均勻帶電圓環中心軸線上的場強與電勢

均勻帶電圓環中心軸線上的場強與電勢分別有什么規律？兩個共軸放置的均勻帶電圓環中心軸線上的場強與電勢又分別有什么規律？幾何畫板具有已知函數繪制圖象的功能，下面筆者將利用這一功能，對上述問題進行探討。

1 均勻帶電圓環中心軸線上的場強

1．1 一個帶電圓環

1.1.1 場強計算式的導出

如圖1所示，均勻帶電圓環的半徑為R，帶電量為q。把圓環分割成許多小段，任取一長為dl的電荷元，其上所帶電量為dq=q2πRdl。設電荷元距P點的距離為r，OP間距離為x。將電荷元在P點場強dE分解為平行和垂直于軸線的兩個分量dE∥和dE⊥。由于圓環電荷分布具有軸對稱性，所以圓環上所有電荷的dE⊥分量的矢量和為零，因而P點的場強沿軸線方向，且為E=∫2πR0dE∥=∫2πR0kdqr2cosθ，式中θ為dE與X軸的夾角，cosθ=xR2+x2。

軸線上的場強計算式為E=kqx(R2+x2)32。E的方向由電量q的正、負決定：當q＞0時，環右側E的方向沿軸線指向X軸正方向；當q＜0時，環右側E的方向沿軸線指向X軸負方向。

1.1.2 場強計算式的討論

當x=0時，E=0，即環心處場強為零；當x∞時，E=0；當xR時，E≈kqx2。可見，遠離環心處的電場相當于一個點電荷q產生的。當dEdx=0時，即x=±2R時，E取極大值。

1.1.3 畫出場強量值分布圖

根據計算式E=kqx(R2+x2)32，取kq=9，R=2（以后畫場強分布情況圖與此相同），在幾何畫板繪制函數圖象中畫出圓環中心軸線上的場強量值的分布圖，如圖2所示。

1．2 兩個共軸放置的帶電圓環

如圖3所示，兩個帶電圓環共軸放置，間距為d。以右環的環心為坐標原點O建立坐標系，后面的圖象用虛線記錄環的位置。在X軸上取一點P，設OP間距為x，根據前面的分析，可知P點的場強為E=kqx(R2+x2)32。場強分布規律與間距d有關，下面給出一些典型的場強量值分布圖。

兩個圓環帶等量同種正電荷，當d=R、d=1.5R、d=2R時，分布圖分別如圖4、圖5、圖6所示。

兩個圓環帶等量異種電荷，且右環帶正電，當d=R、d=2.5R、d=5R時，分布圖分別如圖7、圖8、圖9所示。

保持右環的位置不變，隨著間距d的增大，場強量值分布規律越來越趨于一個右圓環的情形。當dR時，分布規律如圖2所示。

2 均勻帶電圓環中心軸線上的電勢

2．1 一個帶電圓環

2.1.1 電勢計算式的導出

如圖1所示，設電荷元距P點的距離為r，OP間距離為x。電荷元dq在圓環軸線上P點產生的電勢為

dφ=kdqr=kqdl2πRR2+x2

φ=∫dφ=∫2πR0kqdl2πRR2+x2

所以，軸線上的電勢計算式為

φ=kqR2+x2

2.1.2 電勢計算式的討論

當P點位于環心O處時，即x=0時，φ=kqR；當P點位于軸線上相當遠處，即xR時，φ=kqx。可見，遠離環心處的電勢相當于一個點電荷q產生的。

2.1.3 畫出電勢量值分布圖

根據電勢計算式φ=kqR2+x2，取kq=92，R=2（以后畫電勢分布情況圖與此相同），在幾何畫板繪制函數圖象中畫出圓環中心軸線上的電勢量值的分布圖，如圖10所示。

2．2 兩個共軸放置的帶電圓環

如圖3所示，兩個帶電圓環共軸放置，間距為d。以右環的環心O為坐標原點建立坐標系，在X軸上取一點P，設OP間距為x。根據前面的分析，可知P點的電勢為

φ=kqR2+x2+kqR2+(x+d)2

電勢分布規律與間距d有關，下面給出一些典型電勢量值分布圖。

兩個圓環帶等量同種正電荷，當d=R、d=2R時分布規律分別如圖11、圖12所示。

兩個圓環帶等量異種電荷，且右環帶正電，當d=R時分布規律如圖13所示。

保持右環的位置不變，隨著間距d的增大，電勢量值分布規律越來越趨于一個右圓環的情形。當dR時，分布規律如圖10所示。

3 規律應用

（南通市2010屆高三第二次模擬考試第9題）如圖14所示，兩個固定的相同細環相距一定的距離，同軸放置，O1、O2分別為兩環的圓心，兩環分別帶有均勻分布的等量異種電荷。一帶正電的粒子從很遠處沿軸線飛來并穿過兩環，則在帶電粒子運動過程中

A．在O1點粒子加速度方向向左

B．從O1到O2過程粒子電勢能一直增加

C．軸線上O1點右側存在一點，粒子在該點動能最小

D．軸線上O1點右側、O2點左側都存在場強為零的點，它們關于O1、O2連線中點對稱

解析 由圖7、8可知，兩環間距離不是太大時，在O1點右側存在一點合場強為零，在合場強為零點的右側場強為正，方向向右，在合場強為零點與O1點之間場強為負，方向向左。一帶正電的粒子從很遠處沿軸線飛來并穿過兩環，在O1點粒子加速度方向應該向左，所以A對。在O1點右側飛來的粒子應先減速后加速，在合場強為零點速度最小，所以C對。由圖7、8的圖象對稱性，可知D正確。由圖13可知，從O1到O2兩環軸線上的合電勢越來越小，故帶正電的粒子從O1到O2過程粒子電勢能減少，所以B錯。

點評 當兩圓環間距離太大時，兩環中心軸線上的場強分布就趨于圖2的規律，在O1點右側合場強為零的點就趨于點O1，所以題中兩環間的距離不應該太大。

教師批改后發現許多學生沒有選C，與他們交流后發現錯誤的原因，原來學生把帶電圓環當成點電荷來處理的，認為O1點右側不存在合場強為零的點，從O1點右側飛來的粒子一直減速。可見此題較好的考查了學生的建模能力。

根據場強計算式E=kqx(R2+x2)32，利用導數dEdx=0，發現E有極大值，利用幾何畫板畫出場強的分布規律，超出了考試大綱對學生的要求。但是學生可以用θ作變量解出場強計算式E=kqsinθcosθR2求出x=R2時，E有極大值，再粗畫場強的分布規律來解決。因此，這是一道適宜考查學生能力的好題目。

如果兩個圓環帶的是等量同種電荷，那么兩環之間軸線上的電場與電勢就比較復雜，粗畫場強、電勢的分布就不能發現其中的規律，為此命題者巧妙做了回避。

應用幾何畫板繪制函數圖象的功能，研究均勻帶電圓環中心軸線上的場強與電勢的空間分布，使規律清楚、直觀地凸顯出來，有助于深入理解均勻帶電圓環中心軸線上的場強與電勢。

(欄目編輯羅琬華)