教你五招必殺

　　解析幾何綜合題是高考命題的重點內容之一，此類試題往往以解析幾何知識為載體，綜合函數、不等式、三角、數列等內容，涉及到的知識點較多，對解題能力的考查層次要求較高?？忌诮獯饡r，普遍感到困難，常常是無從下手或半途而廢。本文針對學生現狀，傳授五招必殺技，旨在幫助考生跳過解析幾何綜合題的門檻。
　　第一招：細心審題，多方轉化。
　　解析幾何綜合題一般條件較多，牽涉到的知識面廣，考生初讀題目，常感希望渺茫，找不到出路。考生需要練的第一招便是在“審”字上下功夫，這是解題的關鍵。在審題理解題意時，要先將題設中的主要條件特別是一些隱含條件挖掘出來，然后根據題目目標及不同用途再轉化成相應代數形式，這樣在解題時就不會“無從下手”，思路較易形成。
　　例1.如圖1，過橢圓C：+=1上一點P向圓O：x+y=4引兩條切線PA、PB，A、B為切點，若·=0，求點P的坐標.
　　解析：本題主要條件有：（1）點P在橢圓C上；（2）PA、PB是圓O切線；（3）·=0.設P（x，y），則由（1）可列出第一個方程+=1①.對條件（2）進一步挖掘，可發現PA⊥OA，PB⊥OB，PA=PB.再由條件（3）知PA⊥PB，則可發現四邊形OAPB是正方形，因此，|OP|=2，可列出第二個方程x+y=4②.聯立方程①②解得x=±2，故P點的坐標為（±2，0）.
　　第二招：韋達定理，平中見奇。
　　當直線與圓錐曲線相交于兩點時，對由其方程組成方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，由韋達定理寫出相應關系式，通過其它條件或所求尋找關系進行等量代換，如此平凡的處理中常常能直奔主題，事半功倍。
　　例2.已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件|PM|-|PN|=2，記動點P的軌跡為W.
　?。á瘢┣骔的方程.
　?。á颍┤鬉、B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求、的最小值.
　　解析：（Ⅰ）易求得W的方程為-=1，x≥.
　　（Ⅱ）設A，B的坐標分別為（x，y），（x，y），
　　當AB⊥x軸時，x=x，從而y=-y，從而·=xx+yy=x-y=2.
　　當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，與W的方程聯立，消去y得：
　　（1-k）x-2kmx-m-2=0
　　故x+x=，xx=.
　　所以·=xx+yy=xx+（kx+m）（kx+m）
　　=（1+k）xx+km（x+x）+m
　　=++m
　　==2+
　　又因為xx＞0，所以k-1＞0，從而·＞2.
　　綜上，當AB⊥x軸時，·取得最小值2.
　　第三招：設而不求，重在消參。
　　設而不求的思想在解析幾何綜合題的解答中應用最為廣泛，幾乎每題必用，通過引進參數使原問題的結構形式和解題目標發生變化，有利于從新的角度分析和認識問題，其基本動作要領為“巧選參，活用參，重消參”。選參數時必須充分考慮制約動點的各種因素，因為參數不同導致解題時的繁簡程度也不盡相同，消參時要注意參數范圍對取值的影響，以確保問題的等價性。
　　例3.如圖2，設拋物線C：y=x的焦點為F，動點P在直線l：x-y-2=0上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點，求△ABP的重心G的軌跡方程.
　　解析：題目中動點較多，關系復雜，應以引起動點運動變化的變化規律為切入點，以主動點為目標，將從動點的坐標進行整體轉移或變換消參，可借所設點參而現軌跡原形。
　　設切點A、B的坐標分別為A（x，x），B（x，x），（x≠x），
　　則切線AP的方程為：2xx-y-x=0，
　　切線PB的方程為：2xx-y-x=0，
　　解得P點的坐標為x=y=xx，故△ABP的重心G的坐標為x==x，
　　y====，得y=-3y+4x，
　　又點P在直線l上運動，故重心G的軌跡方程為x-（-3y+4x）-2=0即y=（4x-x+2）.
　　第四招：借助平幾，峰回路轉。
　　解析幾何和平面幾何研究的對象都是幾何問題，區別在于研究的手段不同，所以有些解析幾何問題借助平面幾何知識（如中位線定理、角分線定理、垂徑定理、勾股定理等）往往能迅速找到解題的突破口，起到事半功倍的效果。
　　例4.已知圓C：（x-3）+（y-4）=4，直線l過點A（1，0），且與圓相交于P、Q兩點，線段PQ的中點為M，又l與l：x+2y+2=0的交點為N.求證：AM·AN為定值.
　　證明：由兩點式得AC所在直線方程：=，即2x-y-2=0.
　　又l方程為x+2y+2=0，故AC⊥l.
　　如圖3，設垂足為B，再由M為弦PQ中點知CM⊥PQ，
　　故△AMC∽△ABN，有=，
　　則AM·AN=AB·AC=·=·2=6
　　故AM·AN為定值.
　　第五招：通覽全局，局部突破。
　　例5.橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.
　　（1）求橢圓的方程及離心率.
　　（2）設=λ（λ＞1），過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明=-λ.
　　解析：（1）易解得橢圓的方程為+=1，離心率e=.
　　（2）由（1）可得A（3，0），設P（x，y），Q（x，y），則=（x-3，y），=（x-3，y），由=λ得x-3=λ（x-3）①，y=λy②，
　　又P、Q在橢圓上，有+=1③，+=1④.
　　注意λ＞1，由①②③④解得x=，因F（2，0），M（x，-y），
　　故=（x-2，-y）=（λ（x-3）+1，-y）=（，-y）=-λ（，y），
　　而=（x-2，y）=（，y），所以=-λ.