不可壓縮的修正Varga材料組成的矩形密封圈的徑向振動

袁學剛，王俊芳，朱隆基，劉小薇

(1.大連民族學院理學院，遼寧大連116605;

2.遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

不可壓縮的修正Varga材料組成的矩形密封圈的徑向振動

袁學剛1，王俊芳2，朱隆基1，劉小薇1

(1.大連民族學院理學院，遼寧大連116605;

2.遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

研究了由一類關于徑向橫觀各向同性不可壓縮的修正Varga材料制成的矩形橡膠密封圈在內表面突加的徑向載荷作用下的振動與控制問題，得到了描述密封圈徑向運動的非線性常微分方程。對于給定的材料參數和結構參數，通過數值算例求得了一個臨界載荷。證明了當突加載荷小于臨界載荷時，密封圈隨時間的運動將是非線性周期振動;超過臨界載荷時，密封圈隨時間的增長將會無限增大，最終會被破壞。

硫化橡膠密封圈;有限變形;徑向載荷;周期振動

1 概述

橡膠材料具有復雜的分子特性以及材料和幾何的雙重非線性性質，如天然橡膠、合成橡膠和合成纖維等高分子(聚合物)材料，等等。從力學性能上講，橡膠材料屬于典型的非線性彈性材料范疇。由于橡膠材料的制品都是在一定環境和載荷下使用的，它們都會遇到變形、失穩、使用壽命有限以及破壞等問題，使得相關問題的研究一直是人們關注的焦點。

橡膠密封圈以其結構簡單和自身特點已被廣泛應用于機械工程、航空航天、石油化工等領域。與其他類型的橡膠密封圈相比，矩形橡膠密封圈具有許多優勢，如老化較慢、穩定性好、密封性強、密封壓力高等特點。如液壓閥的平面各油口，有桿抽油機井口光桿處的密封等，均采用矩形橡膠密封圈;同時多種同軸組合密封圈中，也采用矩形橡膠圈作為彈性體［1－2］。橡膠密封件在制備、安裝和使用中都會遇到幾何非線性、物理非線性和接觸非線性等問題，目前已取得了一些基于有限元方法的研究成果［3－6］，這些文獻模擬了橡膠密封圈的壓縮變形過程、壓縮反力、接觸應力等方面的內容。在解析方法方面，關于橡膠材料組成的各種結構的有限變形問題的研究成果也已相當豐富，如圓筒受內壓、圓柱體的扭轉、長方體的彎曲、氣球的膨脹等等［7－8］。最近，Cohen 和 Durdan［9］研究了一類橡膠材料組成的圓形薄板中靜態空穴現象。然而，關于橡膠密封圈在各種形式載荷作用下的有限變形問題的研究還相對較少，特別是對相關問題的動力學響應方面的研究至今鮮有文獻報導。

本文基于非線性彈性材料和結構的有限變形理論，研究了硫化橡膠密封圈的徑向振動和控制問題。第二節中首先考慮了一類關于徑向橫觀各向同性的硫化橡膠材料的本構模型，然后建立了在內表面突加的徑向載荷作用下，不可壓縮的矩形橡膠密封圈徑向振動問題的數學模型，并求得了描述矩形橡膠密封圈徑向運動的微分方程。第三節中通過數值模擬的方法對微分方程的解進行了定性分析，討論了材料參數、結構參數和徑向載荷對解的定性性質的影響;證明了當突加的徑向壓力較小時，密封圈隨時間的運動將是非線性周期振動;給出了橡膠圈隨時間運動將會破裂的臨界載荷。

2 問題的數學描述與求解

2.1 本構模型

文中所指非線性彈性材料，又稱為Green彈性材料，它的本構關系可完全由其應變能函數描述，即

式中，F為物體產生有限變形時的變形梯度張量，λ1，λ2，λ3為變形梯度張量F的主伸長。對于不可壓縮的非線性彈性材料，約束條件為λ1λ2λ3=1，對應的Cauchy應力張量的主值為

且式中的i不表示求和，p為對應于不可壓縮材料的靜水壓力。

文中考慮一類橫觀各向同性的不可壓縮修正Varga材料模型，其應變能函數的形式為［10］

式中，μ為材料產生無窮小變形時的剪切模量，a和b是滿足a+b=2的兩個無量綱材料參數，β≥0是衡量材料關于主方向λ1各向異性程度的無量綱參數。易見，當β=0時，式(3)便對應于各向同性的修正Varga材料模型［11］，該模型最初用來模擬硫化橡膠材料。

2.2 數學模型

對于由不可壓縮的硫化橡膠材料模型(3)制成的矩形橡膠密封圈，考察其內表面受到均布的突加載荷作用時的徑向振動問題。假設橡膠密封圈在變形過程中厚度不發生變化，且變形前后的柱坐標系分別為(R，Θ，Z)和(r，θ，z)。進一步地，在軸對稱變形和平面應變的假設下，變形前后的構形分別為

式中，r(R，t)為描述橡膠圈徑向運動的待定函數。相應的變形梯度張量的主伸長為

忽略體積力的作用時，描述橡膠圈徑向對稱運動的微分方程為

式中，ρ0為材料的密度;σrr，σθθ分別為對應于式(2)的徑向和環向應力，即(1，2)對應于(r，θ)。

由于橡膠密封圈的內表面受到突加的徑向壓力ρ0的作用，而外表面是無約束的，因此相應的邊界條件為

在初始時刻，即t=0時，橡膠圈處于靜止和未變形狀態，相應的初始條件為

2.3 解

由材料的不可壓縮條件λ1λ2λ3=1和式(6)可得

式中，c(t)是一個待定的積分常數，它描述了橡膠圈在時刻t沿徑向運動的位置。

將式(3)代入式(2)和式(7)，然后再將得到的表達式關于r從r1到r積分，則得靜水壓力的表示式為

3 密封橡膠圈的徑向振動

由式(18)可知，對任意的正數 x和 δ，U(x，δ)＞0。因此，只有 V(x，β，δ，p0) ＜0 時，方程(19)才可能有解存在。對于給定的結構參數δ、徑向各向異性參數 β 和載荷 p0，V(x，β，δ，p0)與 x 之間的關系曲線如圖1，方程(15)滿足初始條件(16)的相圖如圖2—圖4，其中v=(ρ0/μ)1/2B˙x。

由常微分方程的定性理論可知，若方程的相圖是封閉曲線，則方程必有周期解。

由圖2可見，對于給定的結構參數δ和材料參數β，存在一個臨界壓力pcr，使得當p0≤pcr時，方程(15)滿足初始條件(16)的相圖是光滑的閉凸軌線;當p0＞pcr時，方程的軌線不再封閉。因此可以斷言，當突加在密封圈內表面的壓力小于臨界載荷時，橡膠密封圈隨時間的運動將是非線性的周期振動;當壓力超過臨界載荷時，橡膠密封圈隨時間的增加而無限增大，即密封圈最終將會破裂。由圖3可見，對于給定的材料參數β和臨界載荷pcr，結構參數δ越小，橡膠密封圈越容易破裂;由圖4可見，對于給定的結構參數δ和臨界載荷pcr，關于徑向橫觀各向同性的材料參數β越小，橡膠密封圈越容易破裂。

圖1 對于給定的δ和β，p0/μ取不同值時V(x，β，δ，p)與 x 之間的關系曲線

圖2 對于給定的δ和β，p0/μ取不同值時方程(15)滿足初始條件(16)的相圖

圖3 對于給定的β和pcr/μ，δ取不同值時方程(15)滿足初始條件(16)的相圖

圖4 對于給定的δ和p0/μ，β取不同值時方程(15)滿足初始條件(16)的相圖

4 結論

本文討論了材料參數、結構參數和徑向載荷對徑向橫觀各向同性不可壓縮的修正Varga材料組成的硫化橡膠密封圈的徑向振動的影響。通過對描述橡膠密封圈的徑向運動的微分方程的定性分析和數值模擬，證明對于任意給定的材料參數和結構參數，存在一個臨界壓力，當在密封圈內表面突加的載荷小于臨界壓力時，橡膠密封圈隨時間的運動是非線性周期振動;然而當突加載荷超過臨界壓力時，橡膠密封圈隨時間的增加最終將會破裂。

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Radial Oscillation of Rectangular Sealing Rings Composed of
Incompressible Modified Varga Materials

YUAN Xue－gang1，WANG Jun－fang2，ZHU Long－ji1，Liu Xiao－wei1
(1.College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116600，China;
2.School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China)

The oscillation and control problem has been examined for a vulcanized rubber sealing ring composed of a class of transversely isotropic incompressible modified Varga materials about radial direction，where the sealing ring is subjected to a suddenly applied radial load at its inner surface.A nonlinear ordinary differential equation that describes the radial motion of the sealing ring has been developed.For the given material and structure parameters，a critical load has been obtained by numerical examples.It is proved that if the applied load is lower than the critical load，the motion of the rubber ring with time will present a nonlinear periodic oscillation，while if it exceeds the critical load，the motion will increase infinitely with the increasing time and so the rubber ring will be destroyed ultimately.

vulcanized rubber sealing ring;finite deformation;radial load;periodic oscillation

O343

A

1009－315X(2011)05－0465－04

2011－05－25

國家自然科學基金面上項目(10872045);教育部優秀人才支持計劃 (NCET－09－096);中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(DC10030104)。

袁學剛(1971－)，男，吉林樺甸人，教授，博士，學校優秀學術帶頭人，碩士生導師，主要從事非線性問題的解析解法和數值解法研究。

(責任編輯 鄒永紅)