投影尋蹤模型在地下水水質評價中的應用

張 鵬

(新疆巴州水利水電勘測設計院，新疆 庫爾勒841000)

投影尋蹤模型在地下水水質評價中的應用

張 鵬

(新疆巴州水利水電勘測設計院，新疆 庫爾勒841000)

通過分析常用水體質量評價模型的缺陷，提出了基于序列二次規劃算法的投影尋蹤評價模型，并利用多項式插值的方法進行水質分類，取得了符合客觀實際的評價結果。某水源地地下水質量評價結果表明:利用投影尋蹤方法可以揭示高維數據的結構特征，所建立的評價模型不僅簡單、直觀和易于理解，而且結果合理，為水源地的保護和合理利用提供了決策依據。

序列二次規劃算法;投影尋蹤;地下水;質量評價

目前，對由高維數據樣本構成的水質指標，傳統上依靠基于多元分析的統計手段進行評價。這類方法用于分類的過程存在人為干擾，導致分類與評價結果的人為傾向。而且監測得到的數據部分是偏態的和非線性的，不滿足正態假定，這樣傳統的統計手段對水質進行劃分就比較困難。同時在數據維數較高時，水體中多個水質指標間的相互作用關系極為錯綜復雜，傳統的多元線性回歸、灰色或模糊數學模式等還未能予以有效地克服［1］。

投影尋蹤(Projection Pursuit，簡稱PP)方法是處理和分析高維數據(尤其是高維非正態數據)的一類新興的統計方法，對監測數據不做正態等任何假定，能充分利用高維數據中的所有信息［2，3］，但由于存在目標函數優化困難的原因，使其在應用上受到一定的限制。序列二次規劃算法(Sequential Quadratic Programming，簡稱 SQP)是求解這類中小規模非線性約束最優化問題的有效方法［4－7］，近年來在過程系統優化中得到了大量的應用。

因此，本文利用基于SQP算法的投影尋蹤模型對水質進行評價。

1 投影尋蹤評價模型的建立

投影尋蹤方法的基本思想是:利用計算機技術，把高維數據通過某種組合，投影到低維(1～3維)子空間上。然后通過優化投影指標函數，求出能反映原高維數據結構或特征的投影向量，在低維空間上對數據結構進行分析，以達到研究和分析高維數據的目的。評價模型的建立過程如下［8］:

假定有m行n列的水質監測數據矩陣Xm×n，其中m代表監測井數，n代表每個監測井的監測項目。

1.1 評價指標值的歸一化

設研究方案集為:{x*(i，j)|i=1，2，…，n;j=1，2，…，p}

其中:x*(i，j)為第i個方案第j個評價指標值;n，p分別為方案的數目和評價指標的數目。為消除各評價指標的量綱和統一各評價指標的變化范圍，對越大越優型評價指標可采用下式進行極值歸一化處理:

對越小越優型評價指標可采用如下進行極值歸一化處理:

式中:xmin(j)、xmax(j)分別為方案集中第j個評價指標的最小值和最大值。通過式(1)和式(2)得到的x(i，j)統一為［0，1］區間上的評價指標。

1.2 構造投影指標函數

PP模型就是把 p維數據{x(i，j)|j=1，2，…，p}綜合成以a=(a(1)，a(2)，…，a(p))為投影方向的一維投影值。

然后根據{z(i)|i=1，2，…，n}的一維散布圖進行方案優選，式(3)中a為單位長度向量。

在綜合投影值時，要求投影值z(i)的散布特征應為:局部投影點盡可能密集，最好凝聚成若干個點團;而在整體上投影點團之間盡可能散開。基于此，投影指標函數可構造為:

式中:Sz為投影值z(i)的標準差，Dz為投影值z(i)的局部密度，即

式中:Ez為系統{z(i)|i=1，2，…，n}的均值;R為局部密度的窗口半徑，它的選取既要使包含在窗口內的投影點的平均個數不能太少，避免滑動平均偏差太大，又不能使它隨n的增大而增加太高，R可以根據試驗來確定，一般可取值為0.1Sz;距離;rij=|z(i)－z(j)|;u(R－rij)為一單位階躍函數，當t≥0時其函數值為1，當t＜0時其函數值為0。

1.3 優化投影指標函數

當方案集給定時，投影指標函數Q(a)只隨投影方向a的變化而變化。不同的投影方向反映不同的數據結構特征，最佳投影方向就是最大可能暴露高維數據某類特征結構的投影方向。通過求解投影指標函數最大化問題可估計最佳投影方向，即:

這是一個以{a(j)|j=1，2，…，p}為優化變量的復雜非線性優化問題，用常規優化方法處理較困難。本文中采用SQP進行優化求解。SQP算法通過求解一系列二次規劃子問題(Quadratic programming，QP)來獲得原命題的最優解。該算法具有全局收斂性和超線性收斂速度［4，6］。由于SQP算法對初值的要求較高，不同的初值得到的結果精度不一。為了克服這一缺點，文中隨機對向量A進行100次賦初值，然后分別進行優化求解。

1.4 分類

把由步驟3求得的最佳投影方向a*代入式(3)后即得各方案的投影值z*(i)。將z*(i)與z*(j)進行比較，二者越接近，表示樣本i與j越傾向于分為同一類。若按z*(i)值從大到小排序，則可以將樣本從優到劣進行排序。同時，根據各經驗等級和各經驗等級對應的投影值z*(i)建立投影尋蹤等級評價模型y=f(z*)，然后將待評價樣本進行歸一化處理，計算待評價樣本的投影值z*(i)，將投影值z*(i)代入投影尋蹤等級評價模型y=f(z*)，最后得出各評價樣本的所屬等級。

2 應用實例

某市有一重要水源地，采用《地下水質量標準》(GB/T14848－1993)作為評價的標準。結合地下水水質標準及實際監測指標，選取 Cl－、SO42－、礦化度、總硬度、CODMn與F－共7項指標作為評價因子。

根據研究區地下水水質監測及水化學分析成果，考慮到各監測井的實際水質情況并為便于計算，選取數據較為完整的10個監測井的監測數據(表2)共10組數據進行評價。

表1 地下水質量評價標準(GB/T14848－1993)mg/L

表2 各井監測項目評價指標值 mg/L

其中，樣本個數m=10，水質指標個數n=7，利用上述投影尋蹤評價模型，先用式(1)對表1中的數據進行預處理，然后建立評價模型。得最大投影指標函數值為7.852，最佳的投影方向 A=(0.211 3，0.391 4，0.477 6，0.246 4，0.695 5，0.115 3，0.127 9)。

把最佳投影方向A代入式(2)后即可計算出各監測井的投影值Z(i)，然后根據計算得到的投影值Z(i)，利用多項式插值對各井進行水質分級，計算得到的水質等級見表3。

表3 各監測井的投影值與水體質量等級

從表3可以看出，研究區的水體質量狀況尚可，多為Ⅱ、Ⅲ類水質，符合飲用水水質標準。最佳投影方向A各分量絕對值的大小實質上反映了各水質指標對水體質量等級的影響程度，A中各分量絕對值越大則對應的水質指標對水質的影響程度就越大，本區影響水體質量的水質指標從大到小依次為總硬度、F－、SO42－、礦化度、Cl－、NH4+、CODMn。

3 結論

1)將多維數據轉化為一維指標值時，可能會造成部分數據之間所隱含信息的丟失，對結果產生一定的影響，因此應選擇合適的數據處理方法。

2)SQ算法具有全局收斂性和超線性收斂速度。能快速計算出反映高維數據特征結構的最佳一維投影指標方向值。是處理中、小規模優化問題最有效的一種算法，可以作為投影尋蹤評價模型的輔助尋優工具。

3)最優投影值能夠在一定程度上反映水體各評價指標影響程度的大小，同時，計算簡單可行。模型準確反映了水體質量等級與投影值之間的非線性對應關系，等級劃分界限清晰，為地下水質量評價研究領域提供了新的思路和方法。

［1］Simeonov V.Environmetric strategies to classify.interpret and model risk assessment and quality of environmentalsystems［J］.Clean Technologies and Environmental Policy，2003，2(5):190 － 199.

［2］莊世堅.用投影尋蹤技術評價環境質量［J］.環境保護.2002，(2):25－26.

［3］Dingding Li，Thanasis Stengos.The partially linear regression model:Monte Carlo evidence from the projection pursuit regression approach［J］.Economics Letters，2001，75(2):11 － 16.

［4］徐成賢.近代優化方法［M］.北京:科學出版社.2002.

［5］陳寶林.最優化理論和算法［M］.北京:清華大學出版社.2002.

［6］張菊亮，章祥蓀.一個等式約束問題的 SQP方法及其收斂性［J］.應用數學學報.2001，24(1):129.

［7］金菊良，丁晶.水資源系統工程［M］.成都:四川科學技術出版社.2002.

［8］李祚泳.投影尋蹤技術及其應用進展［J］.自然雜志.1997，19(4):224－227.

Application of Projection Pursuit Model to Comprehensive Evaluation of Groundwater Quality

ZHANG Peng
(Bazhou Exploration Design Institute of Hydro－power and Water Resources，Kurle 841000，China)

The paper analyzes limitations of the traditional models of water quality evaluation，promotes a projection pursuit evaluation model based on sequential quadratic programming algorithms.Classification of water quality is carried out using a polynomial interpolation method and the results are in a good agreement with the practical situations.The results show that the projection pursuit method can disclose the structure features of the high dimensional data.The evaluation model is simple and easy to understand and its result is valid and provides a decision basis for reasonable protection and utilization of well fields.

Sequential Quadratic Programming Algorithms;projection pursuit;groundwater and quality evaluation

X824

A

1004－1184(2012)03－0027－02

2012－02－03

張鵬(1979－)男，新疆庫爾勒人，工程師，主要從事水利工程規劃設計工作。