一類推廣的IMBq方程解的爆破

劉洋，趙軍生，于濤

（1.西北民族大學數學與計算機科學學院，甘肅蘭州 730124；2.黑龍江大學數學科學學院，黑龍江哈爾濱 150080；3.哈爾濱工程大學理學院，黑龍江哈爾濱 150001）

一類推廣的IMBq方程解的爆破

劉洋1，趙軍生2，于濤3

（1.西北民族大學數學與計算機科學學院，甘肅蘭州 730124；2.黑龍江大學數學科學學院，黑龍江哈爾濱 150080；3.哈爾濱工程大學理學院，黑龍江哈爾濱 150001）

對一類推廣的IMBq方程的初邊值問題進行了研究，在非線性項滿足一定條件的情況下，采用特征函數法和凸性方法，證明了問題的光滑解只能在時間的一個有界區(qū)間中存在，并且在有限時間T內爆破，即解于有限時間T內在某種意義下趨于無窮大，從而說明了這類典型的非線性發(fā)展方程解的奇性.

IMBq方程；初邊值問題；特征函數法；凸性方法；爆破

MSC 2010：35K61

1 預備知識

1872年，Boussinesq提出了描述淺水波運動的方程稱為Boussinesq方程（簡稱Bq方程）［1－2］.其中a是不為0的常數，當b＜0時，方程（1）稱為好的Bq方程，用于模擬非線性弦振動和不變矩形槽內無黏性液體的二維無旋運動［3－4］；當b＞0時，方程（1）稱為壞的Bq方程，用于描述在水平底面的淺水中，水波振幅較小時的二維流體的運動，也常用于大范圍的物理現(xiàn)象的描述，包括離子聲波在不變的同向等離子體中的傳播和FPU問題中非調和點陣動力學［1，4－5］.

由方程（1）改進的如下方程utt－u xx－uxxtt＝（u2）xx稱為IBq方程，該方程是在正合流體動力學方程組中提出的，用于描述與磁場成直角的波的傳播，接近于壞的Bq方程［5］.修正的IBq方程模擬修正的Kd V方程產生的如下方程utt－Δu－Δutt＝Δ（u3）稱為IMBq方程，常用于研究非調和點陣的性質和非線性Alfven波的傳播［5］.對于Bq方程，IBq方程和IMBq方程，已有許多結果［6－13］.文獻［14］研究了具有表面張力的水波問題時提出了模型方程utt－uxx－uxxtt＋au xxxx＋uxxxxtt＝（u2）xx，0＜x＜1，0＜t＜T，其中u（x，t）是未知函數，a＞0是常數，屬于Bq方程.文獻［15］對其廣義解的存在性、唯一性和解的爆破進行了研究.文獻［16］研究了具有零表面張力時的情形.文獻［17－18］對非線性波動方程和擬拋物型方程解的爆破進行了研究.

但是，對于形如（2）的IMBq方程解的研究結果卻很少.

其中u（x，t）表示未知函數，f（s）是給定的非線性函數，Ω?Rn是適當光滑的有界域，Δ表示在Rn中的拉普拉斯算子.

2 主要結果

文獻［19－22］利用特征函數法和凸性方法研究了擬拋物方程整體解的不存在性與有限時間爆破，對于與拋物型方程完全不同的IMBq方程（2），研究了其初邊值問題，初邊值條件為

其中u0（x）和u1（x）分別為給定的初值函數.

引理1 （Jessen不等式）設g（x）定義在（a，b）上，g（x）∈［a1，b1］，其中a，b，a1，b1為有限數或∞，f（x）是（a1，b1）上的連續(xù)凸函數，q（x）∈L2［a，b］，且q（x）≥0，則有

在右端有限時成立.

定理1 設u（x，t）是問題（2），（3），（4）的解，且

又由格林第2公式

3 結論

本文在對非線性項施加增長限制的條件下，采用特征函數法和凸性方法證明了問題（2），（3），（4）的解在一個有限時間T內發(fā)生爆破，即解于有限時間T內在某種意義下趨于無窮大，

該結論說明了這類典型的非線性發(fā)展方程解的奇性，并且也為該類方程數值解的進一步研究提供了一定的參考.

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Blow－up of Solutions for a Class of Generalized IMBq Equations

LIU Yang1，ZHAO Jun－sheng2，YU Tao3
（1.College of Mathematics and Computer Science，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730124，China；2.School of Mathematical Science，Heilongjiang University，Harbin 150080，China；3.College of Science，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The initial boundary value problem of solutions for a class of generalized IMBq equations is studied.In the case of the nonlinear term satisfying some conditions，it is proved by using the eigenfunction method and convexity method that smooth solutions of the problem only exist in a bounded time interval and blow up in the finite timeT，that is，the solutions tend to infinity in the finite timeTin a sense.Consequently，the conclusion of this paper indicates the singularity of solutions for this typical nonlinear evolution equations.

IMBq equations；initial boundary value problem；eigenfunction method；convexity method；blow－up

O 175.26

A

1000－1565（2011）03－0240－04

2010－09－13

國家自然科學基金資助項目（10871055）

劉洋（1983－），男，黑龍江望奎人，西北民族大學助教，主要從事偏微分方程理論方面的研究.E－mail：xuezhongjing7890＠yahoo.com.cn

王蘭英）