簡單遞推數列通項公式的求法

　　已知某數列的遞推公式求該數列的通項公式是數列的一個基本問題，但很多學生卻感到較難掌握，解決這類問題的關鍵是將遞推關系轉化為等差或等比數列的遞推關系來求解。本文為同學們介紹由遞推數列求通項的技巧。
　　1.形如a-a=f（n）型
　　若f（n）為n的函數時，可用累加法求數列的通項a.
　　例1：已知數列{a}滿足a=，且a=2，求數列的通項公式a.
　　解：由題意知，-=，又a=２，即=
　　∴=（-）+（-）+…+（-）+=++…++==1-
　　∴a=
　　2.形如=f（n）型
　　若f（n）為ｎ的函數時，可用累積法求數列的通項a.
　　例2：已知數列{a}滿足a=，a=a，求a.
　　解：由條件知=，則
　　a=····a=····a=·a
　　又a=
　　∴a=
　　3.形如a=ca+d（c≠0，c≠1，d≠0）型
　　此種類型的遞推公式，可采用待定系數法求通項。
　　例3：已知數列{a}滿足：a=2a+3且a=1，求數列{a}的通項a.
　　解：由a=2a+3可化為a-t=2（a-t），即a=2a-t
　　∴t=3
　　故遞推公式可化為a+3=2（a+3），即=2
　　此時數列{a+3}是以a+3=4為首項，2為公比的等比數列.
　　∴a+3=4×2，即a=2-3.
　　規律小結：將遞推公式a=ca+d（c≠0，c≠1，d≠0）化為a+=c（a+），構造成公比為c的等比數列{a+}，從而求得通項公式。當然也可以把遞推公式a=ca+d中的n換成n-1，得到a=ca+d，兩式相減有a-a=c（a-a），從而化為公比為c的等比數列{a-a}，進而求得通項公式。
　　4.形如a=pa+f（n）（p≠0，p≠1）型
　　（1）若f（n）是關于n的一次式，可采用待定系數法求之。
　　例4：已知數列{a}滿足：a=2a+n且a=1，求數列{a}的通項a.
　　解：由題意原式可化為：a+t（n+1）+r=2（a+tn+r）（t，r∈R），整理得：a=2a+tn+r-t，則t=r=1.
　　∴a+（n+1）+1=2（a+n+1），即數列{a+n+1}是以3為首項，2為公比的等比數列.
　　∴a+n+1=3·2，即a=3·2-n-1.
　　當然，此題還有以下解法：
　　解二：由題意知：a=2a+n+…①
　　a=2a+n-1+…（n≥2）②
　　由①-②得：a-a=2（a-a）+1，即a-a+1=2（a-a+1）
　　∴數列{a-a+1}是以3為首項，以2為公比的等比數列，即a-a+1=3·2，則a-a=3·2-1，故a=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a=（3·2-1）+（3·2-1）+…+（3·2-1）+1=3·（2+2+…+2）-（n-1）+1=3×-n+2=3·2-n-1，即a=3·2-n-1.
　　（2）若f（n）是關于n的指數式，可將等式兩邊同除這個指數式，把遞推式轉化為a=ca+d（c≠0，c≠1，d≠0）型來求解。
　　例5：已知數列{a}滿足：a=2a+3，a=6，求通項公式a.
　　解：將遞推式兩邊同除以3可得：=+=·+，
　　∴（-1）=（-1），即數列{-1}是以-1=1為首項，為公比的等比數列.
　　∴-1=（），即a=3·2+3.
　　5.形如a=型
　　此類型可采用取倒數法。
　　例6：已知數列{a}滿足：a=且a=1，求數列的通項公式a.
　　解：由題意知a≠0，把遞推式取倒數可得：==2·+3（轉化為類型3），
　　∴（+3）=2（+3），即數列{+3}是以+3=4為首項，2為公比的等比數列.
　　∴+3=2，即a=.
　　6.形如a=pa+qa（其中p，q為常數）型
　　此類型可先把遞推公式轉化為a-sa=t（a-sa），其中s，t滿足s+t=pst=q，再運用前面類型一的方法求解。
　　例7：已知數列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求a.
　　解：把a=a+a化為：a-sa=t（a-sa），即a=（s+t）a-sta，
　　∴s+t=st=-，解得s=1t=-或s=-t=1，這里不妨選用s=1t=-（當然也可選用第二組，不過最后結果一樣），則a-a=-（a-a），故數列{a-a}是以a-a=1為首項，-為公比的等比數列.
　　∴a-a=（-）
　　∴a=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a=（-）+（-）+…+（-）+1=+1=-（-）.