雙曲型方程的一類高階算法及其數值實驗

劉軼中，李物蘭，方春華，曾 誠

(1.貴州大學理學院數學系，中國 貴陽 550025；2.溫州醫學院信息與工程學院，中國 溫州 325035；3.湖南理工學院數學學院，中國 岳陽 414006；4.貴陽學院數學系，中國 貴陽 550005)

現實生活中各種波動現象或振動現象，諸如電磁波的波動過程，水波、聲波等各種機械波的波動過程，弦的振動過程等，都可以用雙曲型偏微分方程來表示．因為這類客體的量變規律具有共性，它們在適當條件下都可以抽象成理想化的狀態，雙曲型偏微分方程恰好提供了在理想化狀態下處理該類客體中各種量之間相互依存及發展變化的模式．因此求解雙曲型方程具有重大的理論意義和現實意義．

本文針對下述雙曲型方程的初邊值問題：

(1)

此方程是雙曲型方程的典型形式，不少其他雙曲型方程均可化為這種典型形式的方程或方程組，故而這種方程盡管簡單，但卻不失代表性．數學工作者們已在其求解方面做了大量工作，構造了大量求解此方程的差分格式[1-6]．本文構造了一類含參數的半顯差分格式，其優點在于通過調節參數，可得一系列的穩定性好、精度比已知算法都高的結果．

1 構造差分格式

(2)

選擇參數c、d1、d2、d3滿足方程組：

(3)

解得

(4)

令d=c+rd3，得逼近(1)的半顯差分格式：

(5)

其截斷誤差為

(6)

(7)

當r=1時，?d，差分格式(5)可化為：

(8)

當r=-1時，?d，差分格式(5)可化為：

(9)

(10)

(11)

綜上所述，得：

定理1差分格式(5)的精度一般為：

2 穩定性分析

對于差分格式(5)的穩定性分析，用Fourier變換[7]，有：

|1-d+d(cosθ+isinθ)|2=|1-d(1-cosθ)+idsinθ|2=1-2d(1-d)(1-cosθ)≥

(2+r-3d)(1-cosθ)3.

從而有

等價于

或

由(i)、(ii)可得

由此有如下定理：

3 實驗報告

3.1 實驗目的及要求

(1)有效求解雙曲型方程；(2)通過編程實例計算，驗證理論分析的正確性．

3.2 實驗(或算法)設計(上已敘述,略)

3.3 實驗硬件及軟件平臺

(1)硬件平臺：貴州大學理學院數學系應用數學與建筑力學實驗室的方正電腦．

(2)軟件平臺：VC6.0．

3.4 實驗步驟和實驗內容

(1)編寫程序(略)．

(2)具體數例：考慮雙曲型方程的初邊值問題

3.5 實驗結果與討論

(1)實驗結果

表1 差分格式(5)的誤差(r=1.8、h=0.01、d=0.94、n=15 000)

表2 差分格式(9)的誤差(r=1.9、h=0.01、d=0.975、n=15 000)

表3 差分格式(10)的誤差(r=1、h=0.01、d=-3、n=15 000)

(2)實驗討論

從以上數值例子可以看出：本文算法的計算過程具有長時間的穩定性且精度比已知的算法都高．由此表明理論分析是正確的，格式是有效的．當r<0時，情況類似，略．

參考文獻：

[1] 童小嬌．解一階雙曲型方程的高精度差分格式[J]．長沙水電師院學報，1992，7(2)：147-150．

[2] 朱景輝．雙曲型方程初邊值問題的高精度差分格式[J]．廈門大學學報：自然科學版，1992，31(3)：306-308．

[3] 萬正蘇，陳光南．一維線性雙曲方程初邊值問題的高階差分格式[J]．數值計算與計算機應用，2003，24(1)：8-17．

[4] 劉軼中，張大凱．雙曲型方程的一類三層五點高精度顯格式[J]．貴州大學學報：自然科學版，2006，23(2)：134-138．

[5] 馬維元．解雙曲方程的一種高精度加權差分格式[J]．甘肅聯合大學學報：自然科學版，2009，23(4)：32-33．

[6] 方春華，董應珍．雙曲型方程的一類高精度帶參數差分格式[J]．湖南理工學院學報：自然科學版，2010，23(2)：14-16．

[7] 李榮華，劉 播．微分方程數值解法[M]．北京：高等教育出版社，2009.