粘塑性海冰流變模型的穩定性分析

王光輝，谷湘潛

（中國氣象科學研究院 災害天氣國家重點實驗室，北京 100081）

粘塑性海冰流變模型的穩定性分析

王光輝，谷湘潛

（中國氣象科學研究院 災害天氣國家重點實驗室，北京 100081）

對Hibler 1977提出的具有粘塑性本構關系的海冰模型進行了修改和穩定性分析。在已有的工作中，應用這樣一個粘塑性本構關系進行數值積分時大多都必須引入人工擴散項。這里我們用數值逼近技巧提出計算相鄰浮冰之間相互作用力的新方法，并且證明修改后的模型無論是海冰的收斂還是發散流動都是穩定的，模式積分無需引入人工擴散項。以二維結構為例給出了詳細分析。

海冰；流變模型；穩定性；橢圓屈服曲線；插值

1 前 言

海冰覆蓋地球海洋的大約7%，并且在這些海洋和大氣之間形成了盡管是部分但有時非常有效的屏障，阻止海－氣之間的相互交換。極地水冷卻到冰點形成海冰，其大小從浮在水中的小冰粒到幾米厚的大冰塊。雖然通常情況下海冰是結實的， 但冰層從來不會是完整的，因為海洋中的局部加熱和冰的不同方向的運動，冰破裂露出水面來。冰經常變形，將均勻一大片冰塊分裂成許多形狀不規則的大浮冰。與海洋大氣分布狀態明顯相反的是海冰的分布有非常大的季節和年度變化，因而對氣候模擬研究增加了復雜性[1]。長期以來，人們認識到在海洋，大氣和冰之間存在許多聯系。一方面，無論是海洋的上層還是海冰的覆蓋都將受到大氣有意義的影響。另一方面，海冰的存在有大量的氣候因果關系，影響大氣和海洋的溫度與環流形式。海冰減少吸收在海洋表面的太陽輻射量。它是一個強大的絕緣體，限制著海洋與大氣之間熱量、質量，動量及化學要素的交換。此外，在全球氣候模式里，對海冰動力過程的理解為大氣提供了臨界邊界條件。在海冰模擬中有兩個重要的變量，即：冰蓋率和冰的移速。冰蓋率對海洋和大氣之間的熱量交換有較大的作用。冰的移速對海洋冰的質量，海溫及鹽度的重新分布有重要的影響。在收斂流動中，相鄰的浮冰相互作用并向對方施加接觸力。而在發散流場內浮冰彼此分離，接觸力消失。在維持聚合流動期間，相鄰浮冰間不斷增加的接觸力通過破裂，變形和垂直位移形成在上面漂浮，在下傾覆的山脊式粘合冰。為了確定彈性響應，應變將被不確定的追蹤，呈現出豐富的理論[2]和數值問題[3]。Hibler于1977年[4]通過在合適的時空尺度上取應力和應變率的平均值，提出了一種新的粘塑性流變理論。緊隨著這個工作，Hibler 1979年提出了動力熱力學海冰模型[5]，在這個模型里，厚冰和薄冰被區別對待，厚冰的區域部分定義冰的聚合。這個理論作為一種經典的海冰動力學模型被廣泛接受。數值算法[6]形成了大多數其它海冰動力模型的基礎。雖然計算的代價高昂，但仍有越來越多的近代模型包含復雜的流變學理論[7,8]。

然而，粘塑性模型同被采用的相應橢圓屈服曲線在它的表達式里是否存在內在的不穩定性仍是一個有爭議的問題。Gray和Killworth 1995年作了穩定性分析，證明模型是不穩定的，而且問題根本就是不適定的[7]。以前的研究工作表明數值模式的穩定性依賴于人工擴散項的引進，而且，模式積分的數值結果是（至少部分）人工數值擴散項的函數。在粘塑性海冰模擬過程中，動量平衡方程和連續方程構成一組基本的方程組。不同于Gray和Killworth的處理方法，我們在這里提出：用數值逼近的方法去計算相鄰浮冰之間的相互作用力。 在這個模型里，由于計算相鄰海冰相互作用力的應力張量不連續，采用一個連續函數序列去逼近不連續的應力張量函數。然后，通過這個序列，重新計算相鄰海冰間的相互作用力。由此得到的模型是穩定的，無需為了穩定而引入人工擴散項。

文章的其余部分安排如下：第2→部分，敘述了粘塑性模型和相鄰浮冰之間作用力F的基本計算方法→。第3部分，主要對二維水平情況的相互作用力F進行近似計算。第4部分，用擾動法[9?11]對修改后的海冰模型的解的穩定性進行了分析，證明了在不引進人工擴散項的情況下，模型是穩定的。最后給出本文的結論。

2 粘塑性海冰模型

以 Gray 和 Morland 1994年提出的相互作用的連續框架描述大片浮冰的質量、動量及能量平衡關系[8]為基礎。用浮冰和前導水組成的水平二維混合公式對Hilbler 1979年提出的經典框架推導類似的平衡定理[5]。

2.1 海冰的密集度與厚度的連續方程

設xoy是固定在旋轉地球的Cartesian 直角坐標系，并且定義一個非慣性框架。冰的密集度和厚度滿足的連續方程是[7]

2.2 海冰的動量平衡方程

考慮海冰在二維平面內移動。在海冰運動平面的Cartesian 直角坐標系內，動量平衡方程是[7?8]：

對于一個擁有橢圓縱橫比為e的橢圓屈服表面，由文獻[7]，粘塑性模型將通過法向流規則將應變張量D和應力張量Ne聯系起來，即：

4 穩定性分析

式中上面有橫杠的變量表示平衡態，上面有波浪線的量為擾動變量。將上述表達式代入(15)－(18)并舍棄高階小量，得到其線性化方程組

5 結 論

本文通過插值逼近方法重新計算浮冰之間的相互作用力，修改了粘塑性流變模型，并用擾動理論對其解的穩定性進行了分析。證明修改后的模型在某些條件下，其解無任是浮冰收斂時的聚集還是發散時的分離，其解都是穩定的。克服了修改前模型的解存在不穩定的現象。

致謝：感謝美國Vermont 大學Yu Jun教授對本文的幫助。

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[2]Pritchard R S.An elastic-plastic constitutive law for sea ice [J].Journal of Applied Mechanics, 1975(42): 379-384.

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[8]Gray J M, Morland L.A two-dimensional model for the dynamics of sea ice [J].Phil.Trans.Roy.Soc, 1994, 34(7): 219-290.

[9]Yu J, Kevorkian J, Haberman R.Weak Nonlinear Long Waves I in Channel Flow with internal Dissipation [J].Studies in applied mathematics, 2000(105): 143-163.

[10]Yu J, Kevorkian J.Nonlinear evolution of small disturbances into roll wave in an inclined open channel [J].Journal of Fluid Mechanics, 1992(243): 575-594.

[11]Horst L.Stability Theory: An Introduction to the Stability of Dynamic Systems and Rigid Bodies [M].Stuttgart: John Wiley & Sons Ltd.and B.G.Teubner, 1987.

Stability analysis of the viscous plastic sea ice rheology model

WANG Guang-hui, GU Xiang-qian

(State Key Laboratory of Severe Weather, Chinese Academy of Meteorological Sciences, Beijing 10081, China)

Revision and stability analysis are carried out for a sea ice model with a viscous-plastic constitutive relation of Hibler (1977) in this paper.In the existing work, numerical model integration in many studies using this viscous-plastic constitute relation are only made possible by introducing an artificial diffusion.Here, we present a new way to compute the interaction force of adjacent sea ice floes by using a mathematical approximate method.The revised model is shown to be stable in all cases including both convergent and divergent flows.The need of artificial diffusion in model integration has now been removed.As an example, we present detailed analysis for a two-dimensional configuration.

sea ice; rheology model; stability; elliptical yield curve; interpolation

P731.15

A

1001-6932(2011)06-0625-08

2011-07-07；

2011-09-26

中國自然科學基金 (40875066, 41075080 )。

王光輝(1962－), 男, 研究員, 主要從事數值天氣預報研究。電子郵箱：earth54@126.com。