系統(tǒng)隨機共振的最佳耦合矩陣

李義華,黃文靜，李夏苗

(1.中南林業(yè)科技大學物流學院，中國 長沙 410004；2.長沙師范學校電子信息工程系，中國 長沙 410081；3.中南大學交通運輸工程學院，中國 長沙 410075)

隨機共振(Stochastic Resonance, SR)的概念最早出現(xiàn)在1981年，由意大利學者Benzi.R等人在研究地球古氣象問題時提出[1-2]．隨機共振是指非線性系統(tǒng)由弱周期驅(qū)動和隨機力干擾相協(xié)作而導致強周期輸出的現(xiàn)象．隨著研究的深入，90年代，G.Hu等在文獻[3]中指出單穩(wěn)態(tài)無周期驅(qū)動系統(tǒng)也會有隨機共振現(xiàn)象發(fā)生．對許多非線性系統(tǒng)來說，即使只有噪聲的干擾，只要它具有一定的能量閥值和非對稱性，隨機共振現(xiàn)象也可能發(fā)生．在現(xiàn)代隨機共振理論中，耦合振子系是最吸引人的研究對象之一，最初的結論由Benzi以及他的合作伙伴得出[4]．隨后，Linder[5-6]提出了時空秩序和序列增強SR理論，并且把SR推廣到兩維空間．在上述研究中，人們發(fā)現(xiàn)SR的發(fā)生是周期驅(qū)動力、白噪聲和系統(tǒng)耦合共同作用的結果．近年來，文獻[7]對非線性耦合振子系進行了較為深入細致的研究，發(fā)現(xiàn)耦合振子系會發(fā)生比單個振子更強的隨機共振效應，同時還會出現(xiàn)單個振子系中很難出現(xiàn)的現(xiàn)象．如果耦合矩陣不同，隨機共振會有什么變化呢?本文對非線性Langevin方程的耦合進行研究，發(fā)現(xiàn)隨著耦合矩陣的不同，系統(tǒng)能量變化也會不同，隨機共振現(xiàn)象也會有所變化．利用遺傳算法對最優(yōu)耦合矩陣進行搜索，從而使得系統(tǒng)功率譜的譜峰達到最大值．

1 單個無周期驅(qū)動Langevin方程的隨機共振

Langevin系統(tǒng)的確定性方程為：

(1)

由文獻[8]知道，當01時，平衡點和閥值消失，粒子在圓周上作周期性的旋轉(zhuǎn)運動．其中，S1表示一維空間，下同．

如果我們引入噪聲，方程就成為單個無周期驅(qū)動的Langevin方程：

(2)

其中ξ(t)是Gaussian白噪聲，滿足：[ξ(t)]=0,[ξ(t)ξ(t′)]=δ(t-t′)．由于b-sinx的周期性，方程(2)可看成一個阻尼粒子在圓周上受到常驅(qū)動力和隨機力共同作用的運動方程．當b≤1時，系統(tǒng)(2)會發(fā)生隨機共振．

2 N個無周期驅(qū)動一階Langevin方程的耦合

下面來看N個Langevin方程耦合的情況，方程如下：

(3)

其中bi≥0是第i個振子受到的常驅(qū)動力，K>0是耦合系數(shù)，D為噪聲強度，ξi(t) 是Gaussian白噪聲，滿足[ξi(t)]=0,[ξi(t)ξi′(t′)]=δii′(t-t′)，相互作用矩陣為：

圖1 左圖：K=0.5,K=1時不同相互作用矩陣對應的功率譜圖，右圖：K=0時單個振子的功率譜圖

如果變化系統(tǒng)(3)的相互作用σ矩陣，可以看到，隨著相互作用矩陣不同，功率譜的高度和寬度都有相應變化，進一步的數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：相互作用矩陣中各個元素的值相差不多時的功率譜高度比矩陣中各個元素差別較大時的高度要小，并且矩陣中各個元素值不能取得太大，否則影響噪聲在系統(tǒng)中的作用．

接下來，假設相互作用σ矩陣分別服從均勻分布、Γ分布、正態(tài)分布3種不同的概率分布，然后分別求出它們相應的功率譜．發(fā)現(xiàn)矩陣元素服從不同分布的σ矩陣，功率譜高度和寬度都有相應的變化．即使是服從同一分布的σ矩陣，功率譜高度和寬度也會隨著矩陣元素的不同而有相應的變化．為了比較3種分布中哪一種概率分布最優(yōu)，把Γ分布的兩個參數(shù)μ、υ放到平面坐標中，μ為橫坐標，υ為縱坐標，分別在橫縱坐標上從1個單位開始取10個點，每個點之間長度為1，這樣就得到平面上100個坐標點，將每個點的(x,y)取值作為Γ分布的兩個參數(shù)，再求這100個Γ分布對應功率譜的平均值，得到一個平均功率譜圖．同樣對均勻分布、正態(tài)分布求平均，也可以得到它們相應的平均功率譜圖．

可以看到，σ矩陣中元素服從均勻分布譜峰高度最高，寬度最窄；當σ矩陣中元素服從Γ分布譜峰高度最低，寬度最大．實驗過程中的數(shù)據(jù)顯示，在均值和方差相同的情況下，服從均勻分布的矩陣元素相差很小，然而服從正態(tài)和Γ分布的矩陣元素之間相差較大，后兩個分布使得系統(tǒng)共振的效果要好很多，所以譜峰高度比服從均勻分布高很多，其中服從Γ分布的矩陣元素差別最明顯，使得譜峰高度最高，寬度最窄．因此，不同的矩陣對系統(tǒng)能量輸出有著明顯的影響．

3 利用遺傳算法搜索最優(yōu)耦合矩陣

遺傳算法(Genetic Algorithm，簡稱GA)是以自然選擇和遺傳理論為基礎，將生物進化過程中適者生存的規(guī)則與群體內(nèi)部染色體的隨機信息交換機制相結合的高效全局尋優(yōu)搜索算法，由美國Michigan大學的J.Holland教授于1975年首次提出，現(xiàn)已發(fā)展成為一種實用、高效、魯棒性強的優(yōu)化技術，它的運算流程如下：

(1)編碼；(2)初始群體的生成；(3)適應度值評價檢測；(4)選擇；(5)交叉；(6)變異：群體P(t)經(jīng)過選擇、交叉、變異運算后得到下一代群體P(t-1)； (7)終止條件判斷：若t≤T，則轉(zhuǎn)到步驟(2)；若t>T，則以進化過程中所得到的具有最大適應度的個體作為最優(yōu)解輸出，終止運算．

為了找到最優(yōu)相互作用σ矩陣，使功率譜波峰達到最高點，我們采用遺傳算法對3×3,5×5相互作用σ矩陣進行最優(yōu)值搜索．搜索過程中，設定求功率譜譜峰值的函數(shù)為目標函數(shù)，Q矩陣中除對角線以外的各個元素為目標函數(shù)的變量．因為矩陣中元素太大會影響噪聲在系統(tǒng)中的作用，所以把目標函數(shù)的變量控制在[0,1]之間．在求系統(tǒng)(2)的動力解時，采用迭代法，迭代215次，根據(jù)遍歷性，足夠讓系統(tǒng)最后處于一個非常穩(wěn)定的狀態(tài)．但是，由于計算機采用的是精度計算，讓目標函數(shù)對同一組變量所得的值有很小的差別，這就使得遺傳算法不能收斂到某一個固定值，而是圍繞某個值的周圍上下波動，所以搜索到的最優(yōu)σ矩陣與波峰值都是一種近似值，結果如下：

i)3×3矩陣，將矩陣元素控制在[0,1]之間，遺傳200代后，搜索到的波峰值如圖2所示．

圖2 左圖： 3×3耦合矩陣在200代遺傳中每代最優(yōu)解以及解的均值；右圖：遺傳算法搜索到的3×3最優(yōu)耦合矩陣的功率譜圖

搜索到的最優(yōu)矩陣為

它對應的功率譜圖如圖2右圖，波峰值為3.552 199′79′735 525 0e+003．它的第一、二特征值分別是0.000 003 5和-0.169，正定．把最優(yōu)矩陣分別與任意3個矩陣相加，得到新的矩陣對應的功率譜圖．可以看出，新矩陣的功率譜的高度小很多，并且波峰寬度明顯大些．所以，系統(tǒng)的能量輸出遠不如最優(yōu)矩陣．同時，任意選了3個矩陣，畫出它們對應的功率譜圖，可以發(fā)現(xiàn)，跟最優(yōu)矩陣的功率譜圖相比較，波峰的高度和寬度都遠沒有最優(yōu)矩陣的理想．所以，最優(yōu)矩陣讓系統(tǒng)產(chǎn)生了共振，使得系統(tǒng)的輸出能量達到最高．為了找出耦合矩陣與功率譜最大值之間的關系，計算出6個任意選擇的矩陣的第一、第二特征值，將除0以外的各個矩陣的第二特征值(即第二大的特征值)進行比較，可以看出，隨著矩陣第二特征值的變化，功率譜最大值也相應地發(fā)生變化，并且功率譜波峰值大的，耦合矩陣的第二特征值就較大，如圖4左圖．因此，耦合矩陣的第二特征值與波峰值有一定的聯(lián)系．

ii)5×5矩陣，也是將矩陣元素控制在[0,1]之間，遺傳450代后，搜索到波峰值如圖3所示.搜索到的最優(yōu)矩陣為

它對應的功率譜圖如圖3右圖，波峰值為3.688 194 631 425 216e+003．它的第一、二特征值分別是-0.000 001和-0.064．

圖3 左圖：5×5耦合矩陣在450代遺傳中每代最優(yōu)解以及解的均值；右圖：遺傳算法搜索到的5×5最優(yōu)耦合矩陣的功率譜圖

類似3×3矩陣，拿最優(yōu)矩陣分別與任意3個矩陣相加，得到新的矩陣對應的功率譜圖，可以看出，新矩陣的功率譜的高度小很多，并且波峰寬度明顯大些，所以，系統(tǒng)的能量輸出遠不如最優(yōu)矩陣．同時，我們?nèi)我膺x了3個矩陣，畫出它們對應的功率譜圖，可以發(fā)現(xiàn)，跟最優(yōu)矩陣的功率譜圖比起來，波峰的高度和寬度都遠沒有最優(yōu)矩陣的理想，所以，最優(yōu)矩陣讓系統(tǒng)產(chǎn)生了共振現(xiàn)象，使得系統(tǒng)的輸出能量達到最高．可以看出，正如前面所說，矩陣中的元素有差別時功率譜的高度和寬度更加理想，并且系統(tǒng)能量輸出能達到最大，最大值都在3 500左右．為了找出耦合矩陣與功率譜最大值之間的關系，我們計算出6個任意選擇的矩陣的第一、第二特征值，將除0以外的各個矩陣的第二特征值進行比較，如圖4右圖，可以看出，隨著矩陣第二特征值的變化，功率譜最大值也相應的發(fā)生變化，并且功率譜波峰值大的，耦合矩陣的第二特征值也較大．因此，耦合矩陣的第二特征值與波峰值有一定的聯(lián)系．

圖4 最優(yōu)矩陣與任選矩陣第二特征值的比較.左圖：A坐標代表任意選出來的6個3×3σ矩陣或5×5σ矩陣與最優(yōu)矩陣的序列(其中左圖中序列4為最優(yōu)矩陣，右圖中序列6為最優(yōu)矩陣). D坐標代表對應矩陣的第二特征值

4 結語

本文主要討論了系統(tǒng)經(jīng)過耦合后在噪聲作用下發(fā)生的隨機共振現(xiàn)象．隨著耦合矩陣的不同，系統(tǒng)的能量輸出也相應地發(fā)生著變化．本文利用遺傳算法搜索到最優(yōu)耦合矩陣，使得系統(tǒng)能量輸出達到最大值，這讓我們對隨機共振有了更加深入的了解．隨機共振現(xiàn)象處處都存在，近年來，對隨機共振現(xiàn)象的發(fā)生及相應機制的研究受到各個領域科學家們越來越多的關注，增進對它的了解，可以幫助我們更好地控制系統(tǒng)能量輸出與微小機制的運作．

參考文獻：

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[4] BENZI R, SUTERA A, VULPIANI A. Stochastic resonance in the landau-ginzburg equation[J]. J Phys, 1985, A18(9): 2239-2243.

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[6] LINDNER J F, MEADOWS B K, DITTO W L,etal. Scaling laws for spatiotemporal synchronization and array enhanced stochastic resonance[J]. Phys Rev E, 1996, 53(1)：2081-2092.

[7] 張雪娟. 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)-單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)-耦合振子系和混沌系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象[D].北京：北京大學博士論文，2002.