對(duì)函數(shù)模型的探究

　　函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)應(yīng)用題的考查既考小題又考大題。出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)模型試題設(shè)置問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)模型思想的考查，加大函數(shù)模型應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考查力度，從而使考題顯得新穎、生動(dòng)和靈活。
　　考試源于課本而不拘泥于課本，教材上的例習(xí)題都是很典型的，要求學(xué)生不斷挖掘教材中例習(xí)題的多種功能，在函數(shù)模型中，對(duì)增長(zhǎng)率的應(yīng)用由表及里，能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。
　　心理學(xué)家研究表明：人的認(rèn)識(shí)總是由淺入深、由表及里、由具體到抽象、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的。因而所設(shè)計(jì)的嘗試學(xué)習(xí)問(wèn)題必須遵循人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，采取低起點(diǎn)、小步子、多訓(xùn)練、快反饋的方法，使學(xué)生認(rèn)識(shí)活動(dòng)劃分為由易到難、由簡(jiǎn)到繁的若干遞進(jìn)層次，使學(xué)生逐步地多次地獲得成功，保護(hù)學(xué)生的旺盛的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)思維的深刻性。如在講指數(shù)函數(shù)的定義及應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)教材設(shè)計(jì)如下。
　　題組一：鞏固型題組，為熟悉基本知識(shí)、方法而設(shè)置。
　　問(wèn)題1：根據(jù)國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來(lái)20年我國(guó)發(fā)展前景分析》判斷，未來(lái)20年，我國(guó)GDP（國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）年平均增長(zhǎng)率可望達(dá)到7.3%，那么，在2001—2020年，各年的GDP可望為2000年的多少倍？（人教版A版必修1P48引例）
　　如果我們把2000年的GDP看成是1個(gè)單位，2001年為第一年，那么：
　　1年后（即2001年）我國(guó)的GDP可望為2000年的（1+7.3%）倍；
　　2年后（即2002年）我國(guó)的GDP可望為2000年的（1+7.3%）倍；
　　3年后（即2003年）我國(guó)的GDP可望為2000年的倍；
　　4年后（即2004年）我國(guó)的GDP可望為2000年的倍；
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　　設(shè)x年后我國(guó)GDP為2000年的y倍，那么
　　y=（1+7.3%）（x∈N，x≤20）
　　即從2000年起，x年后我國(guó)的GDP為2000年的1.073倍。
　　該題雖然簡(jiǎn)單，但學(xué)生的理解還處于一知半解的狀態(tài)，為了使學(xué)生掌握其通性通法，舉一反三，達(dá)到觸類旁通的境界，我作了如下變式：
　　問(wèn)題2：某林場(chǎng)計(jì)劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林 。
　　A.14400畝B.172800畝C.17280畝D.20736畝
　　問(wèn)題3：某山區(qū)加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，綠色植被的面積每年都比上一年增長(zhǎng)10.4%，那么，經(jīng)過(guò)x年，綠色植被面積可增長(zhǎng)為原來(lái)的y倍，則函數(shù)y=f(x)的大致圖像為 。
　　既補(bǔ)充和延伸了課堂教學(xué)，消除了學(xué)生的疑慮，排除了干擾，又培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑精神、科學(xué)的批判精神和鍥而不舍的學(xué)習(xí)精神，我們何樂(lè)而不為呢？
　　題組二：提高型題組，為提高運(yùn)用知識(shí)，方法的能力而設(shè)置。
　　教材往往只是研究問(wèn)題的基本形式，并用與之相應(yīng)的習(xí)題讓學(xué)生訓(xùn)練，這樣即使把有關(guān)問(wèn)題做遍了，也只能是把握問(wèn)題的某個(gè)方向。因此，教師要挖掘例習(xí)題深層次的知識(shí)點(diǎn)，縱橫聯(lián)系，多角度地考慮問(wèn)題，使思維呈現(xiàn)輻射狀展開(kāi)，開(kāi)闊視野，拓展思維。
　　問(wèn)題1：某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個(gè)，出廠價(jià)為60元/個(gè)，日銷售量為1000個(gè)。為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高蛋糕檔次，適度增加成本，若每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為x（0　　（1）寫出y與x的關(guān)系式；
　　（2）為使日利潤(rùn)最大，問(wèn)x應(yīng)取何值？
　　解：（1）由題意得：
　　y=［60×（1+0.5x）-40×(1+x)］×1000×(1+0.8x)
　　=2000(-4x+3x+10)(0＜x＜1)
　　（2）要保證日利潤(rùn)最大，則x=-==0.375.
　　問(wèn)題2：某人2010年1月1日到銀行存入一年期存款a元，若按年利率為x，并按復(fù)利計(jì)算，到2015年1月1日可取回款。
　　A.a（1+x）元B.a（1+x）元C.a（1+x）元D.a（1+x）元
　　問(wèn)題3：某種放射性元素，100年后只剩原來(lái)質(zhì)量的一半，現(xiàn)有這種元素1克，3年后剩下 。
　　A.克B.（1-0.5%）克C.0.925克D.克
　　題組三：發(fā)展型題組，為使思維靈活變通、強(qiáng)化創(chuàng)新意識(shí)而設(shè)置。
　　問(wèn)題1：截止到1999年底，我國(guó)人口約13億。如果今后能將人口年年平均增長(zhǎng)率控制在1%，那么經(jīng)過(guò)20年后，我國(guó)人口數(shù)最多為多少（精確到億）？
　　解：設(shè)今后人口年年平均增長(zhǎng)率為1%，經(jīng)過(guò)x年后，我國(guó)的人口為y億。
　　1999年底，我國(guó)的人口為13億；
　　經(jīng)過(guò)1年（即2000年），人口數(shù)為13+13×1%=13×（1+1%）（億）；
　　經(jīng)過(guò)2年（即2001年），人口數(shù)為13×（1+1%）+13×（1+1%）×1%=13×（1+1%）（億）；
　　經(jīng)過(guò)3年（即2002年），人口數(shù)為13×（1+1%）+13×（1+1%）×1%=13×（1+1%）（億）；
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　　所以，經(jīng)過(guò)x年，人口數(shù)為y=13×（1+1%）（億）.
　　當(dāng)x=20時(shí)，y=13×（1+1%）≈16（億）.
　　所以，經(jīng)過(guò)20年，我國(guó)人口數(shù)最多為16億。
　　在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到類似問(wèn)題的指數(shù)增長(zhǎng)模型：設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)率為P，經(jīng)過(guò)x次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到y(tǒng)，則y=N（1+p）（x∈N）。形如y=ka（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函數(shù)是一種指數(shù)型函數(shù)，這是非常有用的函數(shù)模型。
　　問(wèn)題2：某工廠生產(chǎn)總值月平均增長(zhǎng)率為p，則年平均增長(zhǎng)率為 。
　　A.pB.12pC.（1+p）D.（1+p）-1
　　問(wèn)題3．2010年我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值為a億元，到2030年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值實(shí)現(xiàn)翻兩番的戰(zhàn)略目標(biāo)，年平均增長(zhǎng)率至少要達(dá)到 。
　　A.4-1B.2-1C.4-1D.2-1
　　問(wèn)題4．某商品2010年零售價(jià)比2009上漲25%，欲控制2011年比2009年只上漲10%，則2011年應(yīng)比2010年降價(jià)。
　　A.15%B.12%C.10%D.8%
　　對(duì)增長(zhǎng)率的函數(shù)模型，由淺入深，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，把思維逐漸引向深入，使學(xué)生在輕松中品嘗成功的喜悅，既掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，又充分認(rèn)識(shí)了問(wèn)題的本質(zhì)，訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。
　　學(xué)生解題的實(shí)質(zhì)是基本問(wèn)題的各種各樣的變化形式，對(duì)教材中的增長(zhǎng)率進(jìn)行變式，使之貌似原題，又不同于原題，并拾級(jí)而上，讓學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去思考和探索問(wèn)題，加深對(duì)知識(shí)內(nèi)涵、外延的理解，以求在變化中拓寬思想激發(fā)思維；使學(xué)生感到輕松、愉快，在學(xué)生的腦海中留下了深刻印象，既分清了問(wèn)題的變化類型，又把所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)地運(yùn)用，從中獲得概括的知識(shí)，把握了基本題中所衍生出的不同類型，使之從單一化、固定化模式中轉(zhuǎn)入多棱化、多角化和多面化模式，從而獲得上升性思維能力。
　　在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生大膽探究與猜想，深刻領(lǐng)悟新課程改革精神，認(rèn)真研究教學(xué)要求，以學(xué)生為本，精心設(shè)計(jì)例習(xí)題，以培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和創(chuàng)新素質(zhì)為己任，給學(xué)生一片自主探索的天空，使學(xué)生的創(chuàng)新能力得到培養(yǎng)，個(gè)性品質(zhì)得到和諧發(fā)展。
　　總之，在全面推進(jìn)素質(zhì)教育的今天，我們要對(duì)增長(zhǎng)率進(jìn)行全面合理的設(shè)計(jì)，面向全體學(xué)生，充分發(fā)揮增長(zhǎng)率的內(nèi)在潛能，不僅要使學(xué)生聽(tīng)懂，而且要拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。