函數值域求法分類導析

　　摘 要： 函數的值域取決于函數的定義域和對應法則，求函數的值域涉及各種數學思想方法和代數式的變形技巧等，具有一定的靈活性。本文就中學階段出現的各種函數值域問題進行分類研究。
　　關鍵詞： 函數 值域 方法 技巧
　　
　　函數的值域是函數的三要素之一，函數的值域取決于函數的定義域和它的對應法則，因此不論在何種情況下求函數的值域，都要先求函數的定義域。
　　1.課本知識再現
　　教科書（以人教版為例）對函數值域問題的相關描述是：（1）在定義函數后給出了函數值域的定義和表示方法；（2）羅列出了基本初等函數（如一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、三角函數）的值域，并沒有具體說明如何去求這些函數的值域，這無形中給學生的學習帶來了很大的困難（學生感覺對函數求值域問題無例可參，無法可依），同時又給教師的教學提供了更廣闊的空間，于是求解函數值域問題的各種方法和技巧應運而生。
　　2.函數值域的求法
　　函數的表示方法有列表法、圖像法、解析法，下面分別介紹在這三種情況下如何求函數的值域。
　　2.1列表法給出的函數，其值域就是表格中相應y取值的集合。
　　2.2圖像法給出的函數，其值域就是函數圖像在y軸上的正投影覆蓋y軸的部分。
　　2.3解析法給出的函數，就要根據函數解析式的不同結構，靈活地選擇方法求其值域，值得注意的是這往往是多種方法的綜合，并不是某一種方法就能解決的問題。
　　2.3.1對于簡單的一次整式型函數，可以結合其定義域進行觀察、分析，直接得出函數的值域。如果求這類函數在某區間內的值域，有時可以采用單調性法（若該函數在此區間內單調），如函數f（x）=2x+3在（-1，3）的值域就可由f（-1）＜f（x）＜f（3）求得，即為（1，9）。
　　2.3.2二次函數求值域，一般采用配方法，其關鍵在于將函數的解析式正確地化成完全平方式，但要特別注意二次函數在R上的值域和它在某區間內的值域是不同的。如二次函數f（x）=x-2x+3=（x-1）+2≥2，其值域為［2，+∞）（這里隱含x∈R），而函數f（x）=x-2x+3（-1＜x＜2）的值域，配方得：f（x）=（x-1）+2。此時就要畫出圖像，觀察圖像可知f（1）≤f（x）＜f（-1），此函數的值域是［2，6）。
　　2.3.3分式型函數求值域大致可分為以下幾類。
　　2.3.3.1函數解析式的分子和分母都是x的一次式（如函數y=（a≠0）），若原函數的值域不易直接求解，可以考慮求其反函數的定義域，根據互為反函數的兩個函數定義域與值域互換的特點，確定原函數的值域，可采用反函數法，也可用分離常數法。
　　2.3.3.2函數解析式的分子和分母都是關于x的二次式（如函數y=（ac≠0）），可以考慮：①判別式法。函數為分式結構，且分母中含有未知數x，函數的定義域為R時，則常用此法。通常去掉分母轉化為x的一元二次方程，再由判別式⊿≥0，確定y的范圍，即為原函數的值域。②不等式法。借助于重要不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函數的值域，但要注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等、四內”。③單調性法。若解析式可以轉化為形如y=φ（x）+（p＞0），則可依此函數的增區間為（-∞，-］和［，+∞），減區間為［-，0）和（0，］求值域。
　　2.3.4無理函數求值域，可以考慮：①單調性法。如果易判斷函數在其定義域內的單調性，常采用此法。例如函數y=x-，其定義域為{x|x≤}，函數y=x，y=x-均在（-∞，］上遞增，故y≤-=，所以函數的值域為（-∞，］。②代數換元法，將整個無理式用一個字母代替，解出后轉化成的函數求值域問題（注意函數的定義域）。③三角換元法，當無理函數的定義域為［-1，1］或其子集時，可考慮此法。例如y=x-，因其定義域為［-1，1］，故可以設x=sinα，α∈［-，］，則y=sinα-cosα，α∈［-，］。將此問題轉化成三角函數在閉區間上的值域，這是通過開方消除無理式的方法。
　　2.3.5函數解析式中若含有e、sinx等，并且能轉化成e=f（y）或sinx=f（y）的結構，注意到e＞0，|sinx|≤1，解關于y的不等式，可求得y的取值范圍，即函數的值域。例如在求函數y=的值域時，解方程得：e=。因e＞0，故＞0，解得-1＜y＜1。從而函數的值域是{y|-1＜y＜1}。這就是利用函數的有界性法求值域。
　　2.3.6數形結合法。如果函數的解析式有較明顯的幾何意義，可借助幾何法求函數的值域，形如，可以聯想兩點（x，y）與（x，y）的連線的斜率;由可聯想兩點（x，y）與（x，y）的距離。
　　2.3.7導數法。通過導數可求函數在一個閉區間上的最大值和最小值，即得出函數的值域。此法主要用于高次函數或不同的基本初等函數構成的較復雜函數的值域。課本中有較詳盡的介紹，這里不再贅述。
　　
　　參考文獻：
　　［１］人民教育出版社數學室編著.全日制普通高級中學教科書·數學必修.北京：人民教育出版社，2006，11.
　　［２］李慕賢.求函數值域的常用方法.數理化學習，2009，07.