離散數學的實例化概念教學法

　　摘要：針對離散數學教學中理論與應用結合困難的現狀，為增強學生對抽象理論及具體應用的理解，提出“用實例增強概念理解”的教學方法。在講解新概念之前先介紹其應用背景，以具體例子闡述其理論細節，通過選擇合適的例子，比較前后概念，引導學生建立完整的知識網絡。
　　關鍵詞：離散數學；概念；實例；教學方法
　　
　　離散數學(Discrete Mathematics)，又稱為離散數學結構(Discrete Mathematical Structures)，是現代數學的重要分支，整個計算機學科的專業基礎課[1-2]，同時也是信息類專業的重要專業課程。離散數學屬于專業數學的范疇，研究離散量的結構和相互間的關系， 充分描述了計算機科學離散性的特點。計算機求解的基本模式是：實際問題 T 數學建模 T 算法設計 T 編程實現。離散數學識培養學生運用離散結構作為問題的抽象模型，進而構造算法，解決問題。
　　1課程特點與教學難點
　　離散數學的課程內容高度抽象，并且強調證明問題。它的大多數應用來自于計算機科學，學習該課程的學生超過半數來自計算機專業。課程的特點決定了離散數學是一門既講究基礎理論，又注重實際應用的學科。課程特點如下，同時也是教學的難點[3-7]。
　　1) 內容抽象，概念眾多。
　　離散數學使用數學化的表達方式，理論性強，邏輯嚴密。對于學生而言，從習慣其表達方式到熟練運用要經歷一個較長的過程。離散數學理論表達的基礎是大量嚴密的概念，對概念的理解程度決定了對課程內容的理解程度。大量抽象的概念也是學生學習的主要困難。往往在授課過程中，學生反映對以前的概念不理解，對新學的知識難以接受。學生感覺離散數學越學越難，理論在不斷加深。因此要重視對概念的教學。
　　2) 在后續課程中應用多。
　　離散數學是計算機學科的專業基礎課，所以教學安排在大學低年級，大部分高校從二年級開始離散數學的教學。雖然離散數學在很多后續專業課中有廣泛應用，但是在學習離散數學的時候，大部分專業課尚未開課，所以部分學生對離散數學的應用認識不足，學習興趣不高。因此在離散數學的教學，要特別強調其實際應用性，對抽象的知識要通過實例來具體化，讓學生真正看到離散數學在計算機科學中的具體應用。
　　針對離散數學的基礎概念眾多而且抽象的特點，為了解決學生因為概念掌握不深入和缺乏實際應用帶來的學習困難，我們特別側重概念教學和應用引入，提出了以實例增強概念理解的教學方法。
　　2實例化概念教學方法
　　離散數學的教學目的是提高學生對實際問題的數學本質的表達能力，增強解決實際問題的綜合能力。為了克服教學中理論和實際應用結合的困難，既要注重對理論進行細致分析，又要注重引入實際應用。在教學中，如果教師能夠對基礎概念做重點講解，使得學生具備建模的基本能力，并通過實例進行強化，那么就能有效地提高教學效果。為了達到上述目標，我們著重對概念的教學進行挖掘，提出了“用實例增強概念理解”的教學方法。該教學法的主要出發點是讓學生了解理論如何應用，提高學習興趣。通過具體實例讓基本概念立體化和實用化，強化具體理論細節，通過前后概念的比較形成知識的網絡化。
　　2.1介紹應用背景，提高學生興趣
　　在我們對學生的問卷調查中發現，學生對離散數學學習興趣不高的原因之一是對實際應用背景不夠明確。沒有相關實際背景的概念僅意味著數學符號，印象不夠深刻。針對這個問題，我們認為孤立引入概念的教學形式，不能提高學生的興趣，不利于理論知識和實際應用的結合。在引入新概念的時候，應該首先介紹其應用背景，讓學生對將要學習的知識有直觀的認識。
　　圖論是結合實際應用最多的一部分內容，課本中對相關內容的實際應用背景介紹比較豐富。例如哥尼斯堡七橋問題引出了圖論的起源，通過漫游問題引出歐拉圖和漢密爾頓圖，通過地圖著色直接介紹著色問題等。因此學生能從課本上了解圖論的一些實際應用。在圖論的教學中，在介紹完相關概念后，多引入實際問題，引導學生利用圖論的知識進行建模，鍛煉抽取實際問題的數學實質的能力。
　　又如，函數是離散數學中集合論的內容。雖然高等數學中也學習過函數，但是離散數學中介紹的函數更加抽象，覆蓋面更廣。由于這個特點，大部分學生感覺其理論性強，對函數應用的理解不夠深入。實際上，函數在計算機科學中非常重要而且應用十分廣泛，在課堂教學中應該向學生介紹這部分內容。例如，假設計算機需要存儲查詢大量的數據，則要確定每個數據的位置。通常，我們建立從存儲表到數據編碼的散列函數，用到最多的就是模n函數。散列函數在密碼學中也被經常使用，如產生數字指紋和其他一些電子資源來驗證消息的真實性等。在教學中，通過一些實例建立學生對抽象內容的理解，提高學生的學習興趣。
　　2.2講解新概念，注重老概念
　　雖然各個概念在教科書中獨立出現，但其內容彼此關聯。如果在教學中單獨講解新概念，而沒有建立新概念與已學知識的聯系，那么對學生而言，這些知識點就是一些孤立的片斷，無法深入理解其內容。所以在講解新概念的時候，要加強與已學概念的比較，讓學生建立理論體系的完整印象。
　　例如，“等價”這個概念在數理邏輯和集合論中都出現過，兩者本質相同，而定義的方法不一樣，教材中沒有把這兩者聯系起來講解，大部分學生將其視為完全不同的概念。在講課的過程中，我們通過前后概念的比較和聯系，可以對“等價”進行更深入的分析。
　　數理邏輯研究兩個命題公式的等價。“給定兩個命題公式 A 和 B，設P1，P2，…， Pn為所有出現于 A 和 B 中的命題變元，若對于P1，P2，…，Pn任一組真值指派，A和B的真值都相同，則稱 A和B等價，記作 A?B。”集合論中考慮等價關系。“設R為定義在集合A上的一個關系，若R是自反的，對稱的和傳遞的，則R稱為等價關系。