小波變換在圖像邊緣檢測中的應用

鮑雄偉

（長安大學 信息工程學院，陜西 西安 710064）

圖像包含了人類所需要認識世界，進而改造世界的大部分的信息量。統計表明：人類所獲取的信息量有是來自于圖像，所以與圖像相關的信息處理研究已經成為了數學、計算機科學、電子學、通信等多學科領域的跨學科研究的熱門研究課題。邊緣[1]包含了圖像的重要信息，是指圖像中灰度發生跳變的部分，是圖像最基本的特征之一。因此，圖像邊緣檢測又成為了圖像處理中非常重要的研究課題之一。圖像邊緣檢測質量的好壞，直接影響圖像檢索的結果。目前已經有很多的經典的邊緣檢測算子：Sobel算子[2]，Prewitt算子[3]，Roberts算子[4]，Log 算子[5]，Canny[6]算子等。

圖像邊緣就是二維圖像中奇異點的集合，反映在頻域內，表現為高頻信號，而圖像噪聲也為高頻信號，這使得邊緣與噪聲很難分得開。邊緣檢測不僅要從圖像中檢測出奇異點，還應該準確的區分出邊緣與噪聲。但是傳統的處理算法并不能很好的區分出圖像的邊緣與噪聲[7-8]。小波變換[9]有著非常了得的“時頻”局部化分析，這為在圖像的邊緣檢測中提供了新的方法[10]。本文充分地考慮到小波變換的特點，設計出3次樣條平滑濾波算子，對圖像進行了不同尺度下的小波變換，設置了合理的閾值，在每一種尺度下提取到圖像的邊緣，然后綜合多尺度邊緣形成了最后真正的邊緣。

1 3次B樣條小波的構造

眾多參考文獻[11]給出3次B樣條小波在邊緣提取等實際應用中漸進最優的。因此選擇3次B樣條小波作為平滑函數，下面來構造3次B樣條小波。

Nm（x）為m次的B樣條函數，由于B樣條可以很好地近似Gauss函數，選擇B樣條的一階微分為小波函數，m階B樣條小波就是m+1階B樣條在2j尺度上的一階微分:

B樣條函數具有偶對稱性，小波函數具有奇對稱性，并且小波函數與其尺度函數是正交的。考慮①當m為奇數有如下關系：

那么低通濾波器為：

那么低通濾波器為:

小波函數ψm與尺度函數Nm存在如下關系:

此時，有限脈沖響應不在整數節點上，調整后可得到高通濾波器的系數為：

綜上，得到3次B樣條濾波器的值，如表1所示。

表1 3次B樣條濾波器的系數Tab.1 The filter coefficient of the third B-spline

2 小波邊緣檢測的構造

設二維圖像信號為 I（x，y），以 θ（x，y）作為平滑函數，這樣 I（x，y）經平滑之后的梯度為：

這里的尺度 S=2j，θ（x，y）沿 x，y 兩個方向上的導數作為基本小波：

小波變換的兩個分量在尺度為S=2j時為：

則小波變換在尺度為S=2j的模與幅角，分別為：

小波變換的模M2jI（x，y）正比于梯度向量的模，M2jI（x，y）在（x，y）方向取極大值的點對應著 I（x，y）的突變點，在尺度2j下的邊緣點就是M2jI（x，y）沿梯度方向的模極大值出的點，利用該特性就可以進行圖像的邊緣檢測。

3 利用小波變換進行圖像邊緣檢測

多尺度局部模極大值邊緣檢測就是沿著梯度方向，在閾值的約束下檢測出各尺度下小波變換的模極大值。在小尺度下，圖像的邊緣細節信息較為豐富，邊緣定位精度較高，但容易受到噪聲的干擾；在大尺度下，圖像的邊緣穩定，抗噪聲性能好，但定位精度較差，所以把它們的優點集合起來，通過在不同尺度上進行綜合得到最終邊緣圖像。即利用大尺度下能抑制噪聲，可靠地識別邊緣，而在小尺度下定位精度精確的優點。具體的步驟為：1）對原始圖像進行預處理[1]，主要是去噪以及增強；2）對預處理后的圖像進行小波變換，分別得到模圖像族為 Ms（x，y）和相角圖像族為 As（x，y）；3）在模圖像中沿著相角方向找出模的局部極大值點，得到可能的邊緣Bs（x，y），這時將其他的像素點置為零；4）將Bs（x，y）中的連續的點構成為一條鏈，然后求出所得到的每一條鏈的長度以及平均模值，設定一個合理的閾值，將那些鏈長和模值小于已設定的閾值的鏈去除掉，得到了最大尺度下單像素寬的圖像 Ej（x，y）；5）對于 Ej（x，y）中的每一條鏈的兩端點，在（j-1）尺度下搜索對應位置處的3×3鄰域，將模值相近且幅角相似的點補充到邊緣圖像 Ej（x，y），生成 Ej-1（x，j）邊緣圖像；6）再次讓 j減 1，依次循環，直到j=1，即為最后綜合形成的邊緣圖像。

4 實驗結果與分析

將本文所介紹的三次B樣條小波變換的邊緣檢測與多尺度邊緣綜合的方法相結合，得到如圖所示的結果。圖1中（a）lena 原始圖像；（b）prewitt算子對 lena 原始圖像進行邊緣檢測的結果；（c）本文方法對lena原始圖像進行邊緣檢測的結果。 圖 2 中（a）lena加椒鹽噪聲后的圖像；（b）prewitt算子對lena含噪圖像進行邊緣檢測的結果；（c）本文方法對lena含噪圖像進行邊緣檢測的結果。

通過Matlab仿真[12]的實驗結果可以看到，利用本文所提到的方法較傳統的邊緣檢測算子能夠更加比較準確的檢測到一幅圖像的完整的清晰的邊緣，且通過對含噪圖像的檢測表明傳統的邊緣檢測方法受噪聲的影響較大，抗噪聲性能較差，而利用本文提出的方法則得到很好的結果。這說明本文所提到的方法不僅能準確的得到圖像的完整的清晰地邊緣，而且具有較強的抗噪聲性能。

圖1 實驗結果1Fig.1 The first results of experiment

圖2 實驗結果2Fig.2 The second results of experiment

5 結 論

本文主要是利用B樣條函數作為小波函數對圖像進行小波變換，利用其多尺度特性，在不同的尺度下，對圖像進行小波變換，再結合自適應閾值方法，在每種尺度下分別提取處圖像的邊緣，然后綜合多尺度邊緣，得到圖像精確的單像素邊緣。仿真結果表明：利用該方法得到的邊緣不僅能保留豐富的細節、具有良好的抗噪型，而且邊緣的定位比較準確。

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[12]張德豐．Matlab 小波分析[M]．北京：機械工業出版社，2009．