淺談數列中不等式的證明方法

〔關鍵詞〕 數列；不等式；證明方法；比較法 ；放縮

法；迭代法

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2011）04（A）—0075—01

數列和不等式是歷年高考的熱點，由于它們具有“知識上的綜合性、題型上的新穎性、方法上的靈活性、思維方式上的抽象性”等特點，學生往往感到解答有一定的難度.其實，證明時結合問題的特點，從知識的整體性和綜合性著眼，在知識網絡的交匯點尋求聯系，即可使問題得以解決.下面就數列中不等式的證明方法進行歸納、整理.

利用比較法

比較法就是直接利用比較原理證明不等式的一種方法.當要證明的是項與項或和與和之間的大小時，常用比較法.

例1已知數列{an}各項均不為0，其前n項和為Sn，且對任意n∈N+，都有：（1-p）Sn=p-pan（p為不大于1的常數），記f（x）=.

（1）求an；

（2）試證明：f（n+1）

解： （1） ∵（1-p）Sn=p-pan ① ，∴當 n≥2時，（1-p）Sn+1 =p-pan+1 ②.

②-①得，an+1=pan. 又由（1-p）S1=p-pa1得a1=p.

∴數列{an}是以p為首項，p為公比的等比數列，

∴ an=pn.

證明：（2）∵Sn=，

∴ f（n）==.

∴ f（n+1）-f（n）=-<0.

所以 f（n+1）< f（n）.

利用放縮法

放縮法是指根據題設條件和不等式的結構特征從不等式的一側出發，適當放大或縮小，進而證明不等式的一種方法.放縮法可以單獨應用，也可以和其他方法配合應用.

例2已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=，求證：Sn<.

方案1:首先想到如下放縮：an=<=（-），所以Sn=a1+a2+……+an<[（1-）+（-）+……+（-）]=（1-）=.

顯然這個值超出，失敗的原因是分母縮得太小.

方案2： an==<

=（-） ，顯然可行.

點評：在放縮過程中，要根據題目中所證的結論適當調整放縮程度.

利用迭代法

當數列具有遞推關系時，常利用迭代法把一般數列轉化為特殊數列，就能找到解決問題的突破口.

例3已知函數f（x）=，x∈（0，+∞）.數列{xn}滿足xn+1=f（xn），n=1，2，3 ……，且x1=1.

（1）設an=|xn-|，證明：an+1

（2） 設（1）中的數列{an}的前n項和為Sn，證明Sn<.

證明:（1）由題意得： an+1=|xn+1-|=|f（xn）-| =||=（-1） .

由條件可知：xn>0，所以 an+1<（-1）|xn-| <|xn-|=an，所以an+1

（2） 由（1）可知：an+1<（-1）|xn-| <（-1）2|xn-1-|<……<（-1）n|x1-|=（-1）n+1.所以Sn=a1+a2+……+an<-1+（-1）2+……+（-1）n=[1-（-1）n]<=.

?笙 編輯：劉立英