數學復習中學生認知結構整合構建的策略

　　現代建構主義學習理論認為，學生構建認知結構的方式有兩種，其一是將原有的認知與新的情境發生相互作用，例如新課教學中新知識的學習；其二是對原有認知結構進行重組和整合，例如復習教學中對原有知識和方法的鞏固學習。數學習題教學主要通過學生原有認知與問題系統發生相互作用（解答問題過程）來對原有認知結構（包括數學知識、數學解題思路和方法、思維素質和能力等）進行重組和整合，重組和整合的目的是構建一個新的意義數學認知結構。
　　在高考復習中，學生雖然做了很多題，但認知中往往存在較多的缺乏內在邏輯關系，沒有解決或沒有弄清的數學問題。雖然學生在教師指導下對原有數學認知結構進行多次的構建活動，但認知結構往往比較膚淺，缺乏穩定性，并且比較模糊和混亂，缺乏清晰性和系統性。我認為，造成上述學生認知缺陷除了學生自身主觀的原因和學習內容上的原因之外，主要是因為教師未引導學生對原有認知結構進行整合構建。我結合教學實踐，對高三復習教學中教師如何引導學生整合構建認知結構提出一些看法。
　　一、一般性整合構建，促進認知結構的概括化
　　在高考復習中學生往往思維缺乏嚴謹性，認知結構缺乏概括化，具體表現為：比較熟悉特殊情形下的數學規律，而缺乏對有關數學規律性一般含義的認識；熟記特殊情形結論，套用特殊結論來解答一般性問題，而缺乏解答數學問題的基本思路。針對學生上述認知結構的缺陷，可對學生已做的一些問題情境、所包含知識、解題方法具有邏輯關系的問題進行概括性整合，把特殊的問題納入到一般的問題中，同時揭示這些問題情境、包含知識、解題方法間的特殊和一般關系。通過概括性整合，學生能簡化問題系統，把握基本的知識和一般的解題方法，促進認知結構的概括化。
　　例如，如在復習圓錐曲線的概念時，我先讓學生完成一道小練習：
　　已知平面內一動點P到一定點（2，0）的距離是它到定直線x=4的距離的一半，求點P的軌跡方程。
　　在查漏糾偏之后，將“一半”改為“相等”、“二倍”，再問學生此時對應的點P的軌跡是什么？進而提出橢圓、雙曲線、拋物線的定義，“焦半徑”、“準線”的定義、性質，等等，這樣不僅加深了學生對概念的理解，而且使學生的思維更加順暢、開闊。
　　這種設計從特殊到一般，從簡單到復雜，實施了概括性整合。通過概括性整合，學生深刻理解了圓錐曲線的概念，把握了解答這類問題的基本解題思路，促進了認知結構的概括化。
　　二、相似性整合構建，促進認知結構的穩定化
　　高考復習中學生雖然做了很多練習，但由于缺乏對所解答問題的整合，沒能揭示某些情境相似、解題所用知識和方法相同的問題內在聯系，導致認知結構缺乏穩定化。針對學生上述認知結構的缺陷，可對學生已做的外表不同但本質（數學模型、數學過程、解題思路方法等）相似的問題進行整合，做到多題歸一。相似性整合不僅能簡化問題系統，而且能加深學生對這些相似問題的理解，促進學生原有認知結構的穩定化。
　　例如：求值：（1）tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°
　　（2）tan18°tan22°+tan22°tan50°+tan50°tan18°
　　這是兩道習題，在對比兩小題的結構時，設計出以下問題組，引導學生對問題進行推廣：（1）兩小題的結構特點是什么？（2）三個角為銳角的條件可以減弱嗎？（3）在此基礎上，你能不能改變題目的部分已知條件，編出一道新題？
　　在教學中，有許多題存在相似的地方，教師可以根據學生的情況，設計出有梯度的小問題，讓學生在特殊中發現問題的本質。
　　在高考復習中，教師若對這些相互聯系的問題進行相似性整合，引導學生進行整合解答，就能使學生深化對有關方法和知識點的理解，進一步歸納出共性的解題方法，提高分析綜合能力，促進認知結構的穩定化。
　　三、比較性整合構建，促進認知結構清晰化
　　一些外表相似但數學模型、已知條件、求解目標、包含數學知識和解題方法等本質不同的“形同質異”問題往往容易擾亂學生認知結構，導致學生認知結構比較混亂。在高考復習中，可對這些“形同質異”問題進行比較性整合，引導學生揭示它們之間的聯系與區別，通過比較性整合理順原有問題系統，訓練學生思維的批判性，促進學生認知結構清晰化。
　　例如，用“乘法原理”確定有幾種抽題的方法：
　　（1）從6個試題中，3個學生分別抽出一題。
　　（2）從6個試題中，一個學生抽出3題完卷。
　　這兩個題，外形相似，性質不同，前者是排列問題，后者是組合問題。學生往往分辨不清，這里由（1）類比地轉入（2），兩相對照，涇渭分明，這就是形同質異的對比。
　　對某些問題的比較性整合，可揭示這些“形同質異”問題的本質區別，使學生認識到運動性質分析的重要性，把握解決相關問題的思路和方法，促進認知結構中問題系統和解題思路的清晰化。
　　四、系統性整合構建，促進認知結構系統化
　　1.知識的系統性整合構建
　　某一數學問題往往包含某一知識的某一方面或幾個方面屬性，把多個問題進行整合能夠全面地構建知識多方面屬性，促使認知結構的系統化。
　　針對每節課的教學難點，若通過適當的問題設置，讓學生在數學實驗中體會知識的發生過程，理解問題的根本特征，可以收到“撥開烏云見青天”之效。
　　例如，在復習函數y=Asin（ωx+?準）（A＞0，ω＞0）的圖像變換時，我先讓四個學生組成一個小組，讓其中的三個學生按相同尺寸分別用“五點法”畫出函數y=2sinx、y=sin2x、y=sin（x+）在一個周期內的圖像，第四個學生巡視、督促，并將三張圖像進行比較。進而要求每個小組根據圖像解決以下問題：（1）這三個函數的圖像可否實現相互轉換？需作怎樣變形？（2）上述轉換可作怎樣推廣？（3）可否編寫一組練習體現你們的結論，達成組內共識后，由組長陳述。
　　這種設計通過改變函數y=Asin（ωx+?準）（A＞0，ω＞0）的各個系數，讓學生對函數中不同系數的作用進行認識，促進了認知結構的系統化。
　　2.方法的系統性整合構建
　　解答某類問題往往可以運用不同的方法，某一方法往往具有特定的適用特點和適用范圍，把滲透不同方法的問題進行系統化整合，可以分析比較不同方法的適用特點，揭示不同方法的適用范圍，加深學生對解決某類問題所用不同方法的系統性認識，促進認知中方法結構的系統化。
　　例如，橢圓+=1上有兩點P、Q，O為原點。連接OP、OQ，若k·k=-，
　　①求證：|OP|+|OQ|等于定值；②求線段PQ中點M的軌跡方程。
　　本題可以由“換元法”引入新的參數，即設x=4cosθy=2sinθ（橢圓參數方程），參數θ、θ為P、Q兩點，先計算k·k得出一個結論，再計算|OP|+|OQ|，并運用“參數法”求中點M的坐標，消參而得。
　　通過引導學生系統性整合解答這類問題，揭示這些數學思想方法的適用特點，學生能比較系統地把握常用的數學推理方法，從而促進認知結構中數學方法的系統化。