賦值法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

　　在解數(shù)學(xué)題時(shí)，人們一般運(yùn)用邏輯推理方法，一步一步地尋求必要條件，最后求得結(jié)論。對(duì)于有些問(wèn)題，我們?nèi)裟芨鶕?jù)其具體情況，合理地、巧妙地對(duì)某些元素賦值，特別是賦予確定的特殊值（如0、1、-1等），往往能使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷有效的解決，這就是賦值法。現(xiàn)舉例闡述這一方法的具體應(yīng)用。
　　一、賦值法在求函數(shù)表達(dá)式中的應(yīng)用
　　例1：設(shè)f（x）的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件f（x+1）= f（x）+f（y）+xy，及f（1）=1，求f（x）。
　　分析：因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，可令y=1，使f（x+1）=f（x）+f（y）+xy中只含有x，再令x=1、2、3、…、n-1，然后用累加的方式可求出f（n），即f（x）。
　　解：∵f（x）的定義域?yàn)镹，取y=1，則有f（x+1）=f（x）+x+1
　　∵f（1）=1
　　∴f（2）=f（1）+2
　　f（3）=f（2）+3
　　……
　　f（n）=f（n-1）+n
　　以上各式相加，有f（n）=1+2+3+…+n=
　　∴f（x）=x（x+1），x∈N.
　　二、賦值法在判定函數(shù)奇偶性中的應(yīng)用
　　例2：已知f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都成立，且f（0）≠0，求證f（x）為偶函數(shù)。
　　分析：由題設(shè)可知x、y為任意實(shí)數(shù)，可令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），再令y=0，得2f（0）=2f（0），得f（0）=1；代入f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）得f（-y）=f（y），從而判斷出f（x）為偶函數(shù)。
　　證明：令x=0，則已知等式變?yōu)閒（y）+f（-y）=2f（0）f（y）…①
　　在①中令y=0，則2f（0）=2f（0）
　　∵f（0）≠0
　　∴f（0）=1
　　∴f（y）+f（-y）=2f（y）
　　∴f（-y）=f（y）
　　∴f（x）為偶函數(shù).
　　三、賦值法在判定、證明函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用
　　例3：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且f（xy）=f（x）+f（y）。
　　（1）求f（1）；
　　（2）證明f（x）在定義域上是增函數(shù)。
　　分析：求f（1）的值需要在等式f（xy）=f（x）+f（y）中構(gòu)造出含有f（1）的等式，只需令x=y=1即可；判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性的基本方法是定義法，其關(guān)鍵是根據(jù)所給條件判斷f（x）-f（x）的符號(hào)，多數(shù)情況下需要設(shè)法構(gòu)造出x-x或的因式。
　　解：（1）令x=y=1，得f（1）=0。
　　（2）設(shè)x＞x＞0，則＞1，
　　∴f（）＞0.
　　在等式f（xy）=f（x）+f（y）中令y=，
　　得f（1）=f（x）+f（）=0
　　∴f（）=-f（x）
　　∴f（）=f（x）+f（）=f（x）-f（x）＞0
　　即f（x）＞f（x）
　　故f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù).
　　四、賦值法在處理特殊與一般關(guān)系題型中的應(yīng)用
　　例4：過(guò)點(diǎn)M（p，0）任作一條直線交拋物線y=2px（p＞0）于P、Q兩點(diǎn)，則+的值為（）。
　　A. B.C.D.
　　分析：從題設(shè)條件中可知過(guò)點(diǎn)M（p，0）的直線具有任意性，直接解題非常繁瑣，而從選擇支中知道結(jié)論具有唯一確定性，因此可用特殊代一般賦予條件以特殊值來(lái)求解，就會(huì)很簡(jiǎn)單。
　　解：取過(guò)點(diǎn)M（p，0）與x軸垂直的直線x=p，則P（p，p），Q（p，-p），
　　∴+=+=，故選D.
　　五、賦值法在有關(guān)二項(xiàng)式中求“系數(shù)和”中的應(yīng)用
　　例5：已知（x-x+1）=a+ax+ax+ax+ax，則a+a+a+a=?搖?搖 ?搖?搖?搖?搖。
　　分析：從已知條件中可知，等式左側(cè)不是二項(xiàng)式，右側(cè)按x的升冪排列，不能從二項(xiàng)式定理入手，但就等式本身而言，x是同一值，欲求a+a+a+a，從右側(cè)可知，當(dāng)x=1時(shí)，可得a+a+a+a+a，再去掉a，這時(shí)再令x=0就可得出。
　　解：令x=0，得a=1，
　　令x=1，得a+a+a+a+a=1，
　　∴a+a+a+a=0.
　　例6：設(shè)（x+1）（2x+1）=a+a（x+2）+a（x+2）+…+a（x+2），則a+a+a+…+a的值為（ ）。
　　A.-2 B.-1C.1D.2
　　分析：本題類似于上一題，但要注意右側(cè)中需將x+2看做整體。
　　解：令x+2=1，即x=-1，
　　可得a+a+a+…+a=［（-1）+1］［2×（-1）+1］=-2
　　故選A.