教學中要重視培養學生思維的深刻性

　　摘 要： 在教學過程中，學生往往存在較強的依賴心理，缺乏積極主動的主觀思維能力。作者通過引導學生積極思考、深刻思考，培養學生的積極深入思考的良好習慣。
　　關鍵詞： 數學教學 思維深刻性 變異教學 本質因素 批判性教學
　　
　　數學給予人們的不僅是知識，更重要的是能力。這種能力包括觀察實驗、收集信息、歸納類比、直覺判斷、邏輯推理、建立模型和精確計算。這些能力一旦形成，將使人終身受益。然而，現在的很多學生，面對數學猶如洪水猛獸，完全沒有體會到數學對其思維產生的巨大影響。數學對其思維的培養不是一朝一夕的事情，也不可能有立竿見影的效果，是一個循序漸進的過程。懼怕數學的學生其根本是主觀依賴性嚴重，從而缺失了積極主動的主觀思維能力。思想的惰性要遠比肉體的懶惰可怕，肉體的懶惰充其量就是個懶人，而思想的懶惰者，卻會成為一個不折不扣的庸人、廢人。在數學的教學中，如何讓學生克服這種思維的惰性，進而培養對問題進行深入思考的良好習慣，是我在教學中常常思考的一個問題。
　　思維是在表象、概念的基礎上進行的綜合分析、判斷、推理等認識活動的過程。在教學中，我嘗試著用如下一些方式加強對學生能力的培養。
　　一、通過變異教學，加深對概念、原理的理解，培養思考的習慣。
　　例如：判斷函數y=sinx，x∈（-7π，7π）是否是周期函數。
　　許多學生已經成為了一種思維定勢，認為y=sinx是最小正周期為2π的周期函數，因此會毫不猶豫地下結論：y=sinx，x∈（-7π，7π）是周期函數。有這種思維定勢的同學，明顯就是對認識周期函數相關性質一知半解，沒有對周期函數的性質進行深入的思考和分析。因此教師可以借用該例引導學生對周期函數的性質有更進一步的認識。由于學生已經知道，設y=f（x）的定義域是I，如果存在一個的正數T，使得對于?坌x∈I，有（x±T）∈I，且有f（x+T）=f（x）恒成立，則函數y=f（x）稱為周期函數，若T為最小正周期，則T的非零整數倍也是y=f（x）的周期。因此，學生容易理解，若取x=6π∈（-7π，7π），有sin（6π）=sin（6π+2π）=sin（8π），但8π?埸（-7π，7π），因而可以斷定函數y=sinx，x∈（-7π，7π）不是周期函數。如果教師的分析到此結束的話，那么對以后遇到其他周期函數時，學生仍然可能犯同樣的錯誤，也就達不到對其深刻的理解。因為若T為最小正周期，則T的非零整數倍也是y=f（x）的周期，容易推出，非零整數的個數是無限的，所以，凡是具有周期性函數所對應的區間絕不可能是有限值。通過對周期函數的變異教學，學生對周期函數的認識就更加深刻。這樣的教學，能讓學生體會到深入思考的必要性，經常這樣進行有目的教學，學生就會養成思考的習慣，形成思考的條件反射。
　　二、引導學生識別具有本質的因素，培養思考的深刻性。
　　例如：設a+a+1=0，+b+1=0，且1-a≠0，求的值。
　　對于這個題目，大多數學生會分析為要求的值，只需要從a+a+1=0中求出a，從+b+1=0中求出b，然后再結合條件1-a≠0對前面求出的a和b進行篩選，從而可輕易求出的值，但是在求解的過程中卻出現了虛數，因此直接求出a和b顯得比較麻煩了，便會考慮把變形為+a，把1-a≠0變形為≠。因此只需要從a+a+1=0中求出，從+b+1=0中求出，分別有兩個根，然后根據≠分兩種情況討論，就可求出=-1。通過上面的常規分析，也能求出的值，但比較麻煩。此時，教師就要引導學生對題目本身加以挖掘，發現其中的亮點，已知中給出的兩個等式（a）+a+1=0和（）++1=0形式相似，則a和分別為方程x+x+1=0的兩個根，而=+a本質上是兩根之和。所以，應用韋達定理便可輕松求出=+a=-1。運用韋達定理的解法抓住了問題的本質因素，突破了思維定勢，進一步開闊了學生的視野，使得學生對問題的認識更加深刻和全面。
　　三、通過批判性教學，促進深刻性的發展。
　　例如：證明：任意三角形皆為等腰三角形。
　　證明：任作△ABC，∠A的角平分線與BC邊的中垂線相交于O，
　　過O作OE⊥AB，OF⊥AC，
　　可證得Rt△AEO≌Rt△AFO，Rt△BDO≌Rt△CDO，
　　?圯Rt△EOB≌Rt△FOC，
　　∴EB=FC，AB=AC，
　　∴任意△ABC皆為等腰三角形。
　　此題的論證完全正確，可是問題的關鍵在于角平分線與BC邊的中垂線相交于O點，該交點并非交于△ABC的內部，只可能在BC邊上或△ABC外。當然這個錯誤問題的出現原因可讓學生先分析，查找問題，教師再做點評。
　　又例如：△ABC的周長為18，面積為30，求△ABC的內切圓的半徑。
　　解：S=（a+b+c）r?圯r=
　　粗略一看，該題目的解法也是相當正確的，但是仔細思考會發現當三角形的周長一定時，面積最大的是正三角形，而S=×6=9＜18＜30，滿足題目中條件的三角形根本就不存在。可先提示學生尋找周長一定時，面積最大的是什么三角形，面積一定時，周長最長的是什么三角形等類似問題。在以后的教學中，也要有計劃地引導學生對類似問題進行思考。
　　上述兩個例子，從解決的過程來看，都比較容易解決，只是因為沒有對題目本身加以深入分析，才造成了錯誤的題目都有著看似正確的答案。因此，教師要引導學生對于平時學習過程中一些常識性結論和范圍有個基本把握，不能盲目地相信專家權威，通過這種批判性的教學，使學生能夠認識到：只有做到全方位地把握問題，才不容易范常識性的錯誤。
　　知識的堆積，總會隨著時間的流逝而完全遺忘，但通過數學學習對思維能力的培養，對思維習慣的培養，將是學生受用一生的財富。在教學過程中，重視對學生思維的培養，是數學教學最基本的任務，千萬不能因為某種目的，讓學生機械地學習，那就完全失去了學習數學的意義，也是數學教學的徹底失敗。