中學數學中不等式證明的構造法運用

　　摘 要： 運用構造法解決不等式問題，不但可以深化對相關數學知識的認識和理解，而且可以溝通數學中不同知識內容之間的內在聯系，是解決許多不等式問題的一種行之有效的新方法。本文通過列舉一些具體的例子來探討怎樣借助構造法證明不等式。
　　關鍵詞： 高中數學 構造法 不等式證明
　　
　　《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“高中數學新課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷史，發展他們的創新意識?！痹跀祵W教學中不斷進行數學思想方法的滲透是培養學生創新能力的重要措施，其中構造法是一種富有創新、提升學生學習層面境界的方法，在數學問題解決中有著極為重要的作用。不等式的證明歷來是高中數學的難點，也是考查學生數學能力的主要方法。對于不等式的證明，方法靈活多變，技巧性強，而有些不等式的證明如用常規的方法處理，可能難以奏效，甚至無從下手，此時可以根據所給不等式的特征，巧妙構造適當的函數、方程、向量、幾何圖形、平面曲線等方法來證明，可使證明過程變得簡捷。下面通過一些具體的例子來探討怎樣借助構造法證明不等式。
　　一、借助構造函數的方法證明不等式
　　函數思想與方程觀點是貫穿在整個中學數學中的最重要的思想方法和解題策略，函數思想揭示了事物運動變化的規律，反映了事物間的相互關系。應用函數思想，就是將所研究的問題借助建立函數關系式，抑或構造中間函數，結合函數的圖像與性質，加以分析、轉化，解決有關求值，解（證）不等式，解方程，以及討論參數的取值范圍等問題。在高中數學學習過程中，我們常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，常用的證法很難奏效。這時我們不妨變換思維角度，從所證不等式的結構和特點出發，構造一個新的函數，再借助導數確定函數的單調性，利用單調性實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。
　　例1：當x＞0時，證明不等式e＞1+x+x成立.
　　證明：設f（x）=e-1-x-x，則f′（x）=e-1-x.
　　令g（x）=e-1-x，則g′（x）=e-1.當x＞0時，g′（x）=e-1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，而g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增.又f（0）=0，∴e-1-x-x＞0，即x＞0時，e＞1+x+x成立.
　　二、巧用向量證明不等式
　　向量兼具“數”與“形”的特點，是解決幾何問題的銳利武器，同時它也是解決具有特定結構的代數問題的重要工具。對一些具有特定結構的不等式的證明，認真分析不等式的條件和結論，構造適當的向量，利用向量數量積的性質，可使證明過程變得簡捷。下面舉例加以說明。
　　例2：證明對任意a，b，c，d∈R恒有不等式（ac+bd）≤（a+b）（c+d）.［１］
　　分析：本例是一個重要且常見的不等式，是Cauchy-Schwarz不等式的特例。仔細觀察特點，例如從ac+bd聯想到平面向量的數量積，從a+b，c+d聯想到向量的模，構造向量進行證明的思路就油然而生了。
　　證明：設=（a，b），=（c，d），則·=||·||cosθ
　　其中θ為向量與的夾角
　　又||=，||=
　　根據平面向量的數量積的基本性質，有|·|≤||·||
　　∴|ac+bd|≤·
　　∴（ac+bd）≤（a+b）（c+d）
　　例3：求證：（1-y）+（x+y-3）+（2x+y-6）≥.
　　簡析與證明：不等式的左邊，使我們容易聯想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成=（1-y，x+y-3，2x+y-6，2x+y-6）模的平方，又||·||≥·，為使·為常數，根據待定系數法又可構造=（1，2，-1）
　　于是||·||=·
　　·，=（1-y）·1+（x+y-3）·2+（2x+y-6）·（-1）=1
　　所以·≥1
　　即（1-y）+（x+y-3）+（2x+y-6）≥
　　三、運用數形結合法證明不等式
　　數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時會有神奇的功效。
　　1.構造平面圖形證明不等式
　　例4：已知a，b，m都是正數，并且a＜b，求證：＞.［２］
　　證明：如圖（1），在Rt△ABC及Rt△ADF中，AB=a，AC=b，BD=m，
　　作CE∥BD
　　∵△ABC∽△ADF
　　∴=＜=
　　2.構造多面體證明不等式
　　例5：若α，β，γ均是銳角，且cosα+cosβ+cosγ=2，求證：tanαtanβtanγ≤.［３］
　　證明：作長方體ABCD-ABCD，如圖（2），
　　設∠DBD=α，∠DBA=β，∠DBC=γ，
　　AB=a，BC=b，BB=c，則α、β、γ滿足cosα+cosβ+cosγ=2
　　于是tanα·tanβ·tanγ=··≤··=，且當α=b=c時取等號.
　　tanα·tanβ·tanγ≤，且當α=β=γ時取等號.
　　例6：已知：x，y，z＞0，
　　求證：+＞.
　　分析：不等式類似與三角形的三邊關系，又每個根號類的多項式具有余弦定理的結構特征形式，注意到這兩點，于是可構造如下圖形：
　　構造三棱錐V-ABC，且VA=x，VB=y，VC=z，∠AVB=45°，∠BVC=30°，∠CVA=60°（如圖3），
　　則AB=，BC=，CA=.
　　因為在三棱錐V-ABC中，AB+BC＞CA，
　　∴+＞.
　　3.構造平面曲線證明不等式
　　例7：求證：-≤-2x≤.
　　簡析與證明：的結構特點，使我們聯想到橢圓方程及數形結合思想。
　　于是令y=（y≥0），則其圖像是橢圓+=1的上半部分，設y-2x=m，于是只需證-≤m≤，因m為直線y=2x+m在y軸上的截距，由圖（4）可知：當直線y=2x+m過點（，0）時，m有最小值為m=-；當直線y=2x+m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。
　　由y=2x+m9x+y=4得：13m+4mx+m-4=0
　　令△=4（52-9m）=0得：
　　m=或m=-（舍）
　　即m的最大值為，
　　故-≤m≤，即-≤-2x≤.
　　四、構造方程證明不等式
　　方程觀點則是等量思想的具體體現，是已知量與未知量的矛盾統一，應用方程觀點則是將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型亦或構造出關于主元的方程加以解決。一些不等式的證明我們可以構造方程來證明，下面舉例說明。
　　例8：若x，y∈R，且x+y=1，證明：（1+）（1+）≥9.
　　證明：由已知x，y∈R，且x+y=1，可設A=（1+）（1+），則A＞1，且xy=.
　　又∵x+y=1，根據韋達定理x，y是關于t的二次方程t-t+=0的實根，
　　故△=1-≥0?圳A≥9，∴（1+）（1+）≥9.
　　五、運用構造復數證明不等式
　　例9：若a，b，c為非負實數，試證：++≥（a+b+c）.
　　證明：設z=a+bi，z=b+ci，z=c+ai，
　　則z+z+z=（a+b+c）（1+i）
　　∵|z|+|z|+|z|≥|z+z+z|
　　∴++≥|（a+b+c）（1+i）|=（a+b+c）
　　點評：通過模的性質|z|+|z|≥|z+z|，構造復數可以證明不等式.
　　由以上諸例可知，構造法是一種創造性的數學方法，它通過在條件和結論之間建立中轉站，使條件迅速向結論轉化。在不等式的證明中，可以根據不等式的結構特點構造適當的函數、方程、向量、幾何圖形、平面曲線等方法來證明常常會使問題簡單化。不失時機地運用構造法，不但能激發和培養學生的探索精神與創造性思維，而且能讓學生感受到數學的無窮樂趣和魅力。
　　
　　參考文獻：
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　　［2］全日制普通高級中學教科書.數學（第二冊（上））.（人民教育出版社），2006，（11）.17.
　　［3］傅榮強.龍門專題·不等式.［M］.北京：龍門書局出版社，2003，（10）.163.
　?。?］希揚.發散思維大課堂（高二數學（上））［M］.北京：化學工業出版社，2004，（5）.24.