由一道“錯題”引發(fā)的思考

　　摘 要： 本文由一道練習(xí)題引出在解決古典概型問題時要首先考慮我們所構(gòu)造的基本事件空間中的基本事件是否是等可能的，并討論了如果不是等可能的應(yīng)該如何構(gòu)造等可能的基本事件的方法。
　　關(guān)鍵詞： 古典概型 基本事件空間 等可能
　　
　　在學(xué)完人教A版數(shù)學(xué)《必修3》古典概型后，練習(xí)中出現(xiàn)了這樣一道練習(xí)題：
　　例1：據(jù)天氣預(yù)報，在今后的三天中，每一天下雨的概率為40%，求這三天中恰有兩天下雨的概率。
　　學(xué)生普遍采用下述解法：
　　若某一天下雨則用Y表示；若不下雨則用表示，因此基本事件空間為：
　　Ω={，Y，Y，Y，YY，YY，YY，YYY}
　　設(shè)事件A={三天中恰有兩天下雨}，則事件A所包含的基本事件為：
　　YY，YY，YY
　　由古典概型概率計算公式得：P（A）=。
　　摘 要： 本文由一道練習(xí)題引出在解決古典概型問題時要首先考慮我們所構(gòu)造的基本事件空間中的基本事件是否是等可能的，并討論了如果不是等可能的應(yīng)該如何構(gòu)造等可能的基本事件的方法。
　　關(guān)鍵詞： 古典概型 基本事件空間 等可能
　　
　　在學(xué)完人教A版數(shù)學(xué)《必修3》古典概型后，練習(xí)中出現(xiàn)了這樣一道練習(xí)題：
　　例1：據(jù)天氣預(yù)報，在今后的三天中，每一天下雨的概率為40%，求這三天中恰有兩天下雨的概率。
　　學(xué)生普遍采用下述解法：
　　若某一天下雨則用Y表示；若不下雨則用表示，因此基本事件空間為：
　　Ω={，Y，Y，Y，YY，YY，YY，YYY}
　　設(shè)事件A={三天中恰有兩天下雨}，則事件A所包含的基本事件為：
　　YY，YY，YY
　　由古典概型概率計算公式得：P（A）=。
　　乍看之下這種解法似乎沒有什么問題，但它忽略了一個重要問題：這是否為古典概型問題？也就是基本事件是否滿足“有限、等可能”。問題中的基本事件“有限”是沒有問題的，那是否是“等可能”的呢？在“每一天下雨的概率為40%”的前提下，基本事件顯然不是等可能的，比如和Y。因此，這不是一個古典概型問題，學(xué)生在現(xiàn)有的知識下無法解決這個問題，所以這個題目是“錯誤”的。
　　若將此題中“每一天下雨的概率為40%”改為“每一天下雨的概率為50%”，那么上述解法就正確了。當(dāng)然，原題利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的知識易得：P（A）=C0.4（1-0.4）=。
　　無獨(dú)有偶，課本第134頁B組第1題:
　　例2：某人有4把鑰匙，其中2把能打開門。現(xiàn)隨機(jī)地取1把鑰匙試著開門，不能開門的就扔掉，問第二次才能打開門的概率是多少？
　　學(xué)生大多采用下面的方法：
　　設(shè)4把鑰匙為a、a、b、b，其中a、a是能打開門的鑰匙，則：
　　Ω={a，a，ba，ba，ba，ba，bba，bba，bba，bba}
　　設(shè)事件A={第二次才能打開門}，則A所包含的基本事件為：
　　ba，ba，ba，ba
　　從而由古典概型概率計算公式得：P（A）==。
　　這種解法的問題與例1相同，也就是如此構(gòu)造的基本事件空間中，基本事件發(fā)生的可能性不相同，比如a與ba，因此這不是一個古典概型問題，不能利用古典概型公式求解。
　　為了利用古典概型解決本題，我們可以構(gòu)造“一次試驗(yàn)”：開兩次門（不管第一次是否把門打開，都要試第二次）。因此，基本事件空間為：
　　Ω={aa，ab，ab，aa，ab，ab，ba，ba，bb，ba，ba，bb}
　　Ω中的每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，因此是古典概型。設(shè)事件A={第二次才能打開門}，則A所包含的基本事件為：ba，ba，ba，ba。因此，由古典概型概率計算公式得：P（A）==。
　　在解決排列組合和概率問題時，列舉法是一個好方法，但有時候，過于相信自己所列出的“所有情況”，也會導(dǎo)致出現(xiàn)上面問題的出現(xiàn)。
　　例3：設(shè)A={1，2，3}，B={2，3}，從A、B中各取1個元素作為直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)落在直線2x+3y-12=0上的概率。
　　學(xué)生的解法是這樣的：
　　設(shè)事件C={點(diǎn)落在直線2x+3y-12=0上}，基本事件空間：
　　Ω={（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}，事件C所包含的基本事件為：（3，2），從而由古典概型概率計算公式：
　　P（C）=。
　　此解法與前面例1、例2出現(xiàn)的問題是一樣的。由于題目沒有要求A、B中哪個集合的元素作為橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，因此上述基本空間中點(diǎn)（1，2）與點(diǎn)（2，3）出現(xiàn)的可能性是不相同的，因此也它也不是一個古典概型問題，無法使用古典概型概率計算公式。
　　我們可以將集合A和B中的2，3區(qū)分開，然后列舉出所有基本事件，構(gòu)成下述基本事件空間：
　　Ω={（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}
　　則每個基本事件發(fā)生的可能性相同，從而它是古典概型。事件C所包含的基本事件為：（3，2）和（3，2），由古典概型概率計算公式得：
　　P（C）==。
　　由此可見，在用古典概型概率計算公式解決概率問題時，首先要判斷我們所構(gòu)造的模型是不是古典概型，也就是判斷基本事件是否是“有限、等可能”的。如果基本事件不是等可能的，我們可以通過構(gòu)造的方式將問題轉(zhuǎn)化成古典概型問題，這樣就萬無一失了。