靜電懸浮加速度計的地面重力傾角標定方法

薛大同

(中國空間技術(shù)研究院蘭州物理研究所，蘭州730000)

0 引言

靜電懸浮加速度計是重力場測量衛(wèi)星上的主要載荷之一，用于測量衛(wèi)星受到的非重力，主要有:軌道高度處由于熱層大氣密度、水平中性風、太陽和地球的輻射壓力引起的拖曳［1］，以及衛(wèi)星自身產(chǎn)生的干擾力。為了準確恢復地球重力場，衛(wèi)星在軌飛行時，需要以高的精度水平測定加速度計的標定參數(shù)，這需要靠在每天的幾個弧段中處理GPS和加速度計數(shù)據(jù)，特別是使用可論證為最準確的重力場模型EIGEN－GL04C，和海洋潮汐模型 FES2004來實現(xiàn)［2］。然而，這絕不意味著加速度計飛行件在正式交付之前不需要作性能測試。為此，Marque等人指出，加速度計檢驗質(zhì)量需要在地面重力下懸浮，以便為功能試驗提供廣泛的可能性。例如，加速度計傳感頭飛行件在環(huán)境試驗前后需要開展懸浮狀況、傳遞函數(shù)、標稱靜電剛度、線性、標度因數(shù)等綜合試驗，以檢查完整的加速度計傳感頭狀態(tài)和確認環(huán)境試驗被通過，可以驗收。這些試驗是在專用的擺臺上完成的，該擺臺可以把懸吊平臺精密控制在水平狀態(tài)和實施傾斜擺動，并限制由地面重力投影引起的臺面方向加速度在科學模式范圍內(nèi)［3］。法國ONERA早在上世紀90年代初就研制出雙級擺臺并用于靜電懸浮加速度計噪聲檢測［4］，在世紀之交又采用主動控制技術(shù)抑制擺臺低于0.1 Hz的干擾，這靠擺臺上同時放置的另一臺靜電懸浮加速度計提供反饋控制信號來實現(xiàn)［5］。進入本世紀后推崇用擺臺上成對靜電懸浮加速度計噪聲頻譜差模來抵消共模環(huán)境噪聲［6］，但存在原理上的錯誤［7］。Marque 等人近年來主要用擺臺來做差分標度因數(shù)和二次因數(shù)驗證［3］。本文在此基礎(chǔ)上以SuperSTAR加速度計的性能參數(shù)為例，分析了在擺臺上用傳統(tǒng)的靜態(tài)標定法確定模型方程各參數(shù)的困難，指出在擺臺上無論是采用動態(tài)標定法大致判斷標度因數(shù)和對成對加速度計進行模型方程各參數(shù)的一致性檢驗，還是采用電模擬法獲取二階非線性系數(shù)，都必須采取技術(shù)措施使得三階非線性系數(shù)可以忽略。對動態(tài)標定法，提出了防止頻譜泄漏和幅度譜中壓低噪聲干擾幅度的措施。對電模擬法，用實例給出了具體實施方案和效果。以上分析結(jié)果對GRADIO等更高指標的加速度計具有參考意義。

1 模型方程

根據(jù)等效原理，慣性加速度與引力加速度等效，因此地面上可以利用重力加速度在加速度計輸入軸方向上的分量作為加速度測量標準，復現(xiàn)所需要的加速度值，實施地面重力傾角標定。此時靜電懸浮加速度計的敏感軸如圖1所示［8］，x軸處于負的鉛垂方向。

理想情況下靜電懸浮加速度計每個軸的反饋控制電壓與該軸受到的加速度成正比［3］。以z軸為例，可表示為:

圖1 靜電懸浮加速度計的敏感軸［8］Fig.1 Sensitive axes of the electrostatically suspended accelerometer［8］

式中，Vz為z軸的反饋控制電壓(V);Gp，z為靜電懸浮加速度計反饋控制的物理增益(m·s－2/V)，并有［9］:

式中，ε為真空介電常數(shù)，ε =8.8542×10－12C2/(N·m2);Az為z軸的電極面積;m為檢驗質(zhì)量塊的質(zhì)量;dz為檢驗質(zhì)量塊與z軸電極間的平均間隙;Vp為檢驗質(zhì)量上施加的固定偏壓。對于SuperSTAR加速度計而言，Az=2.08 ×10－4m2，m=7.2 ×10－2kg，dz=1.75 × 10－4m［10］，Vp=10V［11］，因此 Gp，z=1.67 ×10－5m·s－2/V。

實際上，靜電懸浮加速度計與其他類型的加速度計類似，存在偏值、標度偏差、非線性、交叉耦合，因此，式(1)表達的γel，z并非z軸受到的實際加速度，而只是靜電懸浮加速度計指示的加速度值(以下簡稱加速度計示值，單位m/s2)。

傳統(tǒng)加速度計在地面重力下測試時的模型方程為［12］:

式中，K0，z為 z軸的偏值(V)，K1，z為 z軸的標度因數(shù)(V·m－1s2)，az為z軸的實際加速度 (m/s2)，K2，z為 z軸的二階非線性系數(shù) (V·m－2s4)，K3，z為z軸的三階非線性系數(shù)(V·m－3s6)，K4，z為z軸和x軸的交叉耦合系數(shù)(V·m－2s4)，ax為x軸的實際加速度(m/s2)，K5，z為z軸和y軸的交叉耦合系數(shù)(V·m－2s4)，ay為y軸的實際加速度(m/s2)。

交叉耦合效應(yīng)是加速度計某個敏感軸的偏值因該軸向及與之正交方向同時受到加速度作用而發(fā)生輕微改變的現(xiàn)象，變化量與這兩個加速度的乘積成正比，比例系數(shù)稱為交叉耦合系數(shù)。但是對于靜電懸浮加速度計來說，情況有所不同。兩個敏感軸之間的耦合主要來自于質(zhì)量塊的不平行度和不垂直度。為此，要求不平行度和不垂直度小于1×10－5rad(2″)，以保證在三個軸之間高解耦［13－14］。在此前提下，地面測試時鉛垂方向殘余耦合作用的恒定部分表現(xiàn)為偏值［15］，起伏不定部分表現(xiàn)為噪聲［5］。另一水平方向的殘余耦合作用可以忽略。因此，式(3)右端的最后兩項不存在:

對照式(1)和式(4)，可知1/Gp，z為理論標度因數(shù)。SuperSTAR加速度計規(guī)定實際標度因數(shù)的偏差不超過2%［15］。即:

式中，c1，z為z軸實際標度因數(shù)與理論標度因數(shù)的比值，k1，z為 z軸的標度偏差，|k1，z| ＜ 0.02。

令:

習慣上仍分別稱 c0，z為 z軸的偏值 (m/s2)，c1，z為z軸的標度因數(shù)(無量綱)，c2，z為z軸的二階非線性系數(shù) (m－1s2)，c3，z為 z軸的三階非線性系數(shù)(m－2s4)。

將式(1)、式(5)和式(6)代入式(4)，便可得到:

將式(7)簡化表達為［15］:

需要注意的是，如前所述，地面重力下測試時得到的c0主要是鉛垂方向殘余耦合引起的，不同于在軌飛行時的偏值。

我們有:

式中，g為當?shù)氐闹亓铀俣戎?m/s2)，θ為擺臺的重力傾角(rad)，θ0為敏感軸與安裝面間的夾角，即失準角(rad)。

實施地面重力傾角標定時，加速度計的輸出必須處于量程范圍內(nèi)。以SuperSTAR加速度計為例，由于量程僅為 5μg［16］，所以 θ+ θ0不超過 5 ×10－6rad(1″)。在此極限條件下:

將式(10)代入式(8)，得到:

式(11)即為靜電懸浮加速度計地面重力傾角標定的模型方程。

值得注意的是，加速度計敏感結(jié)構(gòu)安裝在經(jīng)過研磨等精細加工的殷鋼基座上，該基座的垂直度和平行度公差為5 ×10－5rad(相當于 10″)［4］，因此 θ0可以按不超過5×10－5rad估計。也就是說，為了使加速度計的輸出處于量程范圍內(nèi)，θ必須部分抵償θ0，以保證 θ+ θ0不超過5 ×10－6rad。

SuperSTAR加速度計射前檢驗的極限指標為:|c0|=1 ×10－5m/s2，c1=1.02，|c2|=10m－1s2，|c3|=3 × 105m－2s4［15］。

2 靜態(tài)標定法

模型方程各參數(shù)傳統(tǒng)采用靜態(tài)標定法確定。對于靜電懸浮加速度計來說，就應(yīng)固定在專用擺臺上，實施靜態(tài)定標傾斜，先后調(diào)出若干個穩(wěn)定不變、且精確知道其數(shù)值的θ，分別測出加速度計示值，并據(jù)此確定加速度計模型方程各參數(shù)。如第1節(jié)所述，θ0可以按不超過5×10－5rad估計;θ必須部分抵償θ0，以保證 θ+ θ0不超過5 ×10－6rad。

由式(11)得知，未知數(shù)共有 5個:c0，c1，c2，c3，θ0，因此必須至少有5 個 θ值，對應(yīng)5 個 γel值，形成5個方程。它們對于c0，c1，c2，c3來說，是線性方程，可以由其中4個方程用克萊姆法則聯(lián)立求解，分別得到c0，c1，c2，c3對θ0的函數(shù)關(guān)系。原則上似乎將它們再代入第5個方程，就可以解出θ0，再分別代回 c0，c1，c2，c3對 θ0的函數(shù)關(guān)系，即可解出 c0，c1，c2，c3。但是對于θ0來說，是三次方程，有三個根，且運算極為復雜，從工程觀點來說，精度也無法保證。所以迄今未見靜電懸浮加速度計采用靜態(tài)標定法的報導。

3 動態(tài)標定法

動態(tài)標定法的基本構(gòu)想是:將靜電懸浮加速度計固定在專用擺臺上，擺臺的傾角在加速度計通帶范圍內(nèi)實施正弦擺動，對加速度計示值γel，z隨時間變化曲線作頻譜分析，根據(jù)幅度譜在各階頻率處的幅值確定加速度計模型方程各參數(shù)。

為了防止頻譜泄漏，即防止在各次諧波峰的兩旁出現(xiàn)旁瓣峰，影響主峰峰高，要保證整周期采樣［7］。考慮到:① SuperSTAR的采樣率為 10 Sps(Sampling per second)［15］，② 快速傅里葉變換的樣本量必須為2的整數(shù)次冪［7］，③ 基頻應(yīng)在0.1 Hz附近［16］等三個因素，可選擇擺動周期為6.4 s，即基頻為0.15625 Hz，而且應(yīng)足夠穩(wěn)定。

此時，擺臺的重力傾角為［6］:

式中，θ1為擺臺正弦擺動的最大角位移(rad)，不超過5μrad(1″);ω為擺動的角頻率(rad/s);t為時間(s)。

將式(12)代入式(11)，并利用三角函數(shù)公式:

可以得到:

根據(jù)第1節(jié)所述極限值，我們?nèi)?c1=1，c2=是，從式(15)得到:

(3)在幅度譜的二倍頻處，c2，c3θ0的貢獻分別為1.2 ×10－8m/s2，5.3 ×10－7m/s2，也就是說，c2的貢獻可能會被c3的影響所掩蓋。

(4)在幅度譜的三倍頻處，c3的貢獻為8.8×10－9m/s2。

實際上，γel還受到環(huán)境振動噪聲的干擾，包括地震噪聲和人工振源產(chǎn)生的振動［14］。圖2為法國ONERA實驗室花岡巖臺子上由靜電懸浮加速度測到的噪聲頻譜，可以看到在基頻至三倍頻間(0.15Hz至0.47Hz)干擾大約在(3.5×10－7～1 ×10－6)m·s－2/Hz1/2之間［14］。由于實施正弦擺動時，擺臺無法對噪聲干擾實施主動控制;且擺臺對此頻段無被動隔振作用，所以擺臺上的噪聲干擾亦大致如此。如取采樣率10 Sps，樣本量213個［3］，依據(jù)頻譜分析原理［7］，在幅度譜上基頻至三倍頻間噪聲干擾的幅度將達到(1.73～4.94)×10－8m/s2。因此，二倍頻處 c2的貢獻、三倍頻處c3的貢獻將被噪聲淹沒。但如果樣本量增加到218個，在幅度譜上基頻至三倍頻間噪聲干擾的幅度將降低到(3.06 ～8.73) ×10－9m/s2，二倍頻處 c2的貢獻、三倍頻處c3的貢獻就可超出噪聲本底，不被淹沒。數(shù)據(jù)量越大越清晰。

從以上分析可以看到，由于專用擺臺的振動噪聲干擾，動態(tài)標定法很難精確測定c3。由于無法分離出θ0，受到θ0和c3的影響，加速度計模型方程的其他各參數(shù)均無法確定。

如果c3可以忽略，則情況要好得多。此時，零頻處的幅值主要是c0和θ0的貢獻，從基頻處的幅值可以大致判斷c1的大小，從二倍頻處的幅值可以大致判斷c2的大小。也就是說，主要問題只剩下無法分離 c0和 θ0。

4 檢驗二階非線性系數(shù)的方法

二階非線性系數(shù)起因于加速度計籠的最終缺陷，例如在相對電極表面或在電子元件真實數(shù)據(jù)中的差異。結(jié)果是，施加的靜電力中心與籠中心不完全相配［3］。

圖2 在地面上測到的加速度頻譜［14］Fig.2 Measured acceleration spectra on the ground［14］

第3節(jié)指出，采用動態(tài)標定法時，如果c3可以忽略，從二倍頻處的幅值可以大致判斷c2的大小。然而，在幅度譜上二倍頻的幅度遠低于基頻的幅度，這種情況下擺臺擺動的二次諧波不可以忽略［3］，此時，即使c3可以忽略，從二倍頻處的幅值也無法判斷c2的大小。理由如下:

當擺臺擺動的二次諧波不可以忽略時，式(12)應(yīng)改寫為:

式中，β ? θ1，z。

忽略c3時，式(11)簡化為:

將式(16)代入式(17)，并利用式(13)及三角函數(shù)公式:

可以得到:

式(19)表明，加速度計示值幅度譜在二倍頻處的幅度不僅與c2有關(guān)，還與擺臺擺動的二次諧波幅度β有關(guān)。所以，擺臺擺動的二次諧波不可以忽略時，不能用動態(tài)標定法得到c2。

為了檢驗c2，可采用電模擬的方法:擺臺保持水平靜止狀態(tài)，在加速度計PID的輸出處發(fā)送一個特定的二階非線性系數(shù)標定信號［3］。這樣做，既可以顯著增加信號幅度，又可以保證信號不含二次諧波，還可以突出c2的貢獻。

特定的二階非線性系數(shù)標定信號為ASK(正弦載波數(shù)字幅度調(diào)制)信號，調(diào)制信號1，0等間隔排列。當c3可以忽略時，加速度計示值幅度譜在調(diào)制信號重復頻率處的尖峰包含有c1和c2的作用。為了突出c2的作用，載波頻率和幅度要盡量高，調(diào)制信號重復頻率要盡量低。由于載波幅度高，加速度計噪聲的影響可以忽略。

載波頻率可超出加速度計回路帶寬。載波幅度應(yīng)保證帶外抑制后的信號不超出加速度計測量范圍。調(diào)制信號重復頻率應(yīng)處于加速度計測量帶寬內(nèi)。為了防止頻譜泄漏，調(diào)制信號重復頻率、采樣率、載波頻率間應(yīng)符合2的整數(shù)次冪關(guān)系。

SuperSTAR加速度計閉環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線如圖 3 所示［10］。

以調(diào)制信號重復周期 25.6 s，即重復頻率0.0390625Hz，載波頻率320Hz為例，從圖3可以看到，載波信號幅度將衰減至不足10%，考慮到SuperSTAR 加速度計測量范圍 5 ×10－5m/s2［16］，載波幅度可以取 5×10－4m/s2，由第 1節(jié)所述 Super－STAR加速度計的物理增益可知相當于30 V，以此作為加速度的電模擬信號，若以ae表示，則加速度計感受到的加速度為a=ae+gθ0，以此代入式(8)，得到:

圖3 SuperSTAR閉環(huán)幅頻特性曲線［10］Fig.3 Closed loop magnitude－frequency characteristic curve of the SuperSTAR［10］

假設(shè)加速度計無通帶限制，采樣率5120 Sps，樣本量220個，采用第3節(jié)的模型方程各參數(shù)，得到式(20)中的 c1(ae+gθ0) 項、c2(ae+gθ0)2項、c3(ae+gθ0)3項幅度譜分別如圖4、圖5、圖6所示。可以看到，調(diào)制信號重復頻率處的尖峰幅度在圖4中最低，僅3.8 ×10－8m/s2;在圖5 中其次，為8.0 ×10－7m/s2;在圖6中最高，達到 3.5×10－5m/s2。也就是說，c2對調(diào)制信號重復頻率處尖峰的貢獻可能會被θ0和c3的影響所掩蓋。而c1的影響不嚴重。所以，為了突出c2的貢獻，必須設(shè)法使c3可以忽略。此時，式(20)變?yōu)?

為了了解θ0對調(diào)制信號重復頻率處尖峰幅度的影響，我們改設(shè)θ0=0 rad，而其他條件不變。此時，式(20)變?yōu)?

圖7、圖8、圖9分別為式(22)中的c1ae項項項幅度譜。可以看到，調(diào)制信號重復頻率處的尖峰幅度在圖7中為3.8×10－8m/s2，與圖4相同;在圖8 中為8.0 ×10－7m/s2，與圖5 相同;在圖9中為1.9 ×10－9m/s2，僅為圖 6 的 0.0054%。這說明θ0對調(diào)制信號重復頻率處尖峰幅度的影響，僅限于c3的貢獻。也就是說，當c3可以忽略時，不需要知道θ0的具體數(shù)值，就可以根據(jù)調(diào)制信號重復頻率處的尖峰，確定c2的實際值。

圖4 在指定參數(shù)下的c1(ae+gθ0)項幅度譜Fig.4 Amplitude spectrum of the c1(ae+gθ0)item with the appointed parameters

圖5 在指定參數(shù)下的c2(ae+gθ0)2項幅度譜Fig.5 Amplitude spectrum of the c2(ae+gθ0)2 item with the appointed parameters

式(21)所示加速度計示值幅度譜如圖10所示。可以看到，調(diào)制信號重復頻率處的尖峰幅度為8.0 ×10－7m/s2，與圖 5、圖8 相同，證明它確實主要取決于二階非線性系數(shù)。由于峰高與c2值成正比，由實際峰高便可確定c2的實際值。需要說明的是，實際檢測加速度計示值時，由于受到測量通帶的限制，得到的幅度譜在測量通帶以外會受到抑制。至于實際采樣率較低，樣本量較少，只要有與之相應(yīng)低通，從而符合采樣定理，且樣本量保證清晰識別調(diào)制信號重復頻率，就不會影響判讀。但如果實際采用的ASK信號與此不同，則應(yīng)根據(jù)實際采用的ASK信號重新作頻譜分析。

圖6 在指定參數(shù)下的c3(ae+gθ0)3項幅度譜Fig.6 Amplitude spectrum of the c3(ae+gθ0)3 item with the appointed parameters

圖7 在指定參數(shù)下的c1ae項幅度譜Fig.7 Amplitude spectrum of the c1ae item with the appointed parameters

圖8 在指定參數(shù)下的項幅度譜Fig.8 Amplitude spectrum of theitem with the appointed parameters

圖9 在指定參數(shù)下的項幅度譜Fig.9 Amplitude spectrum of theitem with the appointed parameters

5 模型方程各參數(shù)的一致性檢驗方法

動態(tài)標定法可以用來直接檢驗兩臺加速度計模型方程各參數(shù)的一致性［3］。GRACE和GOCE均需要成對使用靜電懸浮加速度計，特別關(guān)注每對加速度計的一致性，直接檢驗?zāi)Ｐ头匠谈鲄?shù)的一致性是非常必要的。

成對加速度計同時固定在一個專用擺臺上，擺臺按照第3節(jié)的要求實施正弦擺動。將式(5)代入式(15)，得到兩臺加速度計示值幅度譜在基頻處的幅度分別為:

式中，對于編號 i和編號 j的加速度計，A1，i，A1，j分別為各自示值在基頻處的幅度，k1，i，k1，j分別為各自的標度偏差，c2，i，c2，j分別為各自的二階非線性系數(shù)，θ0，i，θ0，j分別為各自的失準角，c3，i，c3，j分別為各自的三階非線性系數(shù)。

稱兩臺加速度計示值的平均值為共模，半差分值為差模，則差模和共模幅度譜在基頻處幅度之比為:

圖10 在指定參數(shù)下的加速度計示值幅度譜Fig.10 Amplitude spectrum of the accelerometers indication with the appointed parameters

式中，A1，D為基頻處的差模幅度，A1，C為基頻處的共模幅度。將式(23)代入式(24)，并考慮到第1節(jié)所有參數(shù)的極限值，得到:

在第1節(jié)給出的參數(shù)極限值范圍內(nèi)，|k1|＜

(1)在第1節(jié)給出的參數(shù)極限值范圍內(nèi)，由式(25)得到的比值有可能主要反映兩臺加速度計c3，θ0的不一致性。只有當c3可以忽略時，c1的不一致性才占主要地位。

(2)式(25)得到的比值越小，兩臺加速度計的c3，θ0，進而 c1，c2越相近。

6 結(jié)論

(1)靜電懸浮加速度計檢驗質(zhì)量需要在地面重力下懸浮，以便為功能試驗提供廣泛的可能性。

(2)由于敏感軸之間的耦合機理不同于傳統(tǒng)加速度計，所用的模型方程亦有所差別。

(3)地面重力下測試時，偏值主要是鉛垂方向殘余耦合引起的，不同于在軌飛行時的偏值。

(4)由于失準角遠大于量程范圍內(nèi)的重力傾角，無法采用傳統(tǒng)的靜態(tài)標定法確定模型方程各參數(shù)。

(5)必須采取技術(shù)措施使得三階非線性系數(shù)可以忽略，才能在專用擺臺上用動態(tài)標定法大致判斷標度因數(shù)和檢驗成對加速度計檢驗?zāi)Ｐ头匠谈鲄?shù)的一致性，用電模擬法得到二階非線性系數(shù)。

(6)動態(tài)標定作幅度譜分析時為防止頻譜泄漏，即防止在各次諧波峰的兩旁出現(xiàn)旁瓣峰，影響主峰峰高，要保證整周期采樣。

(7)動態(tài)標定作幅度譜分析時可采用顯著加大樣本量的辦法降低噪聲干擾幅度。

(8)電模擬法只需擺臺保持水平靜止狀態(tài)，并在加速度計PID的輸出處發(fā)送一個特定的ASK信號，就可以根據(jù)調(diào)制信號重復頻率處的尖峰，確定c2的實際值，而不需要知道失準角θ0的具體數(shù)值。

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