Reissner-Nordstr?m黑洞Dirac場的輻射能通量和輻射功率

孟一凡, 孟慶苗

(1.菏澤學院 網絡中心 山東 菏澤 274015;2.菏澤學院 物理系 山東 菏澤 274015)

Reissner-Nordstr?m黑洞Dirac場的輻射能通量和輻射功率

孟一凡1, 孟慶苗2

(1.菏澤學院 網絡中心 山東 菏澤 274015;2.菏澤學院 物理系 山東 菏澤 274015)

利用黑洞視界面附近的熵密度,研究了黑洞的熱輻射規律,得到了黑洞的熱輻射滿足廣義Stefan-Boltzmann定律的結論.對極端Reissner-Nordstr?m黑洞,其輻射能通量和輻射功率為零,表明廣義Stefan-Boltzmann定律將導致黑洞遺跡.當截斷距離、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordstr?m黑洞遙遠的觀測者接收到的輻射能通量與輻射粒子的徑向的平均瀉流速率成正比,與觀測者到黑洞之間的距離的平方成反比.

Reissner-Nordstr?m黑洞;平均瀉流速率;廣義Stefan-Boltzmann定律;輻射能通量

0 引言

20世紀70年代,Hawking從理論上證明了黑洞的視界會發出熱輻射[1],這極大地推動了黑洞熱力學的發展.人們用各種方法求解黑洞熵,其中,′t Hooft提出的brick-wall模型[2]對黑洞熵的起源給出了一種統計解釋.文獻[3]采用該模型，得到了黑洞熵與黑洞視界面積成正比的結論.近年來,人們把brick-wall模型改進為薄膜模型[4],認為黑洞的熵是來自視界附近的一個無窮小厚度薄層中量子場的貢獻.文獻[5-6]采用薄膜模型計算黑洞的熵,同樣得到了黑洞熵與黑洞視界面積成正比的結論.有視界就有黑洞熵,就有Hawking輻射.2000年Parikh等[7]在考慮輻射粒子的自引力作用的情況下,將黑洞的Hawking輻射理解成一種量子隧穿過程,得到了黑洞視界處粒子的量子隧穿率與黑洞的Bekenstein-Hawking熵變有關.隨后的一些工作[8]都得到了與Parikh結論完全相符的結果.可見黑洞熵與黑洞的熱輻射之間存在著必然的內在聯系.進一步研究二者之間的關系,是一項十分有意義的工作.

作者利用黑洞視界附近的熵密度,對黑洞的熱輻射規律進行了研究,得到了黑洞的熱輻射滿足廣義Stefan-Boltzmann定律[9-10].得到的廣義Stefan-Boltzmann系數不再是一個恒量,而是一個與黑洞周圍的時空度規有關的系數.可見彎曲時空的熱輻射不同于平直時空的熱輻射,黑洞周圍的強引力場和電磁場將影響黑洞的熱輻射.為使研究結果更具有普遍意義,作者采用黑洞的薄膜模型研究了Reissner-Nordstr?m黑洞的熱輻射規律,揭示了黑洞周圍的引力場和電磁場與其熱輻射之間的內在聯系.

1 Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射能通量和輻射功率

Reissner-Nordstr?m黑洞的時空線元為

式中，M為黑洞的質量，Q為黑洞的電荷.由于時空具有球對稱性,g00=0即為黑洞的視界面方程,容易得到黑洞的內外視界半徑為

(1)

黑洞的視界溫度為

(2)

文獻[5]利用薄膜模型得到了靜態球對稱黑洞Dirac場的統計熵為

(3)

令δ=nε,由(3)式可得

(4)

令n→∞時對應的熵為S∞,由(4)式得

(5)

根據局域等效性原理,在黑洞視界附近無窮小厚度薄層膜局域內,熱力學基本等式成立,黑洞視界附近薄層膜內的能量密度ρ,熵密度s與局域測得的溫度T之間滿足[9]

ρ=bT4,

(6)

(7)

由(5)式和(7)式可得

(8)

將(8)式代入(6)式得

唐納森作為全球過濾行業領導者之一，早在70年代就進入中國展開業務，并于1997年在無錫建廠。無錫現有工廠占地面積60 000平方米，擁有員工1200人，主要生產發動機過濾和工業過濾產品。作為一家扎根中國多年的企業，唐納森始終堅持以本土制造服務于本土客戶，隨著唐納森在中國乃至亞洲地區業務的不斷增長，目前工廠的產能已接近飽和。在無錫政府的大力支持下，唐納森決定在無錫投資建立新的工廠。

(9)

可見,對于給定的黑洞,當截斷距離和薄膜厚度取定后,黑洞視界附近薄層膜內Dirac場的能量密度與其視界溫度的四次方成正比.考慮黑洞Hawking輻射的物理機制,黑洞視界面附近由于真空漲落產生的虛粒子對,當其中負能虛粒子通過隧道效應進入黑洞,黑洞的能量將減少,同時其中的正能粒子向外穿出黑洞外引力區飛向遠方形成Hawking輻射.實際上,薄層膜區域(rH+ε→rH+ε+δ)內正能粒子的運動是非常復雜的,靜止質量為零的粒子的世界線是類光的,而有靜止質量的粒子的世界線是類時的.為使研究問題簡化,假定輻射的正能粒子沿徑向向外的平均瀉流速率為

式中,vr為正能粒子的徑向速率,f(vr)為正能粒子的徑向速率分布函數,上標(+)表示只對vr>0的范圍平均.ve不僅與輻射粒子的種類有關,還與黑洞視界附近的時空度規有關,黑洞的質量越大,其視界附近的引力場越強,ve值就越小.由于黑洞視界附近的引力場極強,ve值非常小.將薄層膜區域內的正能粒子到達黑洞輻射球面4π(rH+ε+δ)2的平均時間表示為

(10)

其中，λ為修正常數.由(1)式，(9)式和(10)式可得黑洞視界附近Dirac場的輻射能通量為

(11)

令

(12)

(11)式可變為

(13)

可見,對于給定的黑洞,當ε,δ和ve取定后,黑洞的輻射能通量與其視界溫度的四次方成正比.(13)式可稱為Reissner-Nordstr?m黑洞的廣義Stefan-Boltzmann定律.(12)式為對應的廣義Stefan-Boltzmann比例系數.導出的σ不再是一個恒量,而是一個與黑洞的質量、電荷、黑洞視界面附近輻射粒子的平均瀉流速率、截斷距離以及薄膜厚度有關的比例系數.由于黑洞的Hawking輻射與黑洞視界附近的真空漲落有關,黑洞的質量越大,截斷距離以及薄膜厚度越小,視界附近薄層膜內的真空漲落就越顯著,則σ值就越大.輻射粒子的徑向平均瀉流速率越大,其逃逸黑洞引力場的能力就越強,則σ值就越大.由于黑洞帶有電荷,其周圍的電磁場將影響視界附近薄層膜內的真空漲落,從而影響黑洞的熱輻射.可見黑洞的熱輻射與其視界附近的強引力場、電磁場之間存在著必然的內在聯系.

當M=Q時,Reissner-Nordstr?m黑洞變為極端Reissner-Nordstr?m黑洞,由(1)式和(2)式可得rH=r-=M,黑洞的內外視界合二為一,這時單向膜區縮成一個無限薄的膜,極端Reissner-Nordstr?m黑洞的視界溫度等于零.由(12)式可得極端Reissner-Nordstr?m黑洞的廣義Stefan-Boltzmann系數將趨于無窮大.利用(1)式，(2)式和(12)式可得極端Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射能通量為

可見,極端Reissner-Nordstr?m黑洞輻射能通量等于零,表明極端Reissner-Nordstr?m黑洞不再具有熱輻射.利用給出的廣義Stefan-Boltzmann定律得到的結果是Hawking輻射不會把Reissner-Nordstr?m黑洞化為烏有,而最后應留下遺跡,這將導致兩個重要結論:其一,在黑洞蒸發中信息丟失疑難可能不再存在.其二,黑洞的遺跡極可能是構成暗物質的候選者.

2 距Reissner-Nordstr?m黑洞遙遠的觀測者接收到的輻射能通量

對距觀測者遙遠的Reissner-Nordstr?m黑洞來說,可將其視為熱質點[10],設二者之間的距離為r,由(11)式可得觀測者所接收到的輻射能通量

(14)

由量綱分析不難驗證

(15)

式中,lp為Planck長度,mp為Planck質量,Tp為Planck溫度,σp為Planck廣義Stefan-Boltzmann系數,?為Planck常數,G為萬有引力常數,c為真空中的光速,kB為Boltzmann常數.利用(15)式將(12)式恢復到普通單位制得

(16)

利用(15)式將(2)式恢復到普通單位制得

(17)

利用(16)式和(17)式將(14)式恢復到普通單位制得

(18)

對于給定的Reissner-Nordstr?m黑洞,當截斷距離、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordstr?m黑洞遙遠的觀測者接收到的輻射能通量與輻射粒子的徑向平均瀉流速率成正比,與觀測者到黑洞之間的距離的平方成反比.由于觀測者接收到的輻射能通量與黑洞的質量、電荷有關,顯然黑洞周圍的引力場和電磁場將影響黑洞的熱輻射.當(GM)2=Q2時,Reissner-Nordstr?m黑洞變為極端Reissner-Nordstr?m黑洞,由(18)式可得極端Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射能通量為零,其原因在于極端黑洞的視界溫度為零,這與已知的理論是自洽的.

利用(18)式可得Reissner-Nordstr?m黑洞Dirac場的輻射功率

(19)

可見,當截斷距離ε和薄膜厚度δ取定后,Reissner-Nordstr?m黑洞Dirac場的輻射功率不僅與黑洞的質量、電荷有關,還與輻射粒子的徑向平均瀉流速率有關.由(19)式可得出極端Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射功率為零.

3 結論

利用黑洞視界面附近的熵密度,研究黑洞的熱輻射,得到了黑洞的熱輻射滿足廣義Stefan-Boltzmann定律的結論.導出的廣義Stefan-Boltzmann系數不再是一個恒量,而是一個與黑洞的質量、電荷、黑洞視界面附近輻射粒子的徑向平均瀉流速率、截斷距離以及薄膜厚度有關的比例系數.揭示了黑洞周圍的引力場、電磁場與其熱輻射之間的內在聯系.對于極端Reissner-Nordstr?m黑洞,其輻射能通量和輻射功率為零,表明廣義Stefan-Boltzmann定律將導致黑洞遺跡,這將為黑洞蒸發中信息丟失疑難和宇宙中的暗物質的存在提供一種可能解釋.利用彎曲時空中輻射源的熱質點模型,對Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射規律進行了研究,結果表明,對于給定的Reissner-Nordstr?m黑洞,當截斷距離、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordstr?m黑洞遙遠的觀測者接收到的輻射能通量與輻射粒子的徑向平均瀉流速率成正比,與觀測者到黑洞之間的距離的平方成反比.薄膜brick-wall模型雖給出了更多的黑洞熱性質,但截斷因子不能避免,表明在研究黑洞熵的問題上,采用半經典方法的局限性.作者給出了一種研究黑洞熱輻射的新方法.

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[10] 孟慶苗,蔣繼建,王帥. 靜態球對稱黑洞的熱質點模型及輻射功率[J].物理學報,2009,58(11):7486-7490.

RadiationEnergyFluxandRadiationPowerinDiracFieldoftheReissner-Nordstr?mBlackHoles

MENG Yi-fan1, MENG Qing-miao2

(1.NetworkCentre,HezeUniversity,Heze274015,China;2.DepartmentofPhysics,HezeUniversity,Heze274015,China)

By the entropy density near the event horizon,the thermal radiation of the black hole was studied.The generalized Stefan-Boltzmann law was obtained. For an extreme Reissner-Nordstr?m black hole,radiation energy flux and radiation power were all equal to zero.Generalized Stefan-Boltzmann law would lead to a black hole remnant. When the thin film thickness and the cut-off distance were both fixed for the Reissner-Nordstr?m black hole,the radiation energy flux

by observer far away from the Reissner-Nordstr?m black hole was proportional to the average radial effusion velocity of the radiation particles,and inversely proportional to the square of the distance between the observer and the black hole.

Reissner-Nordstr?m black hole;average radial effusion velocity;generalized Stefan-Boltzmann law;radiation energy flux

P 145.8

A

1671-6841(2011)04-0062-05

2011-01-08

國家自然科學基金資助項目，編號10773002；山東省教育廳科技計劃資助項目，編號J07WJ49.

孟一凡(1983-),男,助教,碩士,主要從事光電通訊研究,E-mail:piiip@163.com;通訊作者:孟慶苗(1960-),男,教授,主要從事黑洞物理理論研究,E-mail:mengqingmiao@yahoo.com.cn.