例析“數(shù)形結(jié)合”思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

　　摘 要： 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面。利用它可使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法。本文通過例題分析了數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合思想 二次函數(shù) 應(yīng)用
　　
　　一、引言
　　數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語）.數(shù)學(xué)中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入.一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示.另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論.這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟一條重要的途徑.因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”.而課堂教學(xué)中多媒體的應(yīng)用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，有利于突破教學(xué)難點，有利于動態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系，營造愉快的課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，愛學(xué)數(shù)學(xué).
　　“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個方面，一直就是一對矛盾體.正如矛和盾總是同時存在一樣，有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾說：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”寥寥數(shù)語，把數(shù)形之妙說得淋漓盡致.“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)中的一種重要思想，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位.關(guān)于這一點，只要翻閱近年高考試卷，就可見一斑.在多年來的高考題中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，大多是“以形助數(shù)”，比較常見的是在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問題、求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)等問題中，同時“數(shù)形結(jié)合”思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用是中、高考命題的一個熱點，也是平時學(xué)習(xí)二次函數(shù)解決應(yīng)用問題的一個重點.巧妙運用“數(shù)形結(jié)合”思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍.
　　二、從“數(shù)”到“形”的思想應(yīng)用
　　例1.已知方程|x-4x+3|=m有4個根，則實數(shù)m的取值范圍.
　　【分析】此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個數(shù)，而求方程的根的個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點的個數(shù)問題來解決.
　　解：方程|x-4x+3|=m根的個數(shù)問題就是函數(shù)y=|x-4x+3|與函數(shù)y=m圖像的交點的個數(shù).
　　作出拋物線y=x-4x+3的圖像，將x軸下方的圖像沿x軸翻折上去，得到y(tǒng)=|x-4x+3|的圖像，再作直線y=m，如圖所示.由圖像可以看出，當(dāng)0＜m＜1時，兩函數(shù)圖像有4個交點，故m的取值范圍是（0，1）.
　　例2.確定函數(shù)y=x|x|-2|x|的單調(diào)區(qū)間.
　　解：y=x|x|-2|x|=x-2x，x≥0-x+2x，x＜0
　　作出函數(shù)的圖像，由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0］和［1，＋∞），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［0，1］.
　　評注：數(shù)形結(jié)合可用于解決二次函數(shù)方程的解的問題，準(zhǔn)確合理地作出滿足題意的圖像是解決這類問題的關(guān)鍵.
　　三、從“形”到“數(shù)”的思想應(yīng)用
　　例3.如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過的路線是某個二次函數(shù)圖像的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，球路的最高點B（8，9），則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為?搖?搖 ?搖?搖，小孩將球拋出了約?搖?搖 ?搖?搖米（精確到0.1m）.
　　解：由題意和圖像可設(shè)y=a（x-8）+9，將點A（0，1）代入，得a=，
　　∴y=-（x-8）+9=-x+2x+1.
　　令y=0，得-（x-8）+9=0，
　　解之得x=8±6，
　　即C（8+6，0），∴OC=8+6≈16.5（米）.
　　評注：從“形”到“數(shù)”的問題時，應(yīng)注意觀察函數(shù)圖像的形狀特征，充分挖掘圖像的已知條件，確定函數(shù)的解析式，從而利用函數(shù)的性質(zhì)來解.
　　四、“數(shù)形結(jié)合”思想的綜合應(yīng)用
　　例4.市“健益”超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克.由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）（x≥30）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式.
　　（1）試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
　　（2）設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
　　（3）根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍.
　　解：（1）設(shè)y=kx+b，由圖像可知，
　　30k+b=40040k+b=200，解得k=-20b=1000，
　　即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-20x+1000（30≤x≤50）.
　　（2）p=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x+1400x-20000
　　∵a=-20＜0，
　　∴P有最大值.
　　當(dāng)x==35時，P=4500（元）.
　　（或通過配方，P=-20（x-35）+4500，也可求得最大值）
　　答：當(dāng)銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元.
　　（3）∵4180≤-20（x-35）+4500≤4480
　　1≤（x-35）≤16
　　∴31≤x≤34或36≤x≤39.
　　評注：在解決二次函數(shù)問題時，要注意“由數(shù)想形，以形助數(shù)”的方法，充分挖掘題目中的已知條件，從而創(chuàng)造性地解決問題.
　　五、結(jié)語
　　在學(xué)習(xí)二次函數(shù)中“數(shù)”、“形”并進(jìn)，讓學(xué)生見“數(shù)”想到“形”，見“形”不忘“數(shù)”.
　　在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價原則；數(shù)形互補(bǔ)原則；求解簡單原則.當(dāng)然在學(xué)習(xí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想時，還應(yīng)掌握以下幾點.
　　1.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系.
　　2.正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.
　　3.切實把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性，以性識圖.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］姚立新.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用［J］，2005，1.
　　［2］蔡東興.數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2009，2.