿態控制(e-mail：sptan@amss.ac.cn).