中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式證明的構(gòu)造法運(yùn)用

　　摘 要： 運(yùn)用構(gòu)造法解決不等式問題，不但可以深化對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，而且可以溝通數(shù)學(xué)中不同知識(shí)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，是解決許多不等式問題的一種行之有效的新方法。本文通過列舉一些具體的例子來探討怎樣借助構(gòu)造法證明不等式。
　　關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 構(gòu)造法 不等式證明
　　
　　《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“高中數(shù)學(xué)新課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷史，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要措施，其中構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)新、提升學(xué)生學(xué)習(xí)層面境界的方法，在數(shù)學(xué)問題解決中有著極為重要的作用。不等式的證明歷來是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的主要方法。對(duì)于不等式的證明，方法靈活多變，技巧性強(qiáng)，而有些不等式的證明如用常規(guī)的方法處理，可能難以奏效，甚至無從下手，此時(shí)可以根據(jù)所給不等式的特征，巧妙構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)、方程、向量、幾何圖形、平面曲線等方法來證明，可使證明過程變得簡(jiǎn)捷。下面通過一些具體的例子來探討怎樣借助構(gòu)造法證明不等式。
　　一、借助構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式
　　函數(shù)思想與方程觀點(diǎn)是貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中的最重要的思想方法和解題策略，函數(shù)思想揭示了事物運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，反映了事物間的相互關(guān)系。應(yīng)用函數(shù)思想，就是將所研究的問題借助建立函數(shù)關(guān)系式，抑或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化，解決有關(guān)求值，解（證）不等式，解方程，以及討論參數(shù)的取值范圍等問題。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們常遇到一些不等式的證明，看似簡(jiǎn)單，但卻無從下手，很難找到切入點(diǎn)，常用的證法很難奏效。這時(shí)我們不妨變換思維角度，從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。
　　例1：當(dāng)x＞0時(shí)，證明不等式e＞1+x+x成立.
　　證明：設(shè)f（x）=e-1-x-x，則f′（x）=e-1-x.
　　令g（x）=e-1-x，則g′（x）=e-1.當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=e-1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又f（0）=0，∴e-1-x-x＞0，即x＞0時(shí)，e＞1+x+x成立.
　　二、巧用向量證明不等式
　　向量兼具“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)，是解決幾何問題的銳利武器，同時(shí)它也是解決具有特定結(jié)構(gòu)的代數(shù)問題的重要工具。對(duì)一些具有特定結(jié)構(gòu)的不等式的證明，認(rèn)真分析不等式的條件和結(jié)論，構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄浚孟蛄繑?shù)量積的性質(zhì)，可使證明過程變得簡(jiǎn)捷。下面舉例加以說明。
　　例2：證明對(duì)任意a，b，c，d∈R恒有不等式（ac+bd）≤（a+b）（c+d）.［１］
　　分析：本例是一個(gè)重要且常見的不等式，是Cauchy-Schwarz不等式的特例。仔細(xì)觀察特點(diǎn)，例如從ac+bd聯(lián)想到平面向量的數(shù)量積，從a+b，c+d聯(lián)想到向量的模，構(gòu)造向量進(jìn)行證明的思路就油然而生了。
　　證明：設(shè)=（a，b），=（c，d），則·=||·||cosθ
　　其中θ為向量與的夾角
　　又||=，||=
　　根據(jù)平面向量的數(shù)量積的基本性質(zhì)，有|·|≤||·||
　　∴|ac+bd|≤·
　　∴（ac+bd）≤（a+b）（c+d）
　　例3：求證：（1-y）+（x+y-3）+（2x+y-6）≥.
　　簡(jiǎn)析與證明：不等式的左邊，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標(biāo)表示，將左邊看成=（1-y，x+y-3，2x+y-6，2x+y-6）模的平方，又||·||≥·，為使·為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造=（1，2，-1）
　　于是||·||=·
　　·，=（1-y）·1+（x+y-3）·2+（2x+y-6）·（-1）=1
　　所以·≥1
　　即（1-y）+（x+y-3）+（2x+y-6）≥
　　三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法證明不等式
　　數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)會(huì)有神奇的功效。
　　1.構(gòu)造平面圖形證明不等式
　　例4：已知a，b，m都是正數(shù)，并且a＜b，求證：＞.［２］
　　證明：如圖（1），在Rt△ABC及Rt△ADF中，AB=a，AC=b，BD=m，
　　作CE∥BD
　　∵△ABC∽△ADF
　　∴=＜=
　　2.構(gòu)造多面體證明不等式
　　例5：若α，β，γ均是銳角，且cosα+cosβ+cosγ=2，求證：tanαtanβtanγ≤.［３］
　　證明：作長(zhǎng)方體ABCD-ABCD，如圖（2），
　　設(shè)∠DBD=α，∠DBA=β，∠DBC=γ，
　　AB=a，BC=b，BB=c，則α、β、γ滿足cosα+cosβ+cosγ=2
　　于是tanα·tanβ·tanγ=··≤··=，且當(dāng)α=b=c時(shí)取等號(hào).
　　tanα·tanβ·tanγ≤，且當(dāng)α=β=γ時(shí)取等號(hào).
　　例6：已知：x，y，z＞0，
　　求證：+＞.
　　分析：不等式類似與三角形的三邊關(guān)系，又每個(gè)根號(hào)類的多項(xiàng)式具有余弦定理的結(jié)構(gòu)特征形式，注意到這兩點(diǎn)，于是可構(gòu)造如下圖形：
　　構(gòu)造三棱錐V-ABC，且VA=x，VB=y，VC=z，∠AVB=45°，∠BVC=30°，∠CVA=60°（如圖3），
　　則AB=，BC=，CA=.
　　因?yàn)樵谌忮FV-ABC中，AB+BC＞CA，
　　∴+＞.
　　3.構(gòu)造平面曲線證明不等式
　　例7：求證：-≤-2x≤.
　　簡(jiǎn)析與證明：的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。
　　于是令y=（y≥0），則其圖像是橢圓+=1的上半部分，設(shè)y-2x=m，于是只需證-≤m≤，因m為直線y=2x+m在y軸上的截距，由圖（4）可知：當(dāng)直線y=2x+m過點(diǎn)（，0）時(shí)，m有最小值為m=-；當(dāng)直線y=2x+m與橢圓上半部分相切時(shí)，m有最大值。
　　由y=2x+m9x+y=4得：13m+4mx+m-4=0
　　令△=4（52-9m）=0得：
　　m=或m=-（舍）
　　即m的最大值為，
　　故-≤m≤，即-≤-2x≤.
　　四、構(gòu)造方程證明不等式
　　方程觀點(diǎn)則是等量思想的具體體現(xiàn)，是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一，應(yīng)用方程觀點(diǎn)則是將問題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型亦或構(gòu)造出關(guān)于主元的方程加以解決。一些不等式的證明我們可以構(gòu)造方程來證明，下面舉例說明。
　　例8：若x，y∈R，且x+y=1，證明：（1+）（1+）≥9.
　　證明：由已知x，y∈R，且x+y=1，可設(shè)A=（1+）（1+），則A＞1，且xy=.
　　又∵x+y=1，根據(jù)韋達(dá)定理x，y是關(guān)于t的二次方程t-t+=0的實(shí)根，
　　故△=1-≥0?圳A≥9，∴（1+）（1+）≥9.
　　五、運(yùn)用構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式
　　例9：若a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)，試證：++≥（a+b+c）.
　　證明：設(shè)z=a+bi，z=b+ci，z=c+ai，
　　則z+z+z=（a+b+c）（1+i）
　　∵|z|+|z|+|z|≥|z+z+z|
　　∴++≥|（a+b+c）（1+i）|=（a+b+c）
　　點(diǎn)評(píng)：通過模的性質(zhì)|z|+|z|≥|z+z|，構(gòu)造復(fù)數(shù)可以證明不等式.
　　由以上諸例可知，構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)方法，它通過在條件和結(jié)論之間建立中轉(zhuǎn)站，使條件迅速向結(jié)論轉(zhuǎn)化。在不等式的證明中，可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)、方程、向量、幾何圖形、平面曲線等方法來證明常常會(huì)使問題簡(jiǎn)單化。不失時(shí)機(jī)地運(yùn)用構(gòu)造法，不但能激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)造性思維，而且能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的無窮樂趣和魅力。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［2］全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書.數(shù)學(xué)（第二冊(cè)（上））.（人民教育出版社），2006，（11）.17.
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　　［4］希揚(yáng).發(fā)散思維大課堂（高二數(shù)學(xué)（上））［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004，（5）.24.