小波變換在圖像邊緣檢測中的應(yīng)用

鮑雄偉

（長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064）

圖像包含了人類所需要認(rèn)識(shí)世界，進(jìn)而改造世界的大部分的信息量。統(tǒng)計(jì)表明：人類所獲取的信息量有是來自于圖像，所以與圖像相關(guān)的信息處理研究已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、電子學(xué)、通信等多學(xué)科領(lǐng)域的跨學(xué)科研究的熱門研究課題。邊緣[1]包含了圖像的重要信息，是指圖像中灰度發(fā)生跳變的部分，是圖像最基本的特征之一。因此，圖像邊緣檢測又成為了圖像處理中非常重要的研究課題之一。圖像邊緣檢測質(zhì)量的好壞，直接影響圖像檢索的結(jié)果。目前已經(jīng)有很多的經(jīng)典的邊緣檢測算子：Sobel算子[2]，Prewitt算子[3]，Roberts算子[4]，Log 算子[5]，Canny[6]算子等。

圖像邊緣就是二維圖像中奇異點(diǎn)的集合，反映在頻域內(nèi)，表現(xiàn)為高頻信號(hào)，而圖像噪聲也為高頻信號(hào)，這使得邊緣與噪聲很難分得開。邊緣檢測不僅要從圖像中檢測出奇異點(diǎn)，還應(yīng)該準(zhǔn)確的區(qū)分出邊緣與噪聲。但是傳統(tǒng)的處理算法并不能很好的區(qū)分出圖像的邊緣與噪聲[7-8]。小波變換[9]有著非常了得的“時(shí)頻”局部化分析，這為在圖像的邊緣檢測中提供了新的方法[10]。本文充分地考慮到小波變換的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出3次樣條平滑濾波算子，對(duì)圖像進(jìn)行了不同尺度下的小波變換，設(shè)置了合理的閾值，在每一種尺度下提取到圖像的邊緣，然后綜合多尺度邊緣形成了最后真正的邊緣。

1 3次B樣條小波的構(gòu)造

眾多參考文獻(xiàn)[11]給出3次B樣條小波在邊緣提取等實(shí)際應(yīng)用中漸進(jìn)最優(yōu)的。因此選擇3次B樣條小波作為平滑函數(shù)，下面來構(gòu)造3次B樣條小波。

Nm（x）為m次的B樣條函數(shù)，由于B樣條可以很好地近似Gauss函數(shù)，選擇B樣條的一階微分為小波函數(shù)，m階B樣條小波就是m+1階B樣條在2j尺度上的一階微分:

B樣條函數(shù)具有偶對(duì)稱性，小波函數(shù)具有奇對(duì)稱性，并且小波函數(shù)與其尺度函數(shù)是正交的?？紤]①當(dāng)m為奇數(shù)有如下關(guān)系：

那么低通濾波器為：

那么低通濾波器為:

小波函數(shù)ψm與尺度函數(shù)Nm存在如下關(guān)系:

此時(shí)，有限脈沖響應(yīng)不在整數(shù)節(jié)點(diǎn)上，調(diào)整后可得到高通濾波器的系數(shù)為：

綜上，得到3次B樣條濾波器的值，如表1所示。

表1 3次B樣條濾波器的系數(shù)Tab.1 The filter coefficient of the third B-spline

2 小波邊緣檢測的構(gòu)造

設(shè)二維圖像信號(hào)為 I（x，y），以 θ（x，y）作為平滑函數(shù)，這樣 I（x，y）經(jīng)平滑之后的梯度為：

這里的尺度 S=2j，θ（x，y）沿 x，y 兩個(gè)方向上的導(dǎo)數(shù)作為基本小波：

小波變換的兩個(gè)分量在尺度為S=2j時(shí)為：

則小波變換在尺度為S=2j的模與幅角，分別為：

小波變換的模M2jI（x，y）正比于梯度向量的模，M2jI（x，y）在（x，y）方向取極大值的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著 I（x，y）的突變點(diǎn)，在尺度2j下的邊緣點(diǎn)就是M2jI（x，y）沿梯度方向的模極大值出的點(diǎn)，利用該特性就可以進(jìn)行圖像的邊緣檢測。

3 利用小波變換進(jìn)行圖像邊緣檢測

多尺度局部模極大值邊緣檢測就是沿著梯度方向，在閾值的約束下檢測出各尺度下小波變換的模極大值。在小尺度下，圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息較為豐富，邊緣定位精度較高，但容易受到噪聲的干擾；在大尺度下，圖像的邊緣穩(wěn)定，抗噪聲性能好，但定位精度較差，所以把它們的優(yōu)點(diǎn)集合起來，通過在不同尺度上進(jìn)行綜合得到最終邊緣圖像。即利用大尺度下能抑制噪聲，可靠地識(shí)別邊緣，而在小尺度下定位精度精確的優(yōu)點(diǎn)。具體的步驟為：1）對(duì)原始圖像進(jìn)行預(yù)處理[1]，主要是去噪以及增強(qiáng)；2）對(duì)預(yù)處理后的圖像進(jìn)行小波變換，分別得到模圖像族為 Ms（x，y）和相角圖像族為 As（x，y）；3）在模圖像中沿著相角方向找出模的局部極大值點(diǎn)，得到可能的邊緣Bs（x，y），這時(shí)將其他的像素點(diǎn)置為零；4）將Bs（x，y）中的連續(xù)的點(diǎn)構(gòu)成為一條鏈，然后求出所得到的每一條鏈的長度以及平均模值，設(shè)定一個(gè)合理的閾值，將那些鏈長和模值小于已設(shè)定的閾值的鏈去除掉，得到了最大尺度下單像素寬的圖像 Ej（x，y）；5）對(duì)于 Ej（x，y）中的每一條鏈的兩端點(diǎn)，在（j-1）尺度下搜索對(duì)應(yīng)位置處的3×3鄰域，將模值相近且幅角相似的點(diǎn)補(bǔ)充到邊緣圖像 Ej（x，y），生成 Ej-1（x，j）邊緣圖像；6）再次讓 j減 1，依次循環(huán)，直到j(luò)=1，即為最后綜合形成的邊緣圖像。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

將本文所介紹的三次B樣條小波變換的邊緣檢測與多尺度邊緣綜合的方法相結(jié)合，得到如圖所示的結(jié)果。圖1中（a）lena 原始圖像；（b）prewitt算子對(duì) lena 原始圖像進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果；（c）本文方法對(duì)lena原始圖像進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果。 圖 2 中（a）lena加椒鹽噪聲后的圖像；（b）prewitt算子對(duì)lena含噪圖像進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果；（c）本文方法對(duì)lena含噪圖像進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果。

通過Matlab仿真[12]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，利用本文所提到的方法較傳統(tǒng)的邊緣檢測算子能夠更加比較準(zhǔn)確的檢測到一幅圖像的完整的清晰的邊緣，且通過對(duì)含噪圖像的檢測表明傳統(tǒng)的邊緣檢測方法受噪聲的影響較大，抗噪聲性能較差，而利用本文提出的方法則得到很好的結(jié)果。這說明本文所提到的方法不僅能準(zhǔn)確的得到圖像的完整的清晰地邊緣，而且具有較強(qiáng)的抗噪聲性能。

圖1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果1Fig.1 The first results of experiment

圖2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果2Fig.2 The second results of experiment

5 結(jié) 論

本文主要是利用B樣條函數(shù)作為小波函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行小波變換，利用其多尺度特性，在不同的尺度下，對(duì)圖像進(jìn)行小波變換，再結(jié)合自適應(yīng)閾值方法，在每種尺度下分別提取處圖像的邊緣，然后綜合多尺度邊緣，得到圖像精確的單像素邊緣。仿真結(jié)果表明：利用該方法得到的邊緣不僅能保留豐富的細(xì)節(jié)、具有良好的抗噪型，而且邊緣的定位比較準(zhǔn)確。

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