初中學生分類討論思想與數學思維品質的培養

摘 要:分類討論是中學數學教學中的一個重要內容，分類討論問題既能夠考查學生最基本的數學素質狀況，又能夠考查學生的思維能力。本文就教學中常涉及的幾種分類討論問題，談一下如何幫助學生樹立分類討論的思想，并從中啟迪學生思維，培養學生的學習能力，形成良好的思維品質。

關鍵詞:初中學生 分類討論 思維品質

中圖分類號:G631文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(a)-0135-01

解決一個復雜的數學問題時，常常將涉及的對象分成若干相對簡單的情況，然后對各種情況逐個討論，最終使整個問題得以解決，這就是我們常說的分類討論。分類時應注意不重不漏，特別是不能遺漏所討論問題的各種情形。中學數學教材中，分類討論的思想最初出現于“有理數的分類”和“絕對值的性質”之中，在初二和初三的教材中也有滲透了分類討論思想的內容，而對分類討論思想的深刻認識和靈活運用，則要通過高中數學的學習才能達到，因此分類討論是中學數學教學中的一個重要內容。由于分類討論問題既能夠考查學生最基本的數學素質狀況，又能夠考查學生的思維能力，所以也成為了近幾年中考的熱點問題。在教學中如何向學生滲透分類討論的思想，幫助他們掌握分類討論的方法，是廣大初中教師十分關注的一個課題。本文就教學中常涉及的幾種分類討論問題，談一下如何幫助學生樹立分類討論的思想，并從中啟迪學生思維，培養學生的學習能力，形成良好的思維品質。

1 在基本概念、基本公式的教學中樹立分類討論的思想

在一些涉及分類的基本概念的教學中，應使學生了解分類討論必須有一個統一的分類標準，必須不重不漏，并初步掌握它在解題中的應用。如在講解三角形的分類時，應強調分類標準不同，分出的類型則不一樣，按邊的相等關系可分為不等邊三角形與等腰三角形，而按角分類則分為直角三角形和斜三角形，每一種分類不可遺漏，兩種分類之間不可混淆，以此訓練了學生思維的縝密性。

一些基本公式一般有應用的限制條件，解題時須分類予以考慮。為了讓學生在應用公式時注意這些限制條件，在教學中應促其開動腦筋，全神貫注地參與公式的推導過程，這樣也有利于培養學生思維的主動性。

例1:化簡:()。

分析:題設中只給出，并未指明m與n誰大誰小，而涉及二次根式型問題的化簡又與a有關，故得分類求解:

當m>n時，原式==1;當m

例2:若，則直線y=kx+k的圖象必過 象限。

分析:由題設所給的等比，考慮到可用等比性質，而涉及運用等比性質的問題又必須強調分母的和不能為0，此處未指明a+b+c的大小，故不能盲目認為a+b+c0，而應分類討論:

當a+b+c0時，k==2，直線過一、二、三象限；

當a+b+c=0時，k==-1，直線過二、三、四象限；

∴直線必過二、三象限。

2 在含字母系數的方程的教學中樹立分類討論的思想

用字母表示數是代數的一個重要特點，把具體的數過渡到用字母表示數，這也滲透了抽象概括的思維方法，有利于培養學生思維的深刻性。由于字母所表示的數具有不確定性，因此在求解系數是含字母的代數式的方程時，需分類予以討論。

例3:解關于x的方程(a-1)-2ax+a=0。

分析:由于系數的不同，可能得到不同類型的方程，故要討論系數，另外對二次方程的判別式也應予以討論。

(1)當a=1時，得-2x+1=0∴x=。

(2)當a1時△=4-4(a-1)·a=4a。

若a<0，則△<0，方程無實根

若a=0，則△=0，方程有兩等根:==0

若a>0且a1時，則△>0，方程有兩不相等的實數根:

=，=

3 在幾何的解題教學中樹立分類討論的思想

在給定的幾何條件下，由于圖形的形狀或位置不同含有不同的結果或需用不同的方法處理，從而引發了幾何的分類討論問題。因此須引導學生在解題中自己動手畫圖時，應全面分析，盡可能突破思維定勢，考慮到每一種可能的情形，從而培養學生思維的廣闊性、靈活性。

例4:甲、乙兩人分別從A、B兩地到C地，甲從A地到C地需3小時，乙從B地到C地需2小時40分鐘，已知A、C兩地間的距離比B、C兩地間的距離遠10千米，每行1km甲比乙少花10分鐘。(1)求A、C兩地間的距離;(2)假設AC、BC、AB這三條道路均是直的，試判定A、B兩地之間距離d的取值范圍。

分析:(1)略;(2)是關于直線形的問題，這類問題如果題設中沒有指明點與直線的位置關系，則應分類求解:當B在AC之間時，d=10km;當B在AC延長線上時，d=26km;當A、B、C三地不在同一直線上時，10km

∴d的取值范圍為10km≤d≤26km

例5:在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D為AC上一點，DC=AC，在AB上取一點E，得到△ADE，若圖中兩個三角形相似，則DE的長是。

分析:當相似三角形以不定方式相似出現在條件中，每種方式的相似對應著不同的對應邊(角)，從而使問題復雜化，需要分類討論。

若△ADE∽△ACB，即DE∥BC，則DE==6

若△ADE∽△ABC，則故DE==8

∴DE的長為6和8

例6:在直徑為50cm的⊙0中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求AB與CD之間的距離。

分析:AB、CD可能在圓心的同側，此時，它們之間的距離為8cm;也可能在園心的兩側，此時它們之間的距離為22cm

例7:已知⊙0和不在⊙0上的一點p，過p的直線交⊙0于A、B兩點，若PA·PB=24，OP=5，則⊙0的半徑長為 。

分析:點P不在⊙0上，則點P可能在⊙0外，也可能在⊙0內。當點P在⊙0外時，半徑為1;當點P在⊙0內時，半徑為7。

由上可見，分類討論問題往往由語言的模糊性而產生，如果學生的基本概念扎實，則不難解出，如果概念模糊，則易解錯。因此在教學中要培養學生注意基本概念的完整和系統，養成仔細審題、周密思考的良好的思維習慣，充分挖掘教材內涵，不失時機地優化學生的思維品質，幫助學生樹立起分類討論的思想。

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