實物復合期權模型在采礦權定價中的應用

王華強，劉黎明

（首都經(jīng)濟貿易大學，北京100070）

在評估實務中，采礦權的估價方法主要是采用貼現(xiàn)現(xiàn)金流法。該方法的評估原理，是選取某一適當?shù)恼郜F(xiàn)率對未來預期現(xiàn)金流進行折現(xiàn)。Fisher提出的這種貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法，由于簡單實用而在實務中被廣泛使用，但是它的缺點很明顯，尤其是面對不確定性高的采礦權。礦產(chǎn)品的價格具有隨機波動特點，所以無法準確預測未來的現(xiàn)金流。另一方面，在長達幾年甚至十幾年的開采期內，選擇一個準確的貼現(xiàn)率是很困難的。這種靜態(tài)的評估方法，沒有考慮在礦產(chǎn)開采過程中的不確定性。

隨著期權定價理論在實物資產(chǎn)領域的應用，實物期權理論逐漸形成。在國外，學者已經(jīng)將實物期權應用到礦山整體價值評估［1］、近海石油租賃合約定價［2］、森林資源投資［3］等領域，但是這些研究中，沒有采礦權的估價。國內學者自20世紀90年代開始，逐漸將實物期權用于定價方面的應用研究［4－8］，其領域涉及：自然資源評估、環(huán)境項目投資、礦業(yè)權評估、礦產(chǎn)資源投資策略等。雖然國內學者將期權定價理論應用在礦產(chǎn)權方面，但應用中存在一些不足，主要表現(xiàn)在：僅僅將實物資產(chǎn)中的各項參數(shù)直接或稍加修正應用到B－S模型；將礦產(chǎn)權價值與礦產(chǎn)資源收益的概念等同；不考慮礦產(chǎn)生產(chǎn)的時滯性；不加條件的直接使用期權的可加性等。

鄒紹輝等［8］提出，礦產(chǎn)企業(yè)最終獲得的收益應當補償其礦產(chǎn)投資資本的機會成本。雖然采礦權持有者具有開采礦產(chǎn)資源并出售礦產(chǎn)品的權利，但是并不能獲得全部收益，而是應付出一部分以采礦權為名義的收益。因此，在采礦權的期權模型中，標的資產(chǎn)是礦產(chǎn)品的凈收益，敲定價格是投資的機會成本。盡管鄒紹輝等指出礦產(chǎn)資源采礦權是一個多期多階段的復合看漲期權，但是在文獻中的期權模型并非嚴格的復合期權模型。另外，機會成本反應了投資的最大收益。在理性市場條件下，敲定價格不應是機會成本而應是預期收益。本文旨在分析采礦權的復合期權屬性，建立采礦權定價的復合期權模型，并實證分析，為采礦權投資決策提供依據(jù)。

1 采礦權建模

復合期權的研究起源于Black和Scholes在期權定價方面的開創(chuàng)性工作。他們將股票視為寫在公司價值上的期權，若公司價值可視為寫在公司債券上的期權，則股票便是寫在公司債券上的復合期權［9］。Geske把公司股票看作寫在公司資產(chǎn)價值上的歐式看漲期權，再在歐式看漲期權上建模為復合期權，并導出了簡單復合歐式期權模型封閉形式的解［10］。Geske給出的簡單復合期權定價的一般公式，成為復合期權發(fā)展的基礎。復合期權本質上是一系列權利的嵌套，適合描述涉及序列決策問題。在實踐中，礦產(chǎn)企業(yè)按年度決定是否執(zhí)行采礦權，如果選擇執(zhí)行采礦權，將主要進行兩步投資：第一，開采階段，在這一階段需要投入資金，完成人力資源籌備、礦石開采等工作，此時投入資金稱之為開采成本；第二，選礦階段，在這一階段需要投入資金，對第一階段的礦石進行冶煉，最終獲得礦產(chǎn)品并出售，此階段投入資金稱之為選礦成本，兩次投資總和為總投資。

采礦權持有者在采礦權起始日擁有一種期權，能夠在某開采日投資開采，稱為開采期權。如果持有者決定投資開采，便又購買到一種看漲期權，該期權使得采礦權持有者擁有在選礦階段結束后，出售礦產(chǎn)品并獲利的權利，稱為選礦期權。對于選礦的期權，礦產(chǎn)企業(yè)在開采時刻擁有一種是否進行礦石冶煉的權利，而非義務。因此，選礦期權就是一份以礦產(chǎn)資源價值，即礦產(chǎn)品銷售的凈收益為標的資產(chǎn)，以選礦資金的預期收益為敲定價格的看漲期權。對于開采期權，礦產(chǎn)企業(yè)在采礦權起始時刻，擁有一種在某時刻是否進行礦石開采的權利，而非義務。因此，開采期權是一份以選礦期權為標的資產(chǎn)，以采礦資金的預期收益為敲定價格的看漲期權。這樣，采礦權是一份在看漲期權的基礎上，又擁有一份看漲期權的期權。因此，采礦權持有者擁有的不是簡單的歐式看漲期權，而是一份兩期復合期權。

首先對模型的符號進行設定：

P為年度礦產(chǎn)品的價值；C和I為對應開采成本和選礦成本；S為礦產(chǎn)品收益，S＝P－I；采礦權期限為n年，年度時刻為Ti，Ti＝0，1，2，3，…，n；Vi、為Ti時刻的采礦權價值；Ti時刻的開采成本的預期收益為K1，開采的產(chǎn)品總成本的預期收益為K2，K1＝C×α，K2＝I×α，其中α為預期收益比例。

為了建立采礦權的定價模型，本文需要對礦產(chǎn)企業(yè)的經(jīng)營狀況進行假設，具體內容如下：

假設1：年初支付開采成本，年末支付選礦成本，且其預期收益比例為常數(shù)；由此假設可知，企業(yè)一旦執(zhí)行開采期權，進入采礦階段，獲得的選礦期權的期限為一年。

假設2：最終行權日不超過采礦權期滿日。

假設3：開采和選礦成本以現(xiàn)有技術水平為基準，即投資成本不變。

假設4：礦產(chǎn)品凈收益S的分布服從幾何布朗運動。

假設5：無風險利率r為常數(shù)。

據(jù)前文分析，每年的采礦權可以看作是復合期權，所以采礦權的價格是按年度系列計算的復合期權價格的總和。下文首先以開開采時刻為Ti為例，計算該時刻復合期權的價格，然后求總和得到采礦權的價值。

又，在t＝Ti時刻相應的終止條件為：

因此，在區(qū)域Ω1上的期權定價公式：

由此，可得到開采時刻為Ti的復合期權價格：

其中

參數(shù)a1i中S＊是滿足方程：

其中

M（a，b；ρ）表示二維累計正態(tài)分布函數(shù)：M（a，b；ρ）＝p｛X≤a，Y ≤b｝

這里X ～N（0，1）、Y ～N（0，1）都是標準正態(tài)分布，Cov（X，Y）＝ρ，（0＜ρ＜1）。

由上述分析可知，某一年的采礦權價格，可以由簡單復合期權模型得到，那么整個期限采礦權價格，即為逐年的復合期權價格之和：

相關參數(shù)同上。

2 實證研究

2.1 參數(shù)計算

實例：廣實會計師事務所有限公司為云南達亞有色金屬有限公司獅子山銅礦采礦權進行評估。其主要參數(shù)總結如表1所示。

因為評估計算期銅精礦產(chǎn)量共30351．23t，且礦產(chǎn)的服務年限為9．52年，所以可以得到銅精礦的生產(chǎn)規(guī)模為3188．15t／a。又有銅精礦的不含稅價格，可得年度礦產(chǎn)品的價值為124018345．82元；因為評估計算期銅礦石產(chǎn)量共491萬t，且礦產(chǎn)的服務年限為9．52年，所以可以得到銅礦石的生產(chǎn)規(guī)模為515756．30t／a。又有單位總成本費用，可得獅子山銅礦年生產(chǎn)總成本為98277363．45元。所以，礦產(chǎn)資源年收益為25740982．37元。按照礦產(chǎn)生產(chǎn)的實際情況，銅精礦的生產(chǎn)過程包括采礦過程和選礦過程。根據(jù)礦產(chǎn)生產(chǎn)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，一般可以認為，地下開采成本與選礦成本比例為2∶1。因此，獅子山銅礦的年開采成本為65518242．30元，相應選礦成本為32759121．15元。

本文選取了證監(jiān)會行業(yè)分類中有色金屬礦采選業(yè)的歷年銷售毛利率，以行業(yè)的平均毛利率來表示投資預期收益比率，將其平均值23．61%作為投資預期收益比率。無風險收益可由十年期2009國債27（019927）的年利率3．68%來代替。根據(jù)銅價歷史數(shù)據(jù)，本文計算得到年波動率為0．29714。期權定價參數(shù)總結如表2所示。

表1 評估參數(shù)表

表2 期權定價參數(shù)表

2.2 定價實證結果

在采礦權期期初，采礦權持有者具有一年的基建時間。因此，第一個復合期權是2010年9月30日的，此刻距離評估基準日是1年，距離采礦權到期日有9．5年。依此類推，將在此后每年9月30日遇到一個復合期權，直到2019年9月30日。2019年9月30日為采礦權期限內最后一個復合期權，其成熟期為2020年3月31日。由上述推導的采礦權定價公式，首先應該確定協(xié)方差、臨界礦產(chǎn)資源收益值，以及其他累計分布函數(shù)的參數(shù)值，然后代入公式中計算結果。在計算中，由于本文選例的特殊性，礦山服務年限是9．52年，所以在計算最后半年的復合期權時，標的資產(chǎn)和敲定價格都相應減半。二維標準正態(tài)累計分布函數(shù)M（a1i，b1i；ρi）和 M（a2i，b2i；ρi），表3中分別以 M1和M2代替。本文通過數(shù)學軟件Matlab計算復合期權的各參數(shù)值，所得結果如表3所示。

表3 常數(shù)波動率復合期權評估表

由表3得到采礦權的價值約為4216．61萬元，相對于貼現(xiàn)現(xiàn)金流評估值為2228．81萬元，復合期權模型得到的采礦權的價值高于貼現(xiàn)現(xiàn)金流法得到的采礦權價格。如前所述，實物期權思想認為，不確定性增加了礦產(chǎn)資源投資的價值。復合期權模型考慮了未來信息的價值、礦產(chǎn)企業(yè)經(jīng)營活動的靈活性，并且認為這些因素是有價值的。而貼現(xiàn)現(xiàn)金流評估認為，未來信息價值固定，假定了企業(yè)的經(jīng)營活動一成不變，并否定了不確定性的價值。所以，在復合期權模型中采礦權的價值，高于在貼現(xiàn)現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型中。

貼現(xiàn)現(xiàn)金流法認為，企業(yè)有著固定的利潤和成本，不考慮時間的價值，這種不科學的方法不能作為投資決策依據(jù)。復合期權定價方法，綜合考慮到這些不確定性，得到的采礦權的價值高于市場上的評估價格，即市場存在負溢價。這說明市場的采礦權價格存在著價值低估。那么，對于一家預期收益率為行業(yè)平均毛利率23．61%的企業(yè)，該采礦權存在價值投資的空間。

3 總結

在采礦權評估實務中，貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法對采礦權的估計，往往需要對未來有一定的預期和嚴格的假設，不能考慮和處理礦產(chǎn)開采面臨的不確定性和管理柔性。由于這種方法缺少不確定的價值，造成估價不夠準確。近期文獻利用期權對采礦權的定價研究，集中在簡單期權上，不能充分考慮到礦產(chǎn)企業(yè)開采的實際情況，對采礦權的評估不夠準確。本文基于復合期權理論，將采礦權看作是一系列年度的復合看漲期權的總和。在一定的假設下，推導出基于復合期權的采礦權定價公式，并實證分析，發(fā)現(xiàn)復合期權模型估值更加符合實際。復合期權定價方法得到的采礦權的價值，高于市場的評估價格，即負溢價，這說明市場的采礦權價格存在價值低估，采礦權具有投資價值。

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