高職數學中定積分概念教學的實踐與思考

　　摘 要： 定積分的概念是微積分中的一個重要概念，高職院校的學生一般不容易掌握，作者通過提前預備、實例引入、分析概括、概念剖析、幾何直觀、鞏固練習等環節的教學實踐，達到既讓學生學會知識，又培養學生能力的目的。
　　關鍵詞： 高職數學 定積分 概念數學
　　
　　《應用數學》是高職院校許多專業開設的一門重要基礎課，對后續專業課的學習及今后的發展都具有重要的意義。其中定積分的概念又是《應用數學》中微積分部分的一個重要概念。若學生對定積分的概念不能正確理解，必將影響到積分理論及相關專業課的學習。然而由于高數知識不像文史類知識那樣有生動的語言和靈活的想象空間，因此學生學習起來往往提不起興趣，久而久之產生厭學情緒。解決這一問題的關鍵是教師能否在數學與現實之間架設一座橋梁，讓學生從現實走進數學，也讓學生從數學走進現實［１］。我根據自己多年的教學實踐，談談定積分概念教學中的一些嘗試。
　　一、提前預備，做好鋪墊［2］
　　定積分的概念冗長而抽象，由于高職學生普遍基礎較差，他們一看到數學中文字較長的問題就頭暈，因此很難理解定積分的概念。鑒于此，我們可以在講課之前提出問題：如何知道一片樹葉一面的面積？學生的回答一般是網格法，即將樹葉蓋住有方格的紙片，然后用鉛筆畫出其邊界，數數邊界內方格的個數，邊界部分對應的方格四舍五入，就可知道樹葉的大概面積，網格越密測得面積越精確。進而引導學生深入討論：①網格無限密會怎樣？②“有限”與“無限”的區別？③能否用“線型法”（即用n條等距的平行直線分割樹葉）測得樹葉的面積？通過這類問題的討論，為定積分概念的實例——曲邊梯形的面積問題的解決打下了良好的基礎。
　　二、實例引入，注重方法
　　引入定積分概念的實例較多，常見的有“曲邊梯形的面積”、“變速直線運動的路程”等［3］。對“曲邊梯形的面積問題”可著重分析：①任意曲線圍成的圖形面積只要坐標系選取適當，都可轉化為曲邊梯形的面積來求；②底邊大的曲邊梯形的面積無法直接求出，底邊小的呢？底邊小的曲邊梯形由于其高度變化不大，面積可近似地用矩形面積代替，于是自然想到了將底邊大的曲邊梯形分割成底邊小的曲邊梯形；③每個小的曲邊梯形面積都用矩形面積近似代替；④將各個小曲邊梯形面積相加即得到曲邊梯形面積的近似值；⑤想得到精確值只有無限細分——極限的處理辦法。具體來說，曲邊梯形面積可分以下四步完成：分割、近似、求和、取極限。對引例“變速直線運動的路程”問題則以啟發為主，與學生一起進行簡單的分析，引導學生得出類似的結論。在講解與分析過程中，強調“曲”與“直”、“變”與“不變”的轉化，使學生在學習過程中充分體會極限的思想與方法。講完兩實例后，可以要求學生思考：在生活與實際工作中，你還能找出哪些問題與上述問題類似？
　　三、分析概括，抽象定義
　　通過兩個實例的分析講解，我引導學生拋開問題的實際意義，僅從數學的角度出發找出它們的共性，并從共性中得出定義。
　　①問題的本質是一樣的，都是在一定范圍內求整體量問題；
　　②解決問題的方法是一樣的，都涉及“整”化“零”、“直”代“曲”、“不變”代“變”；
　　③處理的步驟是一樣的，分“分割、近似、求和、取極限”四步；
　　④所得結論一致：特殊形式的“和式極限”。
　　四、剖析概念，領會本質
　　定積分的概念敘述較長，學生不易理解，因此在引出定積分的概念之后，應對定積分的概念作必要的解釋：定積分是一個特殊的極限值，與不定積分完全不同；極限值的唯一性說明定積分的值是唯一確定的，與區間的分法及每個區間中變量的取法無關；定積分的值僅與區間及函數有關，所以積分f（x）dx與積分f（t）dt相等。
　　五、幾何意義，解釋直觀
　　每個定積分表達式，無論其實際意義是什么，都可從幾何方面作出解釋，介紹定積分的幾何意義時，先從引例“曲邊梯形的面積”談起，學生很容易知道：當被積函數f（x）≥0時，定積分f（x）dx表示由曲線y=f（x）及直線x=a，x=b，x軸圍成圖形的面積，進而引導學生分析得出當f（x）≤0及f（x）有時正有時負時定積分f（x）dx的幾何意義，并要求學生練習與定積分幾何意義相關的一些問題。
　　六、課后練習，鞏固概念
　　為了加深對定積分概念的理解，一般在講完定積的概念與幾何意義之后，可安排一定的練習，如：①求曲線y=x及直線x=1，x軸圍成圖形的面積；②用幾何意義求（2x+1）dx.通過練習，進一步加深學生對定積分定義及幾何意義的理解。
　　以上是我們在定積分的概念教學中作的一些嘗試，在教學過程中如果能借助多媒體，對“分割、近似、求各、取極限”的過程以動畫演示，會取得更好的效果。我們還發現，在定積分概念的教學過程中，學生除了能學到必需的數學知識外，還可對學生進行辯證唯物主義的思想教育。以變速直線運動的路程問題為例，首先，求和后得到的路程是近似值，一旦取極限后就轉化為精確值，這一變化體現了從“量變”到“質變”的過程；其次，“變”和“不變”本來是對立的，但在無限小的條件下，兩者變成一回事了，這體現了兩者既對立又統一；最后，定積分的概念是從特殊問題中抽象出來的，而這類問題又普遍存在，說明普遍性存在于特殊性之中。
　　
　　參考文獻：
　　［1］曹廣福，葉瑞芬.微積分教學中如何處理積分理論［J］.高等數學研究，2008，（6）：10-12.
　　［2］林漢燕.抓好概念教學的三個環節，提高教學質量［J］.工科數學，2002，18，（4）：55-58.
　　［3］同濟大學數學系.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2007，（第5版）.