利用線性規劃巧解常見的最值問題

　　在高中數學學習中求最值問題或范圍問題是考試常見的題型，有時也是學生難以解決的問題，利用線性規劃的知識解決此類問題可以避免學生常犯的一些錯誤.下面就幾種常見的題型進行探討.
　　題型一：若變量x、y滿足約束條件y≤1x+y≥0x-y-2≤0，
　　則z＝x－2y的最大值為?搖 ?搖.
　　分析：作出可行域如圖1所示．
　　作直線l：x－2y＝0.
　　當把l平移到l的位置時，此時過點A（1，－1），z的值最大，且z＝1－2×（－1）＝3.
　　若z＝x－2y+5又如何解決？
　　題型二：設變量x，y滿足約束條件x-y≥-1x+y≥12x-y≤1，
　　則目標函數z＝的值域為?搖 ?搖．
　　分析：作出可行域如圖2所示.
　　目標函數z表示可行域內的點p（x，y）與固定點（-1，-1）之間的斜率的取值范圍，求出兩交點坐標，并求出點p與兩交點的斜率，得出：≤z≤2.
　　若z=，如何求z的取值范圍？
　　題型三：已知點M（x，y）滿足條件x-y+2≥0x+y-4≥02x-y-5≤0，
　　點N（x，y）滿足x＋y－10y＋23≤0，
　　則|MN|的最小值為?搖 ?搖．
　　分析：如圖3，畫出不等式組表示的可行域，而由x＋y－10y＋23＝x＋（y－5）－2≤0，得x＋（y－5）≤2，該不等式表示以C（0，5）為圓心，為半徑的圓及其內部，故點N在圓上或其內部．由圖3可知，圓心C到平面區域（陰影三角形）的最小值為點C到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝，故|MN|的最小值為d
　　若在此題中，目標函數z=x＋y+2x＋2y的最值如何求？
　　在不等式性質的應用中有這樣一道題：
　　設f（x）=ax+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍.
　　學生常出現如下的錯解：由1≤f（-1）≤22≤f（1）≤4，得1≤a-b≤22≤a+b≤4，得1.5≤a≤30≤b≤1.5，
　　所以3≤f（-2）=4a-2b≤12.
　　錯在哪里？學生看不出，其實這樣多次運用同向不等式相加，導致范圍擴大，要引起學生足夠重視.
　　正確分析:f（-1）=a-b，f（1）=a+b，把a-b和a+b看做整體去處理，將f（-2）用a-b和a+b表示，正確解法如下：
　　令f（-2）=mf（-1）+nf（1），
　　即4a-2b=m（a-b）+n（a+b），
　　得m=3，n=1，所以f（-2）=3，f（-1）+f（1），而3≤3f（-1）≤6，2≤f（1）≤4，
　　所以5≤3f（-1）+f（1）≤10，即5≤f（-2）≤10.
　　這種純代數的方法個別學生始終難以理解，此類問題造成了學生的巨大心理壓力，但學了線性規劃后，利用線性規劃的知識解決此類問題學生就能得心應手，找到自信.若用線性規劃的方法解決這道題，上述問題可轉化為：
　　已知約束條件：1≤a-b≤22≤a+b≤4，求目標函數z=4a-2b的最大值和最小值問題就很簡單了.
　　變式練習：已知f（x）=ax+c，滿足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍.