一堂不同尋常的習題課

　　摘 要： 在習題講解過程中，對學生提出的不同觀點，作者因勢利導，對習題進行變換并用多種方法解答，拓展了學生的思維，激發了學生學習的興趣，取得了較好的教學效果。
　　關鍵詞： 數學教學 習題課 變換
　　
　　全國中等職業技術學校通用教材《數學》第四版?上冊習題冊第四十五頁有這樣一道習題：已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，3）、（-1，4）、（3，4），求頂點D的坐標。我同往常一樣給同學們講解這道題。先畫圖，如下圖1。
　　解題過程如下：
　　設D（x，y）
　　因為ABCD是平行四邊形
　　所以=
　　所以（3，4）-（x，y）=（-1，4）-（-2，3）
　　所以（3-x，4-y）=（1，1）
　　所以3-x=1，4-y=1
　　所以x=2，y=3
　　所以D點坐標為（2，3）.
　　此時，有一位學生舉手說道：D點的坐標不止一個，應該有三個。我聽后心里很高興，教了多年的技校數學，學生一直是被動接受，甚至解題過程中出現筆誤也看不出來。今天這位學生不僅能認真聽講，而且能提出不同的觀點，于是我表揚了他一番，還鼓勵同學們在學習的過程中要善于提出疑問。然后，我就這位學生對此題的想法繼續拓展下去。
　　我說：此題已知條件中ABCD是平行四邊形，把A、B、C、D的順序已經固定了，所以D點的位置是唯一的，因此此題只有一解。如果此題的題目變換為：“已知A、B、C、D四個點構成平行四邊形，其中三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，3）、（-1，4）、（3，4），求頂點D的坐標。”這樣的題目就如這位學生所說，有三種情況，一種同上面的解法。其余兩種情況請同學們畫圖并求出D點的坐標。此時，學生的興趣也被激發出來了，都在認真思考其余兩種情況怎么畫圖，經過一段時間的思考，有一部分學生解答出來了。我適時地激勵他們，他們的臉上洋溢著成功的喜悅。于是我請其中兩位學生將另兩種情況在黑板進行板演。
　　第二種情形如圖2：
　　因為=
　　所以（-1，4）-（-2，3）=（x，y）-（3，4）
　　所以（1，1）=（x-3，y-4）
　　所以x-3=1，y-4=1
　　所以x=4，y=5
　　所以D點坐標為（4，5）.
　　第三種情形如圖3：
　　設D（x，y）
　　因為=
　　所以（-1，4）-（x，y）=（3，4）-（-2，3）
　　所以（-1-x，4-y）=（5，1）
　　所以-1-x=5，4-y=1
　　所以x=-6，y=3
　　所以D點坐標為（-6，3）.
　　我因勢利導，問學生：此題除了用向量相等解答以外，你還可以用什么方法解答？學生苦思冥想，一時想不出來。我就逐漸引導他們：A、B、C、D構成平行四邊形，平行四邊形的兩組對邊分別平行，因此兩組對邊的斜率分別相等。三種情形由三組同學分別進行解答，比賽一下哪一組做得既快又正確，給予獎勵。同學們努力快速地解答。
　　以第一種情形為例，解答過程如下：
　　如圖1，設D（x，y）
　　因為AB∥DC
　　所以k=k
　　所以=
　　化簡得x-y+1=0.
　　又因為BC∥AD
　　所以k=k
　　所以=
　　化簡得y-3=0.
　　由上面兩式組成方程組，解得x=2，y=3，所以D點坐標為（2，3）.
　　其余兩種情形的解法同第一種情形解答過程相似。一部分基礎比較好的同學很快就解答出來了。為了以示鼓勵，我給予做對的學生一次平時成績為優的獎勵。當學生的思維還處于活躍狀態時，我順勢又問：同學們想想，除了上面兩種方法外，還有沒有其他方法？沒有學生能想起來，我點撥他們；A、B、C、D構成平行四邊形，除了“平行四邊形的兩組對邊分別平行”性質外還有什么性質？同學們恍然大悟，七嘴八舌地說：“平行四邊形的兩組對邊分別相等?！蔽铱隙怂麄兊恼f法，又問：“那么用什么方法去求解呢？”同學們說：“用兩點間的距離公式去求解。”我用肯定的口氣說：“對了，很好?！庇捎诖搜菟氵^程對技校學生來說比較難，我就邊講解邊演算在黑板上。
　　以第一種情形為例，解答過程如下：
　　如圖1，設D（x，y）
　　因為AB=CD，所以=
　　化簡得x+y-6x-8y+23=0（1）
　　因為BC=AD，所以=
　　化簡得x+y+4x-6y-3=0（2）
　　解（1）（2）式組成的方程組得：x=2