有質量彈簧的振動周期探討

何連超

（解放軍汽車管理學院，安徽 蚌埠 233011）

有質量彈簧的振動周期探討

何連超

（解放軍汽車管理學院，安徽 蚌埠 233011）

本文討論了有質量彈簧的彈簧振子的動力學，運用哈密頓函數解出了振子的運動方程，并推導出振動周期與彈簧質量和阻尼的關系.

彈簧質量；振動周期；摩擦阻尼；哈密頓函數

1 引言

在許多物理問題中，為了使所研究的問題簡單明了，往往忽略一些次要因素，比如我們在討論彈簧振子的振動時，忽略了彈簧的質量和摩擦阻力，所以研究出的結果是近似的，但在某些情況下，上述忽略的因素又起著主導作用，故有必要進行研究.

2 忽略彈簧質量時彈簧振子的振動周期

如圖1所示，忽略一切阻力，物體m0在彈性回復力F＝－kx的作用下作簡諧振動，式中k為彈簧的勁度系數，負號表示力F的方向和位移x的方向相反，其微分方程為

圖1

這就是未考慮彈簧質量的彈簧振子的振動周期.

3 考慮彈簧質量時彈簧振子的振動周期

我們假設彈簧是一根質量為m的彈性棒，其自然長度為L，如圖2所示，忽略一切阻力.彈性棒的質量是均勻分布的，設棒上任一點到A點的距離為l（0≤l≤L）.

當振子m0產生一個dx的位移時，dm也將發生一個位移.顯然dm的位移小于m0產生的位移，因為m0的位移是整個彈性棒L的伸長量，而dm的位移只是彈簧中任一點到固定點A的伸長量，且因0≤l≤L，所以dm的位移必然小于m0的位移dx.

圖2

為了簡單合理地算出dm的位移，我們假定彈性棒各部分所發生的位移與它們到固定A點的距離l成正比，則

當l＝0時，ds＝0即為固定點，l＝L時，ds＝dx，即為m0的位移；顯然是合理的，那么dm這段微元的動能為

彈性棒在任一給定時刻的總動能為

則在任一時刻，整個系統的能量為

由式（2）可知，系統的哈密頓量為

由式（4）、式（5），得

其通解為

可見，周期T′與彈簧的質量有關.

4 考慮彈簧的質量、摩擦阻尼時彈簧振子的振動周期

若系統在流體中運動（如空氣），阻力不能忽略，在振子速度不太大情況下，阻力與速度大小成正比，與速度方向相反，振動微分方程變為

式中，m′、k、f均為常量，f 為阻力系數.

將式（8）變形為

上式為二階常系數線性微分方程，其特征方程為

解式（9）得

則式（8）的通解為

通常f2－4km′＜0，所以式（10）可變為

其中，D1＝C1＋C2， D2＝C1－C2，

5 結論

由以上我們討論的結果可知，當我們考慮了彈簧的質量、摩擦阻尼后，彈簧振子的振動周期與彈簧的質量、摩擦阻尼都有關.以上我們討論的是f2－4km′＜0的情形，若f2－4km′＞0，那么，振子就不能振動，即系統處于過阻尼狀態.

比較（1）和（7）兩式可知，考慮彈簧質量后的周期比不考慮彈簧質量的周期大.我們要明確的是，不要由的表達式而得出：考慮彈簧質量后的周期相當于無質量彈簧的一端系上質量的物體振動的周期.因為在計算有質量彈簧的振動周期時，我們假設彈性棒各部分所經過的位移正比于它們到固定點的距離，但這個假設只有在彈性棒各部分的拉力一樣時才成立，而振動中彈性棒的拉力是隨各部分的距離而變的，因此，所得出的也是近似的，但比不考慮彈簧的質量又進了一步.

［1］ M.Leclerc.大學物理.李國強譯.北京：高等教育出版社，1990

［2］ 馬文蔚.物理學.北京：高等教育出版社，2003

［3］ 周衍柏.理論力學.北京：高等教育出版社，1986

［4］ 孫春峰.彈簧的質量、材料及其幾何性質對彈簧諧振子角頻率的影響［J］.大學物理，1993

DISCUSSION ON THE VIBRATION PERIOD OF SPRING WITH MASS

He Lianchao
（Automobile Management Institute of PLA，Bengbu，Anhui 233011）

This paper discussed the dynamics of spring oscillator with mass，and solved the equation of oscillator motion with Hamiltonian function.We deduced the relation between vibration period and spring mass together with friction damp.

spring mass；vibration period；friction damp；Hamiltonian function

2010－09－21）

何連超（1978年出生），男，助教，汽車管理學院基礎部.