一堂不同尋常的習(xí)題課

　　摘 要： 在習(xí)題講解過程中，對學(xué)生提出的不同觀點(diǎn)，作者因勢利導(dǎo)，對習(xí)題進(jìn)行變換并用多種方法解答，拓展了學(xué)生的思維，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，取得了較好的教學(xué)效果。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 習(xí)題課 變換
　　
　　全國中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校通用教材《數(shù)學(xué)》第四版?上冊習(xí)題冊第四十五頁有這樣一道習(xí)題：已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，3）、（-1，4）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。我同往常一樣給同學(xué)們講解這道題。先畫圖，如下圖1。
　　解題過程如下：
　　設(shè)D（x，y）
　　因?yàn)锳BCD是平行四邊形
　　所以=
　　所以（3，4）-（x，y）=（-1，4）-（-2，3）
　　所以（3-x，4-y）=（1，1）
　　所以3-x=1，4-y=1
　　所以x=2，y=3
　　所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）.
　　此時，有一位學(xué)生舉手說道：D點(diǎn)的坐標(biāo)不止一個，應(yīng)該有三個。我聽后心里很高興，教了多年的技校數(shù)學(xué)，學(xué)生一直是被動接受，甚至解題過程中出現(xiàn)筆誤也看不出來。今天這位學(xué)生不僅能認(rèn)真聽講，而且能提出不同的觀點(diǎn)，于是我表揚(yáng)了他一番，還鼓勵同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中要善于提出疑問。然后，我就這位學(xué)生對此題的想法繼續(xù)拓展下去。
　　我說：此題已知條件中ABCD是平行四邊形，把A、B、C、D的順序已經(jīng)固定了，所以D點(diǎn)的位置是唯一的，因此此題只有一解。如果此題的題目變換為：“已知A、B、C、D四個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，其中三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，3）、（-1，4）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。”這樣的題目就如這位學(xué)生所說，有三種情況，一種同上面的解法。其余兩種情況請同學(xué)們畫圖并求出D點(diǎn)的坐標(biāo)。此時，學(xué)生的興趣也被激發(fā)出來了，都在認(rèn)真思考其余兩種情況怎么畫圖，經(jīng)過一段時間的思考，有一部分學(xué)生解答出來了。我適時地激勵他們，他們的臉上洋溢著成功的喜悅。于是我請其中兩位學(xué)生將另兩種情況在黑板進(jìn)行板演。
　　第二種情形如圖2：
　　因?yàn)?
　　所以（-1，4）-（-2，3）=（x，y）-（3，4）
　　所以（1，1）=（x-3，y-4）
　　所以x-3=1，y-4=1
　　所以x=4，y=5
　　所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5）.
　　第三種情形如圖3：
　　設(shè)D（x，y）
　　因?yàn)?
　　所以（-1，4）-（x，y）=（3，4）-（-2，3）
　　所以（-1-x，4-y）=（5，1）
　　所以-1-x=5，4-y=1
　　所以x=-6，y=3
　　所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，3）.
　　我因勢利導(dǎo)，問學(xué)生：此題除了用向量相等解答以外，你還可以用什么方法解答？學(xué)生苦思冥想，一時想不出來。我就逐漸引導(dǎo)他們：A、B、C、D構(gòu)成平行四邊形，平行四邊形的兩組對邊分別平行，因此兩組對邊的斜率分別相等。三種情形由三組同學(xué)分別進(jìn)行解答，比賽一下哪一組做得既快又正確，給予獎勵。同學(xué)們努力快速地解答。
　　以第一種情形為例，解答過程如下：
　　如圖1，設(shè)D（x，y）
　　因?yàn)锳B∥DC
　　所以k=k
　　所以=
　　化簡得x-y+1=0.
　　又因?yàn)锽C∥AD
　　所以k=k
　　所以=
　　化簡得y-3=0.
　　由上面兩式組成方程組，解得x=2，y=3，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）.
　　其余兩種情形的解法同第一種情形解答過程相似。一部分基礎(chǔ)比較好的同學(xué)很快就解答出來了。為了以示鼓勵，我給予做對的學(xué)生一次平時成績?yōu)閮?yōu)的獎勵。當(dāng)學(xué)生的思維還處于活躍狀態(tài)時，我順勢又問：同學(xué)們想想，除了上面兩種方法外，還有沒有其他方法？沒有學(xué)生能想起來，我點(diǎn)撥他們；A、B、C、D構(gòu)成平行四邊形，除了“平行四邊形的兩組對邊分別平行”性質(zhì)外還有什么性質(zhì)？同學(xué)們恍然大悟，七嘴八舌地說：“平行四邊形的兩組對邊分別相等。”我肯定了他們的說法，又問：“那么用什么方法去求解呢？”同學(xué)們說：“用兩點(diǎn)間的距離公式去求解。”我用肯定的口氣說：“對了，很好。”由于此演算過程對技校學(xué)生來說比較難，我就邊講解邊演算在黑板上。
　　以第一種情形為例，解答過程如下：
　　如圖1，設(shè)D（x，y）
　　因?yàn)锳B=CD，所以=
　　化簡得x+y-6x-8y+23=0（1）
　　因?yàn)锽C=AD，所以=
　　化簡得x+y+4x-6y-3=0（2）
　　解（1）（2）式組成的方程組得：x=2