信息轉化

　　數學無處不化歸。解決數學問題的過程，其實就是不斷完成信息轉化（化歸）的過程，是逐步地化繁為簡、化生為熟、化難為易的過程。對此，前蘇聯數學家C?A?雅諾夫斯卡婭曾一語道破其實質：“解題最終就是歸結為已經解決過的問題。”
　　一、信息轉化的方向與原則
　　轉信息化就是運用運動、變化、聯系、發展等辯證的觀點去認識和分析問題，是理性的帶有明確指向性的推理演化過程，通常把握好方向與原則：
　　熟悉化原則：從生到熟；從暗到明；從未知到已知。
　　簡單化原則：從難到易、從繁到簡。
　　和諧化原則：從不勻稱到勻稱；從不統一到統一，從不協調到協調。
　　具體化原則：從抽象到形象、直觀、具體；從一般到特殊；從綜合（非基本）問題到基本問題。
　　逆向化原則：從正到反；從順到逆；從進到退。
　　數學化原則：從現實情境到數學情境；從非數學符號化到數學符號化。
　　二、信息轉化的方式與方法
　　1.從現實到數學的信息轉化
　　從現實到數學的信息轉化其實就是通過對問題的分析，抽象建立數學模型，把現實生活中的問題情境轉化成“純粹”的數學化的問題情境，體現“問題情景——建立模型——解釋、應用、拓展與反思”的數學學習模式。
　　例1．（2011，河北中考）已知A、B兩地的路程為240千米。某經銷商每天都要用汽車或火車將x（噸）的保鮮品一次性由A地運往B地。受各種因素限制，下一周只能采用汽車和火車中的一種運輸工具進行運輸，且須提前預訂。現有貨運收費項目及收費標準表（如表1）、行駛路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數圖像（如圖1-1）、上周貨運量折線統計圖（如圖1-2）等信息如下：
　　（1）汽車的速度為________千米/時，火車的速度為 _________千米/時；
　　（2）設每天用汽車和火車運輸的總費用分別為y汽（元）和y火（元），分別求y汽、y火與x的函數關系式（不必寫出x的取值范圍；總費用=運輸費＋冷藏費＋其他費用），并指出x為何值時，y汽＞y火；
　　（3）從平均數、折線圖走勢兩個角度分析，該經銷商應提前為下周預定哪種運輸工具，才能使每天的運輸總費用較省?
　　分析：本例是一例典型的數學建模應用的問題（詳解不贅），題目整合了方案設計與統計決策問題，在呈現方式上做出了創新，試題貼近當前社會經濟熱點，能讓學生真切地感受到“數學來源于生活，又返回來指導生活”的價值。題目信息在表格、圖像間交叉呈現，便于考查學生從圖表中獲取信息、建立數學模型并應用它解決（解釋）現實問題的能力，深入貫徹了課標所提倡的數學學習模式。事實上，解決此類問題多以“函數、方程（組）和不等式（組）”作為工具。由于題目中含有從“不確定中找確定”的因素，所以關聯了函數、方程與不等式等數學模型的建立與應用。
　　一般地，刻畫變量之間關系的問題都可以轉化為函數問題，確定一個量的值的問題都可以轉化為方程問題，而要確定一個量的范圍的問題，往往要轉化為不等式的問題。
　　例2.（2008，太原中考）在某次人才交流會上，應聘人數和招聘人數分別居前5位的行業列表如下：
　　如果用同一行業應聘人數與招聘人數比值的大小來衡量該行業的就業情況，那么根據表中數據，對上述行業的就業情況判斷正確的是（ ）。
　　A．計算機行業好于其他行業
　　B．貿易行業好于化工行業
　　C．機械行業好于營銷行業
　　D．建筑行業好于物流行業
　　分析：能否領悟就業情況的決定性因素，從圖表中迅速抓取有用信息，建立數學模型，并借之作出判斷，顯然體現了數學智慧。由表格信息可知，物流和貿易行業的招聘人數均少于725人，而建筑和化工行業應聘人數均少于659人。“用同一行業應聘人數與招聘人數比值（設用P表示）的大小來衡量該行業的就業情況”這句話的含義就是多少個人去應聘一個崗位，故比值P越小，就業形勢越好。P計算機=＞1，P機械=＞1，P營銷=＞1，P物流>＞1；P貿易＞（可能大于1、等于1或小9GCtBsbDffwtjSZfZDw7MJ4Uq1HkqGp0ZZVCCzXdjpo=于1）；P建筑＜＜1；P化工＜<1.比較可知，A、B、C一定是錯的，D正確。
　　例3.（2003年，淄博中考）如圖2-1是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下（這里的A、B、C、D各點都是活動的），活動床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的，其折疊過程可由圖2-2的變化反映出來。
　　（1）活動床頭的固定折疊是根據_______而設計的；
　　（2）如果已知四邊形ABCD中，AB=6cm，CD=15cm，那么BC、AD取多長時，才能實現上述的折疊變化？
　　分析：顯然，活動床頭的固定與折疊是根據“三角形的穩定性和四邊形的不穩定性”來設計的。而能夠實現上述的折疊變化的前提是相關數據間所具有的內在聯系，這個聯系要通過“線段重合”和“直角三角形三邊之間的關系（即勾股定理）”這兩個數學模型的特征來揭示：設BC=x，AD=y，在RtΔACD中，有AC2+CD2=AD2，即（6+x）2+152=y2（I）；在線段BD上，有:CD+CB=AB+AD，即15+x=6+y（II）；由（I）、（II）得：36+12x+x2+225=81+18x+x2，解得:x=30，y=39，故BC、AD的長分別為30cm、39cm時，鋼絲床方可折疊。
　　點評：《數學課程標準》強調數學背景的現實性。以“現實的、有意義的、富有挑戰性的”內容為背景命題，讓學生從具體的問題情境中抽象出數學模型，經歷“問題情境——建立模型——解釋、應用、拓展與反思”的基本過程。近幾年中考命題在此方面頗費匠心，試題取材于學生身邊的生活，新穎有趣，值得玩味。
　　課標強調“數學地思考”，即面對一個問題時，能主動嘗試著從不同的角度，開動大腦機器，尋求解決問題的突破口。從現實到數學的建模問題很好地體現了這一點。學生們只有經過一番細致分析和豐富聯想后，產生了“頓悟”，方法（數學模型）才能浮出水面。
　　2.從數學到數學的信息轉化
　　從生活到數學是一個水平（橫向）數學化的過程，而從數學到數學則是一個縱向數學化的過程。
　　（1）變更問題表述方式
　　同樣的數學問題背景，采用不同的表述方式，對解題者，難度是有區別的。了解了這一點，就可以在解題時，不斷轉化問題信息的給予方式（包括已知信息和待知信息），從而降低問題難度。
　　例4.（2011，揚州中考）如圖3-1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）。現將甲槽的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度（厘米）與注水時間（分鐘）之間的關系如圖3-2所示。根據圖像提供的信息，解答下列問題：
　　①圖3-2中折線表示_______槽中水的深度與注水時間的關系，線段表示________槽中水的深度與注水時間之間的關系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點的縱坐標表示的實際意義是__________________；
　　②注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？
　　③若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；
　　④若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計）。（直接寫出結果）
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　分析：我們知道：①“勻速變化”在坐標系中表現為一條“直線”（反之亦然）；②“速度大小”在坐標系中表現為圖像改善的“陡峭程度”：圖像改善越陡峭，則對應時段的速度越大；圖像改善越平緩，則對應時段的速度越小。在此基礎上，觀察乙槽的特征可知，水面上升速度應是先快后慢，但每一段上是勻速上升的，圖像改善的“轉折點”即對應容器的“水面剛好沒過鐵塊”這個時刻。由此，確定了圖像改善與器具的對應關系，再把圖像改善中的信息翻譯成文字信息（或其他數學符號形式等學生可以“內部”處理的信息），題目就變得較為容易了。
　　
　　點評：函數圖像改善以其形象、直觀的特征囊括了眾多隱含與顯在的信息。解決問題的過程就是釋放圖像改善內涵的過程。只有準確、全面、有針對性地識讀圖像改善，從中捕捉“數據”信息與“數量關系”信息，將這些信息還原到問題情境之中，或對這些信息進行有效梳理、綜合運用，才能轉化問題，順利獲解。完成“圖形”與“圖像”的“數據互補與互釋”。這對學生的能力是一個巨大的挑戰。其實，所有復雜數學問題的解決都有這樣一個“轉化信息表述方式”，使之更適合自己思考與應用的過程。
　　（2）降低問題抽象程度
　　在解決數學問題時，如果能實現數學語言之間的等價轉換，就可以降低問題的抽象程度，化生為熟，使問題的解決途徑多元化。
　　例5.（2011，四川綿陽中考）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a　　A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b
　　C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2
　　分析：問題很抽象，無從下手。但從待定結論上看，無論選擇哪一個答案，都意味著x1，x2，a，b的大小排列有一個固定順序。由此可令a=-1，b=1，則原方程變為（x+1）（x-1）=1，即x2=2，解之，得：x1=-，x2=.故有x1＜a＜b＜x2，選C。
　　例6.（2011，呼和浩特中考）若x2-3x+1=0，則的值為 __________。
　　分析：顯然，通過求解一元二次方程得出x值，再代入式中求值是不可取的。觀察題設和待求式的聯系，可得如下方法：方法①：結合待求式中存在眾多的“x2”，可調整x2-3x+1=0，得x2=3x-1，則==。方法②：欲求S=的值，可轉為求==x2+1+的值；把方程x2-3x+1=0兩邊都除以x，得x-3+=0，x+=3，（x+）2=9，即x2+=7，于是有=7+1=8，S==。
　　點評：例5的處理策略把一個相當抽象的問題轉化成一個非常具體的問題，大大降低了思考難度；例6中，法①運用“逐步降次法”，法②運用“取倒數法”，看似玄妙，其實并非無中生有，都是建立在對已知條件和待求式充分觀察、比較的基礎上，巧妙降低了問題的抽象程度。
　　（3）調整問題解決策略
　　調整問題解決策略往往遵循“問題→新問題→解決新問題→解決原問題”的路子走，是一個逐步縮小已知與求解的差異的過程，是求解系統趨近于目標系統的過程，目的在于通過采用某種手段轉化信息，使之容易展開聯想，方便思考與解決。
　　例7．（2011，四川瀘州中考）如圖4-1，點P為等邊△ABC外接圓周劣弧BC上的一點。
　　求∠BPC的度數；
　　求證：PA=PB+PC；
　　設PA，BC交于點M，若AB=４，PC=２，求CM的長度。
　　分析：這是一例延用多年的經典問題，此處僅關注第（2）問。
　　一方面，欲證PA=PB+PC，可先把PB（或PC）“補”上一段PC長（或PB長）的線段，然后推證補充后的線段長等于PA長即可。
　　方法①：延長線段BP到點D，使PD=PC，連結CD（如圖4-1，詳解不贅）；
　　方法②：延長線段PB到點D，使BD=PC，連結AD（圖形、詳解不贅）；
　　方法③：延長線段CP到點D，使PD=PB，連結BD（圖形、詳解不贅）；
　　方法④：延長線段PC到點D，使CD=PB，連結AD（圖形、詳解不贅）。
　　上述四法，我們通常稱之為“補短法”，四者異曲同工。
　　另一方面，欲證PA=PB+PC，相當于“PC=PA-PB”或“PB=PA-PC”，可考慮先從PA上“鋸”下一段PB長（或PC長）的線段，然后推證余下的一段長等于PC長（或PB長）即可。
　　方法⑤：在線段PA上截取PD=PB，連結BD（如圖4-2，詳解不贅）；
　　方法⑥：在線段PA上截取AD=BP，連結CD（圖形、詳解不贅）；
　　方法⑦：在線段PA上截取PD=PC，連結CD（圖形、詳解不贅）；
　　方法⑧：在線段PA上截取AD=PC，連結BD（圖形、詳解不贅）。
　　上述四法，我們通常稱之為“截長法”，四者也是異曲同工。
　　點評：正是由于對結論形式的調整與轉化，不同的解題策略才浮出水面，問題得以巧妙破解。
　　匈牙利著名數學家P?羅莎在她的名著《無窮的玩藝》一書中曾對“信息轉化”做過生動的描述。她首先問：“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現在的任務是要燒水，你應當怎樣去做？”正確的回答是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”接著羅莎又提出第二個問題：“假設所有的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時你應該怎樣去做？”對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上。”但羅莎認為這并不是最好的回答，因為“只有物理學家才這樣做，而數學家則會倒去壺中的水，并且聲稱我已經把后一問題化歸成先前的問題了。”羅莎的比喻固然有點夸張，但卻道出了“信息轉化”在數學解題中的重要作用。希望通過本文，讀者能領悟到這個真諦。
　　（責任編輯 劉永慶）