機(jī)械能守恒定律的幾個(gè)表達(dá)式及應(yīng)用

　　在物體系內(nèi)，只有重力和彈簧彈力做功的情形下，動(dòng)能和勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，總的機(jī)械能保持不變，這就是我們熟悉的機(jī)械能守恒定律。
　　一、機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式
　?。?）E+E=E+E（或E=E）
　　該式表示所研究的物理過(guò)程中，任意兩個(gè)狀態(tài)的機(jī)械能總量相等。
　　（2） △E=△E
　　該式表示系統(tǒng)動(dòng)能的增加量等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少量。
　?。?） △E=△E
　　該式表示將系統(tǒng)分為a、b兩部分，a部分機(jī)械能的增加量等于b部分的減少量。
　　在應(yīng)用上面的表達(dá)式解題時(shí)，第一個(gè)表達(dá)式中的E是相對(duì)的，建立方程時(shí)必須選擇合適的零勢(shì)能參考面，且每一個(gè)狀態(tài)的E都應(yīng)是相對(duì)同一個(gè)參考平面而言，平時(shí)練習(xí)中大多數(shù)的題目都可用它來(lái)解決；后兩種表達(dá)式由于研究的是變化量，無(wú)需選擇零勢(shì)能面，有些問(wèn)題利用它們解題顯得非常方便，特別是在選擇零勢(shì)能面時(shí)會(huì)出現(xiàn)未知的高度時(shí)，用這種表達(dá)式來(lái)解決更為方便，但是問(wèn)題中一定要搞清楚增加量和減少量。
　　應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的基本步驟包含：（1）確定研究對(duì)象和研究過(guò)程；（2）判斷機(jī)械能是否守恒；（3）選定一種表達(dá)式，列式求解。
　　二、機(jī)械能守恒定律表達(dá)式的應(yīng)用
　　例1.如圖所示，均勻鐵鏈長(zhǎng)為L(zhǎng)，平放在距離地面高為2L的光滑水平面上，其長(zhǎng)度的懸垂于桌面下，從靜止開(kāi)始釋放鐵鏈，求鐵鏈下端剛要著地時(shí)的速度？
　　解：鐵鏈在運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒，選取地面為零勢(shì)能面：
　　mg2L+mg(2L-)=mg+mv 得：
　　v=。
　　本題所涉及的屬于單個(gè)物體，切所給高度已知，所以用表達(dá)式（1）較簡(jiǎn)便。
　　例2.如圖所示，半徑為R的光滑半圓上有兩個(gè)小球A、B，質(zhì)量分別為m和M，由細(xì)線掛著，今由靜止開(kāi)始無(wú)初速度自由釋放，求小球A升至最高C點(diǎn)時(shí)A、B兩球的速度？
　　解析：A球沿半圓弧運(yùn)動(dòng)，繩長(zhǎng)不變，A、B兩球通過(guò)的路程相等，A上升的高度為h=R；B球下降的高度為H==；對(duì)于系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得： -ΔE=ΔE；
　　∴ΔE=-Mg+mgR=(M+m)v
　　∴v=。
　　本題也可用表達(dá)式（1）來(lái)解。
　　例3.如圖所示，質(zhì)量分別為2m和3m的兩個(gè)小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點(diǎn)O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸。AO、BO的長(zhǎng)分別為2L和L。開(kāi)始時(shí)直角尺的AO部分處于水平位置而B(niǎo)在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開(kāi)始自由轉(zhuǎn)動(dòng)，求：
　?。?）當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，A小球的速度大小v；
　　（2）B球能上升的最大高度h；
　?。?）開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后B球可能達(dá)到的最大速度v。
　　解：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對(duì)象，由于轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。
　　（1）過(guò)程中A的重力勢(shì)能減少，A、B的動(dòng)能和B的重力勢(shì)能增加，A的即時(shí)速度總是B的2倍。
　　2mg?2L=3mg?L+?2m?v+?3m（），解得v=。
　?。?）B球不可能到達(dá)O的正上方，它到達(dá)最大高度時(shí)速度一定為零，設(shè)該位置比OA豎直位置向左偏了α角。
　　2mg?2Lcosα=3mg?L(1+sinα)，此式可化簡(jiǎn)為4cosα-3sinα=3。
　　利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°。
　?。?）B球速度最大時(shí)就是系統(tǒng)動(dòng)能最大時(shí)，而系統(tǒng)動(dòng)能增大等于系統(tǒng)重力做的功W。設(shè)OA從開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)θ角時(shí)B球速度最大，
　　?2m?（2v）+?3m?v=2mg?2Lsinθ-3mg?L（1-cosθ）=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mg?L，
　　解得v=。
　　本題如果用E+E= E′+E′這種表達(dá)形式，就需要規(guī)定重力勢(shì)能的參考平面，顯然比較煩瑣。用ΔE=ΔE就要簡(jiǎn)潔得多。