極限理論在高等數學教學中的貫徹

　　摘 要： 極限理論描述了變量在無限變化過程中的變化趨勢，是高等數學的最重要的內容之一，是構成微積分的基礎。在高等數學教學中，向學生系統介紹極限的產生淵源、發展過程、極限中的辨讓思想、極限思想在微積分學習過程中的作用是十分必要的。
　　關鍵詞： 極限理論 高等數學教學 滲透
　　
　　極限理論就是人們認識無限變化的偉大思想，這種思想和方法的運用，擴大了人們的思維空間。同時極限也是微積分中最基本、最重要的概念，它從數量上描述變量在無限變化過程中的變化趨勢，是構成微積分的基礎。微積分中的許多概念，如連續、導數、定積分等都建立在極限的基礎上。那么如何在高等數學教學中滲透極限這一偉大思想呢？我認為，向學生系統介紹極限的產生淵源、發展過程、極限中的辯證思想、極限思想在微積分中的作用是十分必要的。
　　1.極限理論的產生
　　極限的思想和方法是社會實踐的產物，其萌芽可以追溯到古代。在古代希臘、中國和印度數學家的著作中，已不乏樸素的極限思想，如用無限趨近概念計算特別形狀的面積、體積和曲線長的例子。在中國，公元前5世紀，戰國時期的《莊子·天下篇》中就有一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”這是我國較早出現的極限思想，而這正是數列{}的極限內涵。又如公元3世紀，我國魏晉時期的數學家劉徽在注釋《九章算術》時創立了有名的“割圓術”。他的極限思想是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失”。他第一個創造性地將極限思想應用到數學領域，這種無限接近的思想就是后來建立極限概念的基礎。劉徽首先考慮圓內接正六邊形面積，接著是正十二邊形面積，然后依次加倍邊數，則正多邊形面積愈來愈接近圓面積。按照這種思想，他從圓的內接正六邊形面積一直算到內接正192邊形面積，得到圓周率的近似值3.14，之后又算到內接正3072邊形時得到π≈3927/1250≈3.1416，這在當時是非常了不起了。再如古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想。
　　2.極限理論的發展
　　極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相連的。微積分思想，源自古希臘人的窮竭法。古希臘最接近積分的是阿基米得于公元前225年求拋物線弓形面積的方法，他在拋物線弓形與其內接最大的三角形的每一個空間中又內接一個新的三角形，這個三角形與剩余空間同底同高，這樣無限進行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法實際上也是無窮級數求和最早的例子。
　　到了16世紀以后，歐洲處于資本主義的萌芽時期，生產力得到極大發展。生產和科學技術中存在大量的變量問題，如曲線切線問題、最值問題、力學中速度問題、變力做功問題等，初等數學方法對此越來越無能為力，需要的是新的數學思想、新的數學方法，突破只研究常量的傳統范圍，提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、QvUw+kgQ7decGf0yg9cY7w==建立微積分的社會背景。
　　牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，給出了數列極限的描述性定義：“如果當n無限增大時，a無限地接近于常數A，那么就說a以A為極限。”
　　之后，維爾斯特拉斯為了排除極限概念中的直觀痕跡，建立的ε-N語言，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂a以A為極限，就是指：“如果對任何ε＞0，總存在自然數N，使得當n＞N時，不等式|a-A|＜ε恒成立。”
　　這個定義，借助不等式，通過和之間的關系，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中被廣泛使用。
　　3.極限中的辯證思想
　　極限思想是一種重要的數學思想，它蘊涵著豐富的辯證思想，反映了數學發展的辯證規律，即極限思想是過程與結果、有限與無限、近似與精確的對立統一。
　　在極限思想中充分體現了結果與過程的對立統一。比如，當n趨于無窮大時，數列{}的極限為0。一方面，數列{}中任何一項無論n多大都不是0，體現了過程與結果的對立性。另一方面，隨著n無限增大，其項越來越靠近0，經過極限可轉化為0，體現了過程與結果的統一性。所以極限思想是過程與結果的對立統一。
　　有限與無限常常表現為不可調和性。例如，把有限情形的法則原封不動地擴展到無限的情形常常會發生矛盾。但這并不意味著在極限的觀念里有限與無限是格格不入的，相反極限思想是有限與無限的對立統一。
　　近似與精確是對立統一關系，兩者在一定條件下也可相互轉化，這種轉化是數學應用于實際計算的重要訣竅。數學中的“部分和”、“平均速度”、“圓內接正多邊形面積”，分別是相應的“無窮級數和”、“瞬時速度”、“圓面積”的近似值，取極限后就可得到相應的精確值。這都是借助于極限的思想方法，從近似來認識精確的。這反映了極限思想是近似與精確的對立統一。
　　又如曲線形與直線形有著本質的差異，但在一定條件下也可相互轉化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了。”善于利用這種對立統一關系是處理數學問題的重要手段之一。我們就是從直線形來認識曲線形的。
　　4.極限理論在微積分中的作用
　　極限的思想方法貫穿于數學分析課程的始終。可以說在數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。例如微積分中許多概念都把極限作為描述不同特性的重要工具，例如函數f（x）在x點連續的定義、函數f（x）在x點導數的定義、函數f（x）在［a，b］上的定積分的定義、數項級數的斂散性、廣義積分的斂散性等，都是用極限來定義的，可以說這些概念確定了微積分學的框架。
　　極限思想方法是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是數學分析與初等數學的本質區別之處。數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它包含了極限的思想方法。
　　
　　參考文獻：
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　　［3］郭書春.中國古代數學［M］.商務印書館，2004.