關于隱函數存在定理證明教學的新探討

　　摘 要： 在數學分析教學中，“隱函數存在定理”的證明較為復雜，不易被學生接受和掌握。作者依據長期從事數學分析教學的經驗，從八個方面對該定理進行分析，深入淺出，明了易懂，達到了很好的教學效果。
　　關鍵詞： 隱函數存在定理 分析證明 分析論證思想
　　
　　1.問題的提出
　　數學分析教學中“隱函數存在定理”的證明，是一個較為復雜，不易被學生很快理解和掌握的定理。現把該定理復述如下：
　　定理：設F（x，y）在（x，y）的領域內連續，并有連續的偏導數F′（x，y），如果
　　F（x，y）=0?搖?搖?搖 F′（x，y）≠0
　　則在（x，y）的某領域內，方程F（x，y）=0有唯一的連續解y=f（x），也就是說，這時存在某η>0，使得在［x-η，x+η］上存在著一函數y=y（x），使得：
　　1）y=y（x）；
　　2）y（x）在［x-η，x+η］上連續；
　　3）在［x-η，x+η］上恒等式F（x，y（x））=0成立；
　　4）滿足條件1）—3）的函數y（x）是唯一的。
　　在定理所給條件下，找到滿足結論條件的隱函數y=f（x），從幾何直觀來看就是：若在（x，y）附近z=F（x，y）為光滑曲面，則它在點（x，y）附近與z=0的交線為光滑曲線，并能表示為y為x的函數（當 F′（x，y）≠0），如圖1所示。
　　對于這個定理，一般的分析教科書上多采用的傳統證法是基于它的幾何意義，而從下面幾方面去進行推斷。
　　（一）定理的結論，實質是找曲面z=F（x，y）和平面z=0的交線y=f（x），使得這曲線過（x，y）且在x附近連續，唯一。
　　（二）要這曲線過（x，y）必須曲面過（x，y），即F（x，y）=0。
　　（三）要這曲線在x附近連續，只需曲面z=F（x，y）在（x，y）附近連續。
　　（四）要曲線唯一，也就需證，對x附近任一x，有唯一確定的y。
　　在定理題設中有， F′（x，y）≠0，不妨假定它大于0，由于 F′（x，y）連續，因此存在（x，y）的某個領域，其中每一點 F′都大于0。在該領域內，固定x=x，令φ（y）=F（x，y），由于φ′（y）>0，因此φ（y）是單調上升的，只要證明存在y及y，使得φ（y）>0，φ（y）<0，則由一元連續函數的中值定理，就存在一點M（x，y）使F（x，y）=0，這是定理證明的核心。其幾何意義是：曲面z=F（x，y）垂直于x軸的平面x=x的交線z=F（x，y），剖面圖形如圖2所示。
　　這種證法比較直觀，容易被接受，但只給出了解的存在性證明。在很多問題的研究中，我們不僅僅需要知道隱函數的存在，更重要的是要求得隱函數，而這種證法并不能解決這個問題。我們看到在近期出版的一些數學分析教科書上，關于隱函數存在定理的證明，使用了逐次逼近法。這種證法，不僅證明了隱函數的存在，而且包含了解的求法。我們使用逐次逼近造就出所要求的函數y=f（x），這在電子計算機得到廣泛應用的今天，是很容易得到所要求的結果的，可見此證法較之傳統的證明方法頗有可取之處。但這種證法，涉及的知識面很廣，證明篇幅又長，初學者在晦澀的證明面前，常感到惘然，而不得要領。我就這一證明方法，作以剖析，希望能對初學者有所助益。
　　2.隱函數存在定理的證明分析
　　數學上任何命題，定理的討論，都離不開對定理精細、透徹的分析。我們習慣用的分析方法是由結論找需知，具體說來，就是從“未知”出發，通過層層剖析，看“需知”什么，再根據“未知”和“已知”條件或隱含的“已知”條件之間的聯系、轉化，逐步“運用已知”想到“可知”。這種方法對于此定理的分析也是適宜的。
　　分析：
　　（1）因為我們限定在（x，y）某領域內找方程F（x，y）=0的解，可利用泰勒公式用線性函數來逼近函數F（x，y）：
　　F（x，y）=F（x，y）+F′（x，y）（x-x）+F′（x，y）（y-y）+0（ρ）
　　其中ρ=，所以在（x，y）附近，函數F（x，y）可近似看成線性函數（忽略0（ρ）），這樣求方程F（x，y）=0的解，就近似相當于求線性方程：
　　F（x，y）+F′（x，y）（x-x）+F′（x，y）（y-y）=0的解。
　　需要注意的是：
　　首先，要使上式在（x，y）附近有解，必須F（x，y）=0，否則當動點（x，y）與（x，y）充分靠近時，上式第一項不為零，而后二項值可任意小，其和不能為零，即線性方程在（x，y）附近無解，于是我們得出線性方程在（x，y）附近有解的第一條件為：F（x，y）=0；
　　其次，使線性方程有解，還必須在（x，y）有一個偏導數不為0，比如F′（x，y）≠0，這樣才能把y寫成x的函數。這是線性方程在（x，y）附近有解的第二個條件。
　　由定理知，這兩個條件均在題設中給出。
　　（2）以前講到過求一元方程f（x）=0的近似根的切線法。出現過逐步迭代程序：
　　x=x-。
　　現在，在二元方程F（x，y）=0中，視x固定，容易想到下面迭代程序：
　　y=y-
　　為了使分母簡單，固定（x，y），有
　　y=y-
　　其幾何意義，可參看圖3。
　　由于F′（x，y）≠0，為簡便起見，不妨設F′（x，y）=1，則有：
　　y=y-F（x，y）?搖?搖 （*）
　　（3）構造函數列：
　　由（*）式求出（x，y）附近的系列解
　　y=y-F（x，y）
　　y=y-F（x，y）
　　y=y-F（x，y）
　　…
　　y=y-F（x，y）
　　…
　　其中y=y（x）為連續函數（n=1，2，…），x∈［x-η，x+η］，F（x，y）=0的解y=f（x）為函數列{y（x）}的極限函數。其幾何意義，可見圖4。
　　（4）欲證函數列{y（x）}的極限函數f（x）為所求，需證明{y（x）}的收斂性。證明{y（x）}的收斂性，可等價考慮級數：
　　y（x）+{y（x）-y（x）}+{y（x）-y（x）}+…+{y（x）-y（x）}+…
　　亦記作y+（y（x）-y（x））?搖?搖?搖 （1）
　　的收斂性。
　　（5）要證明{y（x）}的極限函數f（x）在x某領域上連續，須證明（y（x）-y（x））一致收斂。為達此目的，我們借助M－判別法，判別級數（1）的一致收斂性，因此需要尋找一個在x某領域的收斂的正項級數a，且|y（x）-y（x）|≤a。
　　（6）由F（x，y）在（x，y）的連續性，確定η，同時由一致收斂級數的性質定理，可證得極限函數f（x）在［x-η，x+η］上連續，且y=f（x），則定理結論1）、2）分別得證。
　　（7）證明結論中的3），需證兩點：
　　（i）F（x，y（x））=F（x，f（x））
　　（ii）F（x，f（x））=0
　　至此，隱函數的存在性及連續性已得證。
　　（8）證明滿足1）—3）的f（x）唯一，可設另有（x）也滿足1）—3），矛盾，得出（x）=f（x）。
　　上述分析，給我們的論證探索了途徑，歸納起來，運用逐次逼近的思想證明隱函數存在定理，大致可分為下面幾步。
　　（一）由y=y-F（x，y）出發構造函數列{y（x）}。
　　（二）證明{y（x）}?圯f（x），x∈［x-η，x+η］。
　　（三）證明f（x）即為所求隱函數，即分別證明f（x）滿足定理結論中的1）—3），且唯一。
　　本文意在幫助初學者掌握這種新證法，而對此證明給出粗淺分析，詳細證明，恕不贅述。至于此證法比起傳統證法的可取之處，通過下列問題的解決，讀者也可略見一斑了。
　　求出由F（x，y）=siny+shy-x在（0，0）點某領域內確定的隱函數y=f（x）。
　　［解法一］
　　我們對函數采取泰勒逼近法，求出y=f（x）。
　　因為sin y+shy=x，shy=在（0，0）點附近，由泰勒公式，有：
　　e=1+++++0（y）
　　e=1-+-++0（y）
　　shy=y++0（y）
　　siny=y-0（y）
　　所以shy+siny=2y+0（y）
　　在（0，0）附近siny+shy=x，即為
　　2y≈x，即y≈x/2。
　　對此問題，我們按照上述證明方法，再借助計算機，問題就更容易解決了。
　　［解法二］
　　設F（x，y）=siny+shy-x
　　而（x，y）＝（0，0）
　　F（x，0）=-x
　　則由（*）式，有：
　　y=x
　　y=x-（sinx+shyx-x）=2x-sinx-shx
　　y=2x-sinx-shx-［sin（2x-sinx-shx）+sh（2x-sinx-shx）-x］
　　=3x-sinx-shx-sin（2x-sinx-shx）-sh（2x-sinx-shx）
　　…
　　y=nx-sinx-shx-sin［（n-1）x-sinx-shx］-sh［（n-1）x-sinx-shx］
　　…
　　如果在（0，0）點的某領域［-，］給x一系列值，則得y=f（x）較精確的函數圖像，如圖5所示：
　　可見，用這種逐次逼近法，造就所求函數y=f（x），即使對f（x）無法用初等函數來表示的情況，我們也能獲得較理想的函數圖像表示。
　　3.結語
　　按照本文提出的分析論證思想來講解隱函數存在定理的證明，我曾數度進行過這樣的教學實踐，都取得了良好的效果，證實了這種教學方法的可行性。
　　此外，從數學方法論方向對我們的啟迪也是很大的，即在教學過程中應首先側重形成教學概念的認識過程的思路分析，這才是探索真理和發現真理的有效途徑。
　　
　　參考文獻：
　　［1］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義.北京：高等教育出版社，1992.
　　［2］武漢大學數學系編.數學分析.北京：人民教育出版社，1978.
　　［3］華東師范大學數學系編.數學分析.北京：人民教育出版社，1981.
　　曾偉梁系通訊作者：zengwl1002@126.com