圖像處理中的小波變換算法原理及其應用

摘要：小波分析是近年來迅速發展起來的一個數學分支，由于它在時間域和頻率域里同時具有良好的局部化性質，因而在圖像處理領域有著日益廣泛的應用。隨著數字圖像處理需求的不斷增長，相關應用也不斷的增長，文章以一例圖像處理過程為例，闡述了基于小波二維變換的圖像處理方法在圖像處理過程中的應用。

關鍵詞：小波變換；圖像；分解

中圖分類號：TP391.41文獻標識碼：A文章編號：1006-8937（2011）18-0070-02

1小波變換的基本概念及特點

小波定義：（t）∈L2（R），其傅里葉變換為（），當滿足允許條件，即完全重構條件或恒等分條件。

C=∞-∞d＜∞時，我們稱（t）為一個基本小波，或者母小波。將母函數（t）經伸縮和平移后，得:

a，b（t）=（），a，b∈R，a≠0

我們稱其為一個小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。

小波變換是一種信號的時間-尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可變，時間窗和頻率窗都可變的時頻局部化分析方法。在低頻部分具有較高的頻率分辨率和時間分辨率，很適合探測正常信號中夾帶的瞬態反常現象并展示其成分，因此被譽為分析信號的顯微鏡。

小波分析是把信號分解成低頻A1和高頻D1兩部分，在分解中，低頻A1失去的部分由高頻D1捕獲。而在下一層分解過程中，又將A1部分分解為低頻A2和高頻D2兩部分，如此類推，可以進行多層分解。

2二維離散小波變換

在圖像分解過程中，圖像的小波分解就是二維小波的離散化分解。在此可取a=a0j，b=b0j，這里，j∈z，取a0＞1，則離散小波函數可寫為j，k（t）。

j，k（t）=（）=（a0-jt-kb0）

離散化變換系數可表示為:

Cj，k +∞-∞ f（t）j，k（t）dt=（f，Cj，k）

其重構公式為：

f（t）=CCj，k j，k（t）

其中，C為與信號無關的常數。在重構過程中，a0，b0要盡可能的小，這樣，網絡點就多，信號重構的精度就越高，但同時，計算量就越大。

圖像的小波分解就是二維離散小波變換過程，可描述如下：在變換的每一層，使原圖像與一個小波基做內積，再經過水平和垂直方向的兩次2倍間隔采樣，圖像被分解為4個四分之一大小的圖像，包括1個逼近子圖，水平、垂直、對角線方向各一的3個細節子圖。

圖像的分解可以按照以下步驟進行：

第一層變換時，先將原圖像和小波基做內集，再沿水平和垂直方向分別采樣，可得到下式。

A1f（x1，x2）=[f（x1，x2），（x1-n1），（x2-n2）]

D1（1）f（x1，x2）=[f（x1，x2），（x1-n1），（x2-n2）]

D1（2）f（x1，x2）=[f（x1，x2），（x1-n1），（x2-n2）]

D1（3）f（x1，x2）=[f（x1，x2），（x1-n1），（x2-n2）]

其中，f（x1，x2）為二維圖像信號，A1f（x1，x2）表示信號的低頻部分，D1（x）f（x1，x2）表示水平、垂直及對角線方向的細節（高頻）部分，（t）為正交小波，（t）為二維基本小波。在此基礎上，可以對A1f（x1，x2）進行再次分解，分解后結果可寫為A2f（x1，x2）部分和D2（x）f（x1，x2）部分，依次迭代下去，即可得到Mallt算法[1]下的多分辨率分解，同樣，逆向即可得其三層分解圖像重構（見圖1）過程。

3實際實現與結果分析

圖3表示對圖2的信號分解(即第一級小波分解)后的4個成分(或稱為4個子圖像)。由圖可見，D1（1）f（x1，x2）表現水平方向上的高頻成分，D1（2）f（x1，x2）表現垂直方向上的高頻成分，D1（3）f（x1，x2）表現對角線方向上的高頻成分。另外，A1f（x1，x2）表現對A1平均化的低頻成分。在圖像分解過程中，總的數據量既沒有增加也沒有減少。

但是，一個圖像經過小波變換后，得到一系列不同分辨率的子圖像，即表示低頻成分的子圖像及表現不同方向上高頻成分的子圖像。高頻成分的子圖像上大部數值都接近于0，越是高頻這種現象越明顯。所以，對于一幅圖像來說，包含圖像主要信息的是低頻成分，而高頻成分僅包含細節信息。因此，一個最簡單的圖像壓縮方法是保存低頻成分而丟掉高頻部分。圖4表示只利用1級分解后的低頻成分（左上角的子圖像）進行圖像恢復的結果?？梢钥闯雠c原圖像有一些細微的不同，丟失了一部分細節信息。

4結語

小波分析方法已經在圖像處理的過程中得到了廣泛的應用，并且還出現了脊波（Ridgelets）、方向波（Directionlets）和剪切波（Shearlets）等改進類型，隨著小波分析方法的發展，必將在靶場圖像處理過程中得到更為廣泛的應用和發展。

參考文獻：

[1] 楊福生.小波變換的工程分析與應用[M].北京:科學出版社， 1999.

[2] 柳薇，馬爭鳴.基于邊緣檢測的圖象小波閾值去噪方法[J]. 中國圖象圖形學報，2002，(2).

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[4] 關履泰.小波方法與應用[M].北京:高等教育出版社，2007.

[5] 李登峰，楊曉慧.小波基礎理論和應用實例[M].北京:高等教 育出版社，2010.