構建與解讀物理模型

1 子彈打木塊模型

1．1 構建

模型特征：(1)如圖1所示，一個運動的物體(子彈)以—定的速度v0碰撞(打入)一個靜止的物體(木塊)，碰撞后二者一起以相同的速度v運動——實質為完全非彈性碰撞；(2)整個相互作用過程是系統的動能減小的過程，減小的動能無法得到補償；(3)整個相互作用過程中系統的動能轉化為系統的內能，且系統動能的減少量等于系統內能的增加量；(4)在假定相互作用力為恒力的前提下，系統內能的增加量等于相互作用力的大小乘以相對位移的大小，即ΔE=fs。

規律總結：(1)對子彈：假設運動的位移為s1，子彈的質量為m，如圖1所示，據動能定理有：

-fs1=12mv2-12mv02

(2)對木塊：假設運動的位移為s2，木塊的質量為M，據動能定理有：

fs2=12Mv2-0

(3)對整體：假設相對位移為s，據總能量守恒有：

fs=12mv02-12(M+m)v2

其中s=s1-s2，s為相對運動的位移(實質為相對路程)，即系統動能的減小量等于相互作用力乘以相對位移，也就等于系統內能的增加量，亦即：

ΔE=fs=12mv02-12(M+m)v2

1．2 解讀

例1 如圖2所示，質量為M的箱子停放在光滑的水平地面上，已知箱子的長度為L，箱子中正間放著一個質量為m，可以看作質點的物塊，物塊與箱子間的動摩擦因數為μ。現給物塊—個水平速度v0，使之在箱子內相對運動，若物塊與箱子的碰撞過程中能量的損失忽略不計。試求：

(1)物塊靜止于箱子內時物塊的速度；

(2)物塊與箱子碰撞的次數。

解析 依據題意可知：整個系統在作用過程中動量是守恒的，它是一個標準的“子彈打木塊”模型。

(1)設物塊靜止于箱子內時，物塊的速度為v(此時物塊與箱子相對靜止)，依據動量守恒定律得：

mv0=(m+M)v

解得：v=mv0m+M

(2)設物塊與箱子相互作用過程內能的增加量為Q，則依據能量守恒定律得：

Q=12mv02-12(m+M)v2

解得：Q=mM2(m+M)v02

設物塊相對于箱子的運動距離為s，則有：

Q=μmgs

解得：s=M2μg(m+M)v02

依據題意分析可知，物塊與箱子碰撞的次數為：n=1+s-L2L

=12+Mv022μg(m+M)L

2 人船互移模型

2．1 構建

模型特征：“人船互移”模型是動量守恒定律中平均動量守恒問題的具體應用。

如圖3所示，質量為m的人站在靜止的質量為M的船的左端，設船長為L，不考慮水對船的阻力，則人從船的左端走到右端過程中船移動的位移為s1，船移動的位移為s2。則：

(1)系統動量守恒，外力沖量為零；

(2)系統的總動量為零。

依據兩個前提必然有：①相互作用過程中任意時刻系統的總動量為零；②相互作用過程中，船位移大小和人位移大小之和等于相對位移。

設人、船平均速度大小分別為v1、v2，用s1、s2分別表示人、船的位移大小，運動時間為t，據動量守恒定律有：

mv1-Mv2=0

必然有：mv1t-Mv2t=0

而s=vt

所以有：ms1-Ms2=0

即ms1=Ms2

據圖3必然有：s1+s2=L

所以“人船”模型前提為：①系統動量守恒；②系統總動量為零。

規律總結：ms1=Ms2，s1+s2=L

2．2 解讀

例2 半徑為R的四分之一圓槽靜止在光滑的水平地面上，在槽的頂端由靜止釋放一個可以視為質點小球，試求小球到達最低點時圓槽后退的位移。

解析 本題在水平方向上動量守恒，即在水平方向上平均動量守恒，且總動量為零，顯然為“人船互移”模型。

設小球到達最低點時圓槽后退的位移為s1，小球在水平方向上的位移為s2，

則有：Ms1=ms2，s1+s2=R

聯立以上兩式解得：

s2=mM+mR

3 輕繩模型

3.1 構建

模型特征：輕繩，或稱為細線，它的質量可以忽略不計；輕繩是軟的，不能產生側向力；它的勁度系數非常大，以至于認為受力形變極微，看作不可伸長。

規律總結：(1)輕繩各處受力相等，且拉力方向沿著繩子；(2)輕繩不能伸長；(3)用輕繩連接的系統通過輕繩的碰撞時，系統內的機械能有損失。

3．2 解讀

例3 如圖4所示，一質量為m的物體系于長度分別為L1、L2的兩根細線上，L1的一端懸掛在天花板上，與豎直方向夾角為θ，L2水平拉直，物體處于平衡狀態。現在將L2線剪斷，求剪斷瞬時物體的加速度。

(1)下面是某同學對該題的一種解法：設L1線上的拉力為T1，L2線上的拉力為T2，重力為mg，物體在三個力的作用下處于平衡狀態。根據物體平衡得：

T1cosθ=mg，T1sinθ=T2，T2=mgtanθ

剪斷線的瞬間，T2突然消失，物體即沿T2反方向獲得加速度。因為mgtanθ=ma，所以加速度a=gtanθ，方向沿T2反方向。

你認為這個結果正確嗎?請對該解法作出評價并說明理由。

(2)若將圖4中的細線L1改為長度相同、質量不計的輕彈簧，如圖5所示，其它條件不變，求解的步驟與(1)完全相同，即a=gtanθ。

你認為這個結果正確嗎?請說明理由。

解析 (1)結果不正確。因為L2被剪斷的瞬間，L1上的張力的大小發生了突變，此瞬間

T1=mgcosθ，a=gsinθ

(2)結果是正確的。因為L2被剪斷的瞬間，彈簧L1的長度不發生突變，T1的大小和方向都不變。

4 雙星模型

4．1 構建

模型特征：雙星是這樣一個系統，兩個天體以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，若兩個圓的圓心重合，兩個圓軌道為同心圓。雙星做勻速圓周運動的向心力皆由它們間的萬有引力來提供。兩天體的位置相對不變，雙星系統所受外力基本為零(在實際上雙星系統也在以其系統的質心繞別的天體做圓周運動)。

規律總結：(1)向心力的大小相同，方向相反，皆由萬有引力提供，即：

F1=F2=F=Gm1m2／(L1+L2)2

(2)做勻速圓周運動的角速度和運動周期相同，即：

ω1=ω2=ω；T1=T2=T

(3)雙星里其中一星的質量與其運動半徑之積與另一星的質量與其運動半徑之積相等，即m1Ll=m2L2=定值，其中L1+L2=L(L為兩天體間的距離)。

(4)雙星的其中一星的質量與其線速度之積與另一星的質量與其線速度之積相等，即m1v1=m2v2=定值。

4．2 解讀

例4 如圖6所示是用以說明向心力和質量、半徑之間的關系的儀器，球P和球Q可以在光滑的桿上無摩擦地滑動，兩球之間用一條輕繩連接，mP=2mQ，當整個裝置以角速度ω勻速轉動時，兩球離轉軸的距離不變，則此時：

A．兩球受到的向心力大小相同

B．P球受到的向心力大于Q球所受到的向心力

C．當ω增大時，P球將向外運動

D．rP一定等于rQ／2

解析 據題意可知，P、Q兩球的向心力皆由連接兩球的細繩的張力所提供，大小相等，且兩球的角速度ω相等，兩球做勻速圓周運動的圓心為同一個點，此點在兩球的連線上，顯然兩球的運動情況與雙星的運動情況相同，所以它所遵循運動規律與雙星相同，故稱之為“類雙星”。

所以兩球在勻速圓周運動過程中一定有：

mPrP=mQrQ

mPvP=mQvQ

且rP+rQ=定值

所以本題的正確答案應為AD。

綜合上述：構建物理模型是學習物理的一個非常重要的手段，有了它可以使復雜問題簡單化，做到化生為熟、化難為易，為多題一解提供了方法。但是，解讀物理模型則是一種能力，這種能力正是學生應當培養和掌握的，利用它處理多題一解問題會變得方便，快捷，游刃有余。

(欄目編輯羅琬華)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文