函數(shù)值域求法分類導(dǎo)析

　　摘 要： 函數(shù)的值域取決于函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則，求函數(shù)的值域涉及各種數(shù)學(xué)思想方法和代數(shù)式的變形技巧等，具有一定的靈活性。本文就中學(xué)階段出現(xiàn)的各種函數(shù)值域問題進(jìn)行分類研究。
　　關(guān)鍵詞： 函數(shù) 值域 方法 技巧
　　
　　函數(shù)的值域是函數(shù)的三要素之一，函數(shù)的值域取決于函數(shù)的定義域和它的對(duì)應(yīng)法則，因此不論在何種情況下求函數(shù)的值域，都要先求函數(shù)的定義域。
　　1.課本知識(shí)再現(xiàn)
　　教科書（以人教版為例）對(duì)函數(shù)值域問題的相關(guān)描述是：（1）在定義函數(shù)后給出了函數(shù)值域的定義和表示方法；（2）羅列出了基本初等函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的值域，并沒有具體說明如何去求這些函數(shù)的值域，這無形中給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了很大的困難（學(xué)生感覺對(duì)函數(shù)求值域問題無例可參，無法可依），同時(shí)又給教師的教學(xué)提供了更廣闊的空間，于是求解函數(shù)值域問題的各種方法和技巧應(yīng)運(yùn)而生。
　　2.函數(shù)值域的求法
　　函數(shù)的表示方法有列表法、圖像法、解析法，下面分別介紹在這三種情況下如何求函數(shù)的值域。
　　2.1列表法給出的函數(shù)，其值域就是表格中相應(yīng)y取值的集合。
　　2.2圖像法給出的函數(shù)，其值域就是函數(shù)圖像在y軸上的正投影覆蓋y軸的部分。
　　2.3解析法給出的函數(shù)，就要根據(jù)函數(shù)解析式的不同結(jié)構(gòu)，靈活地選擇方法求其值域，值得注意的是這往往是多種方法的綜合，并不是某一種方法就能解決的問題。
　　2.3.1對(duì)于簡單的一次整式型函數(shù)，可以結(jié)合其定義域進(jìn)行觀察、分析，直接得出函數(shù)的值域。如果求這類函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的值域，有時(shí)可以采用單調(diào)性法（若該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)），如函數(shù)f（x）=2x+3在（-1，3）的值域就可由f（-1）＜f（x）＜f（3）求得，即為（1，9）。
　　2.3.2二次函數(shù)求值域，一般采用配方法，其關(guān)鍵在于將函數(shù)的解析式正確地化成完全平方式，但要特別注意二次函數(shù)在R上的值域和它在某區(qū)間內(nèi)的值域是不同的。如二次函數(shù)f（x）=x-2x+3=（x-1）+2≥2，其值域?yàn)椋?，+∞）（這里隱含x∈R），而函數(shù)f（x）=x-2x+3（-1＜x＜2）的值域，配方得：f（x）=（x-1）+2。此時(shí)就要畫出圖像，觀察圖像可知f（1）≤f（x）＜f（-1），此函數(shù)的值域是［2，6）。
　　2.3.3分式型函數(shù)求值域大致可分為以下幾類。
　　2.3.3.1函數(shù)解析式的分子和分母都是x的一次式（如函數(shù)y=（a≠0）），若原函數(shù)的值域不易直接求解，可以考慮求其反函數(shù)的定義域，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)定義域與值域互換的特點(diǎn)，確定原函數(shù)的值域，可采用反函數(shù)法，也可用分離常數(shù)法。
　　2.3.3.2函數(shù)解析式的分子和分母都是關(guān)于x的二次式（如函數(shù)y=（ac≠0）），可以考慮：①判別式法。函數(shù)為分式結(jié)構(gòu)，且分母中含有未知數(shù)x，函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)，則常用此法。通常去掉分母轉(zhuǎn)化為x的一元二次方程，再由判別式⊿≥0，確定y的范圍，即為原函數(shù)的值域。②不等式法。借助于重要不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函數(shù)的值域，但要注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等、四內(nèi)”。③單調(diào)性法。若解析式可以轉(zhuǎn)化為形如y=φ（x）+（p＞0），則可依此函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，-］和［，+∞），減區(qū)間為［-，0）和（0，］求值域。
　　2.3.4無理函數(shù)求值域，可以考慮：①單調(diào)性法。如果易判斷函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性，常采用此法。例如函數(shù)y=x-，其定義域?yàn)閧x|x≤}，函數(shù)y=x，y=x-均在（-∞，］上遞增，故y≤-=，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，］。②代數(shù)換元法，將整個(gè)無理式用一個(gè)字母代替，解出后轉(zhuǎn)化成的函數(shù)求值域問題（注意函數(shù)的定義域）。③三角換元法，當(dāng)無理函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1］或其子集時(shí)，可考慮此法。例如y=x-，因其定義域?yàn)椋?1，1］，故可以設(shè)x=sinα，α∈［-，］，則y=sinα-cosα，α∈［-，］。將此問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，這是通過開方消除無理式的方法。
　　2.3.5函數(shù)解析式中若含有e、sinx等，并且能轉(zhuǎn)化成e=f（y）或sinx=f（y）的結(jié)構(gòu)，注意到e＞0，|sinx|≤1，解關(guān)于y的不等式，可求得y的取值范圍，即函數(shù)的值域。例如在求函數(shù)y=的值域時(shí)，解方程得：e=。因e＞0，故＞0，解得-1＜y＜1。從而函數(shù)的值域是{y|-1＜y＜1}。這就是利用函數(shù)的有界性法求值域。
　　2.3.6數(shù)形結(jié)合法。如果函數(shù)的解析式有較明顯的幾何意義，可借助幾何法求函數(shù)的值域，形如，可以聯(lián)想兩點(diǎn)（x，y）與（x，y）的連線的斜率;由可聯(lián)想兩點(diǎn)（x，y）與（x，y）的距離。
　　2.3.7導(dǎo)數(shù)法。通過導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上的最大值和最小值，即得出函數(shù)的值域。此法主要用于高次函數(shù)或不同的基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜函數(shù)的值域。課本中有較詳盡的介紹，這里不再贅述。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［１］人民教育出版社數(shù)學(xué)室編著.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書·數(shù)學(xué)必修.北京：人民教育出版社，2006，11.
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