局部換元法解決函數問題的常見題型

　　摘 要：局部換元是換元法中的一種最常用的方法，是在已知或者未知中，某個代數式多次出現，而用一個變量來代替它從而簡化問題，有時候要通過變形才能發現． 在高中數學關于求解某些函數的解析式、最值、值域等問題時，也經常用到局部換元法．
　　關鍵詞：函數；換元法；轉化；局部換元法
　　
　　局部換元法又稱整體換元法，是換元法中的一種最常用方法，解題時把已知或者未知中某個多次出現的式子看做一個整體，用一個變量去代替它，當然有時候要通過變形才能發現．
　　既然局部換元是一種換元方法，那么它的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，使得復雜問題簡單化． 比如，當朋友弄不明白你的說話意思時，你會來一個“換句話說”，就是保留原意而改變表述形式的意思．在處理數學問題時，往往需要若干次的“換句話說”才能把原來的問題化難為易、化繁為簡或化生為熟．
　　那么在高中數學的函數問題中，有哪些題型可以用局部換元法呢？筆者簡單歸納如下：
　　1． 函數F（f（x））=g（x）
　　形如F（f（x））=g（x），我們通常是令t=f（x），再用t來表示x，得到x=h（t），最后將t=f（x）和x=h（t）代入F（f（x））=g（x）中就達到了換元的目的，得到F（x）的解析式．
　　例1 已知函數f（x3）=lgx（x>0），求f（x）．
　　解：令t=x3（t>0），則x=，則f（t）=lg=lgt=lgt，故f（x）=lgx（x>0）．
　　再如已知f（3x+1）=4x+3，求f（4）的值． 我們只需令t=3x+1（t∈R），則x=，則f（t）=4+3=+，故f（4）=+=7．
　　2． 三角函數f（sinx±cosx，sinxcosx）
　　形如f（sinx±cosx，sinxcosx）的三角函數，求三角式的最大值和最小值時，我們往往是令題中的sinx+cosx=t，然后兩邊平方，找出sinx?cosx與t的關系，最后將題中的sinx和cosx轉化為關于t的二次函數或一次函數來研究．其中最常用的公式是平方關系式sin2x+cos2x=1．
　　例2 設a>0，求f（x）=2a（sinx＋cosx）－sinxcosx－2a2的最大值和最小值．
　　分析：抓住sinx＋cosx與sinxcosx的內在聯系，將三角函數的值域問題轉化為二次函數在閉區間上的值域問題，換元過程中一定要注意新的參數的取值范圍（t∈［-，］）與sinx＋cosx的對應關系．
　　解：設sinx＋cosx=t，則t∈［-，］．
　　由（sinx＋cosx）2=1＋2sinxcosx，得sinxcosx=，所以f（x）=g（t）=－（t－2a）2＋（a>0），t∈［-，］．
　　當t=-時，g（t）min=－2a2－2a－；當2a≥時，t=，g（t）max= －2a2＋2a－；當0<2a<時，t=2a，g（t）max=．
　　所以f（x）min=－2a2－2a－， f（x）max=0　　3． 根式函數y=f（x）+g（x）（f（x）或g（x）為根式）
　　對于根式函數y=f（x）+g（x），如f（x）與g（x）中存在某種聯系，則令t=f（x）（或t=g（x））． 若需要去掉根號，則將t=f（x）（或t=g（x））兩邊平方，化為關于t的二次函數．
　　例3 求函數y=+的值域．
　　分析：本題中的f（x）=與g（x）=是互為倒數關系，用局部換元法．
　　解：設t=，則t∈［2，+∞）且y=f（t）=t+．
　　在［2，+∞）上任取t1　　故函數的值域為y∈，+∞．
　　例4 求函數y=x+的值域．
　　分析：此題用局部換元法須將t=兩邊平方，去根號，化為關于t的一元二次函數．
　　解：設t= （x≤2），所以x=2-t2（t≥0），于是y=2-t2+t=-t-2+（t≥0）．
　　顯然，當t=∈［0，+∞）時，y有最大值，故函數的值域y∈-∞，.
　　4． 復合函數y=f（g（x））
　　對于復合函數y=f（g（x）），令t=g（x），則將原函數化為y=f（t），不過需要特別注意t的取值范圍．
　　例5 函數y=（1－x2）的值域．
　　分析：本題是一道簡單的復合函數求值域問題．
　　解：令t=1－x2，則y=． 因為函數的定義域是｛x-1≤x≤1｝，所以0≤t≤1，所以0≤y≤1，故原函數值域為｛y0≤y≤1｝．
　　本題通過局部換元法引入了一個新的變量t，t扮演了一個“傳遞者”的角色，根據這一點，由內向外，層層分析，達到求原函數值域的目的．
　　我們使用局部換元法時，須按照化繁為簡、化生為熟、化隱為顯的思路，換元后要注意新變量取值范圍的選取，一定要使新變量取值范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大． 如例1中t>0、例2中t∈［-，］、例3中t∈（2，+∞）、例4中t≥0和例5中0≤t≤1.