運(yùn)用廣義對(duì)稱妙解競(jìng)賽題
——2011年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽壓軸題的解法探究

●(成功中學(xué) 安徽馬鞍山 243000)

運(yùn)用廣義對(duì)稱妙解競(jìng)賽題
——2011年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽壓軸題的解法探究

●汪宗興(成功中學(xué) 安徽馬鞍山 243000)

數(shù)學(xué)家波利亞在其著作《怎樣解題》中給出一個(gè)宏觀的解題程序，分成4步：弄清題目、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧(即解題后的反思)．波利亞重視解題后的思考，把其作為數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要步驟，他認(rèn)為一個(gè)問題解決后，解題者應(yīng)該考慮有沒有其他的解題方案，有沒有更一般的或特殊的結(jié)論．筆者欲嘗試運(yùn)用波利亞的解題表，現(xiàn)結(jié)合2011年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的壓軸題，談?wù)劰P者的收獲.

(2011年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

圖1

圖2

為表述方便，現(xiàn)將以下結(jié)論作為引理：

引理在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，則△ABC是直角三角形且∠ACB=90°．

證法1如圖2，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD.由AB=2AC，得

AC=AD=BD.

又∠BAC=60°，知△ACD是等邊三角形，從而

因此△ABC是直角三角形，此時(shí)

證法2如圖3，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使DC=AC，連結(jié)BD．由

AD=2AC=AB，

及∠BAC=60°，可知△ABD是等邊三角形，由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可得BC⊥AC，此時(shí)

圖3

思路探索由引理和△ABC邊、角的數(shù)量關(guān)系可知，任求出一條邊的長(zhǎng)度即可求出該三角形的面積．已知長(zhǎng)度的3條線段PA,PB,PC有公共的端點(diǎn)P，如何發(fā)揮這個(gè)條件的作用呢？考慮到這是一個(gè)特殊的直角三角形，給出長(zhǎng)度的3條線段有公共端點(diǎn)這一特點(diǎn)，聯(lián)想類似的問題：利用旋轉(zhuǎn)求角度，如已知正方形內(nèi)一點(diǎn)到3個(gè)頂點(diǎn)的距離，求角度；已知等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到3個(gè)頂點(diǎn)的距離，求角度．根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，首先考慮利用旋轉(zhuǎn)變換解決此題.初步思考，因圖中找不到相等的線段，故不具備旋轉(zhuǎn)的條件．初次失敗后，由于之前曾利用網(wǎng)格巧妙解決等腰直角三角形內(nèi)一點(diǎn)到3條邊的距離問題，試探此題能否建立適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格，也未獲成功.看來孤立運(yùn)用某個(gè)條件，很難找到解題思路，綜合考慮或許才有出路.如何利用題中30°，60°等條件？旋轉(zhuǎn)不成，再試用軸對(duì)稱變換，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P關(guān)于CA，CB的對(duì)稱點(diǎn)D，E和頂點(diǎn)C在一條直線上……，畫出圖形，很快發(fā)現(xiàn)各種條件都能巧妙應(yīng)用，嘗試終獲成功(見解法1)．

解法1思路:利用軸對(duì)稱變換．

如圖4，作點(diǎn)P關(guān)于邊BC，AC，AB的對(duì)稱點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連結(jié)DB，DC，EA，EC，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)D，F(xiàn)E.由軸對(duì)稱性質(zhì)，得

從而

于是

DE2+FE2=42+32=52=DF2,

得

∠DEF=90°，

因此

2S△ABC=S△BDF+S△DEF+S△AEF=

即

(注：求△AEF的面積可利用初中知識(shí)解決.)

筆者反思(1)前面方法未成功的原因是什么;(2)有沒有其他更好的方法呢,軸對(duì)稱變換能解決此題，旋轉(zhuǎn)變換真的無“用武之地”嗎?

圖4

圖5

(注：此表示方法的含義是將△APC以A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，再進(jìn)行同向位似變換，且△APC與△ADE的位似比是1∶1．角度前有負(fù)號(hào)的表示按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，下同.)

由引理知△ABC是直角三角形，從而

(注：此步驟各種解法中都要用到，這里統(tǒng)一給出，后面解法中限于篇幅，不再重述.)

如圖5，將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ADE，連結(jié)PD，則

從而△PAD是等邊三角形.又由AB=2AC,得

取PA的中點(diǎn)F，連結(jié)FD，F(xiàn)E，則

由等邊三角形的性質(zhì)，可得

于是

22=DE2,

從而△EDF是直角三角形，且∠EDF=90°，可得

∠APC=∠ADE=∠ADF+∠EDF=

30°+90°=120°.

作CG⊥AP于點(diǎn)G，則

∠CPG=180°-∠APC=60°，

于是

從而

因此

(注：在求出∠APC=120°之后，求AC2可以利用余弦定理求出，但考慮到初中學(xué)生的實(shí)際水平，這里給出利用勾股定理求AC2的過程，后面解法限于篇幅，只給出求∠APC的過程.)

如圖6，在△ABC外作△ABD，使得

∠DAB=∠PAC，∠ABD=∠ACP，

則△ABD∽△ACP，連結(jié)DP，得

AB=2AC，

于是△ABD和△ACP的相似比為2∶1，即

因此

∠DAP=∠DAB+∠BAP=

∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°.

由AD∶AP=2∶1，及引理知∠APD=90°，從而

于是

BD2+PD2=42+32=25=BP2，

即

∠BDP=90°，

于是

∠APC=∠ADB=∠ADP+∠BDP=

30°+90°=120°.

后面過程同上,略．

(過程略.)

(過程略.)

圖6

圖7

如圖7，在△ABC外作△BCD，使得

∠BCD=∠ACP，∠CBD=∠CAP，

又

∠PCD=∠PCB+∠BCD=

∠PCB+∠ACP=∠ACB=90°，

連結(jié)PD，得∠PDC=30°，PD=2PC=4，從而

BD2+PD2=32+42=25=PB2，

得

∠BDP=90°，

于是

∠APC=∠BDC=∠BDP+∠PDC=

90°+30°=120°.

后面過程同上．

(過程略.)

(過程略.)

(過程略.)

(過程略.)

如圖8，在△ABC外作△BCD，使得

∠BCD=∠BAP，∠CBD=∠ABP，

從而

∠PBD=∠PBC+∠CBD=

∠PBC+∠ABP=∠ABC=30°，

作DE⊥PB于點(diǎn)E，則

從而

于是

又

得

PD2=PC2+DC2,

從而

∠DCP=90°，

于是

∠APC=∠BAP+∠BCP+∠ABC=

∠BCD+∠BCP+∠ABC=

∠DCP+∠ABC=90°+30°=

120°．

后面做法同上，略．

圖8

圖9

如圖9，將△BCP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至△BED，則

DE=PC=2，BD=BP=5，BE=BC，∠DBE=∠PBC，∠BED=∠BCP，

從而

∠PBD=∠PBA+∠DBE=

∠PBA+∠PBC=∠ABC=30°.

即

DE2+EF2=DF2,

即

∠DEF=90°，

于是

∠APC=∠BAP+∠BCP+∠ABC=

∠BEF+∠BED+∠ABC=

∠DEF+∠ABC=

90°+30°=120°．

后面做法同上，略．

(過程略.)

圖10

解法14思路:采用代數(shù)方法，建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用解析法

由引理知△ABC是直角三角形(過程略)．如圖10，以C為原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸，CA所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)AC=a，則

于是

由兩點(diǎn)之間的距離公式，得

PC2=(x-0)2+(y-0)2=x2+y2=22=4;

于是

又

由引理，只要求出a2的值即可．由式(2)，得

x2+y2-2ay+a2=3,

即

4-2ay+a2=3,

化簡(jiǎn)得

2ay=1+a2.

(4)

由式(3)，得

即

得

(5)

(6)

于是

即

令a2=y，得

48y=(3t-21)2+3(1+y)2,

即

y2-14y+37=0,

解得

由式(5)得

解得

a2>7，

即

y>7．

筆者反思從上述解法可以看出：解法1運(yùn)用了軸對(duì)稱變換；解法2～13都運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)變換，解法2～5以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順(逆)時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，解法6～9以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順(逆)時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，解法10～13以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，順(逆)時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，解法3,4,6,8,10,11還運(yùn)用了位似變換;解法14利用代數(shù)方法，建立平面直角坐標(biāo)系，反復(fù)運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式，計(jì)算出△ABC的面積．其中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，容易理解，但計(jì)算繁瑣．

從解法2到解法13，對(duì)稱思想體現(xiàn)得淋漓盡致．從地位上看，△PAB,△PBC,△PAC平等，點(diǎn)A,B,C平等，都可以作為旋轉(zhuǎn)中心，3個(gè)內(nèi)角平等，30°,60°,90°都可以作為旋轉(zhuǎn)角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)平等.正是受對(duì)稱思想的啟發(fā)，才想出上述眾多形似本質(zhì)相同的解法．正如波利亞曾說：“當(dāng)你找到第一棵蘑菇后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的．”筆者在解決此題的過程中，收獲甚大！

數(shù)學(xué)解題的目標(biāo)應(yīng)使得學(xué)習(xí)者獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律更為真實(shí)的理解，并在數(shù)學(xué)領(lǐng)域獲得可持續(xù)的發(fā)展．波利亞認(rèn)為解題過程主要是問題的變換過程，“我們必須一再變換它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止”.由上述問題的各種解法可見，如果平常講解習(xí)題時(shí)注重解題后思考，注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，今后教學(xué)將可演繹更多無限精彩的課堂，教給學(xué)生有用的東西！

[1] 孫維剛．孫維剛談立志成才[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009．