具有階段結構和收獲率的時滯捕食－食餌系統的穩定性研究*

白玉真，胡宗良，王 霆，張 輝，馬承龍

(曲阜師范大學數學科學學院，山東曲阜 273165）

具有階段結構和收獲率的時滯捕食－食餌系統的穩定性研究*

白玉真，胡宗良，王 霆，張 輝，馬承龍

(曲阜師范大學數學科學學院，山東曲阜 273165）

利用微分方程定性理論，研究了具有階段結構和收獲率的時滯捕食－食餌系統，分析了平衡點的存在性與局部穩定性，并且對系統在正平衡點保持穩定的時滯范圍進行了估計.

捕食－食餌系統;階段結構;收獲率;時滯;穩定性

1 模型的建立

捕食－食餌系統是種群動力學中一類十分重要的模型.眾所周知，生物資源的開發和種群數量的收獲在森林和野生動物管理中廣泛應用.近年來，在具有收獲的Lotka－Volterra模型的研究應用中，人們發現單位時間內每個捕食者所能吃到的食餌數量除了與食餌的總數量有關外，還與捕食者的捕食能力息息相關.所以，人們把模型的研究類型進一步擴充到功能性反應模型［1～4］，一般形式為:

其中φ(x)是功能反應函數，代表捕食者對食餌的捕獲能力.

為了更接近自然生態系統，我們考慮捕食者的年齡因素對生態系統的影響.這種考慮是合理的，因為種群的存活率、增長率和繁殖力受年齡和種群發展階段的影響，并且多數種群都至少有兩個階段:幼年和成年.為此，本文研究具有階段結構和收獲率的捕食－食餌系統:

其中x(t)，y1(t)，y2(t)分別表示食餌的密度，捕食者幼年和成年種群密度，r為食餌的內增長率，k為食餌的環境容納量，E為捕獲努力量，D為幼年捕食者向成年捕食者的轉化率，c，f為正常數，a1為對食餌種群的捕撈系數.V1，V1'分別是未成年和成年捕食者的死亡率.現作變量替換τ=rt，s=，仍用 t，x 來表示 τ，s，則系統轉化為:

現實世界許多過程尤其是那些生物學現象中，此時的狀態變化及動力學行為不僅依賴該過程目前的動力學行為，而且與它過去的行為密切相關.因此，人們普遍認為，在種群間相互作用中時滯現象是不可避免的，有時時滯會破壞正平衡點的穩定性［5～7，9］.為了更切合實際，我們引入時滯參量τ，將系統(1)推廣為如下的兩類模型:

本文主要利用微分方程定性理論［3～6，11，12］研究系統(1)，(2)和(3)的平衡點的存在性和穩定性，并給出相應的生物學解釋.

2 系統(1)的平衡點的存在性及穩定性

系統(1)的平衡點為E1=(0，0，0)，E2=(1 －a2E，0，0)，

其中 B 為 n 階常矩陣，我們有下面的引理［3～6，11，12］.

引理11)若矩陣B的全部特征值都具有負實部，則系統(5)的零解是漸近穩定的;2)若矩陣B的全部特征值中至少有一個具有正實部，則系統(5)的零解是不穩定的.

定理1 E1=(0，0，0)是不穩定的.

證明 將E1=(0，0，0)代入式(4)得到雅克比矩陣:

對應特征值為

顯然 λ1，λ2，λ3都不是純虛數，且 λ3＜0.

下面討論λ2的符號:

由于E2不穩定更有實際意義，因此我們下面假設系統(1)滿足

為了討論E3的穩定性，我們需要如下的引理.

引理2 (Hurwitz準則)實系數n次代數方程

的所有根具有負實部的充分必要條件是:

顯然a0=1＞0成立.根據引理2，f(λ)=0的所有根都具有負實部，再由引理1知，E3是漸近穩定的.

3 時滯系統(2)和(3)的正平衡點的穩定性分析

通過計算可知E3是時滯系統(2)和(3)的正平衡點.接下來，我們對E3的穩定性進行分析.

假設系統(2)滿足下列條件:

定理4 系統(2)的平衡點E3是不穩定的.

E3不穩定的生態意義為:捕食者由于懷孕造成的時滯將破壞系統在該點的穩定性.

下面我們討論系統(3)的正平衡點的穩定性.

仍然假設系統滿足下列條件:

根據引理2知，當0≤τ＜τ0時，E3是漸近穩定的;當τ＞τ0時，E3是不穩定的.

E3漸近穩定的生態意義為:食餌由于懷孕造成的時滯將影響系統在該點的穩定性.

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On the Stability of Time－delayed Predator－prey System with Stage Structure and Harvesting

BAI Yu－zhen，HU Zong－liang，WANG Ting，ZHANG Hui，MA Cheng－long

(School of Mathematical Sciences，Qufu Normal University，Qufu Shandong 273165，China)

This paper is concerned with time－delayed predator－prey systems with stage sturcture and harvesting by using qualitative theory of differential equations.The existence and local stability of equilibrium are investigated.Estimations of time–delay range are given when the systems are stable at the positive equilibrium.

predator－prey system;stage sturcture;harvesting;time delay;stability

O 175.1

A

1673－2103(2011)05－0019－06

2011－08－05

山東省自然科學基金資助項目(ZR2011AQ006);山東省高等學校科技計劃資助項目(J10LA13);曲阜師范大學本科生科研訓練計劃資助項目(2010A018)

白玉真(1974－)，女，山東單縣人，副教授，博士，研究方向:動力系統.