小波多尺度時間序列在船舶和海洋平臺運動極短期預報中的應用

，，

(1．江南大學自動化研究所 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2．中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082)

浮式海洋平臺及船舶在海浪、海風等環(huán)境因素影響下，其運動是一個非線性隨機過程，特別是在高海情下更加明顯。運動短期預報可以提前幾秒或十幾秒預報出平臺的運動姿態(tài)或其運動趨勢，為鉆桿柱的主動運動補償以及直升機起降等作業(yè)提供作業(yè)指導，對提高平臺的工作效率和運行安全性具有重要的意義。

近20年時間，利用時間序列分析法對船舶運動姿態(tài)進行極短期預報得到了長足的發(fā)展，時間序列法無需知道船舶運動姿態(tài)響應的狀態(tài)方程，僅僅利用運動的歷史數(shù)據(jù)尋求規(guī)律進行預報。AR模型法[1]算法簡單、運行速度快，但其假設船舶在海浪中的運動姿態(tài)為一平穩(wěn)的窄帶隨機過程，但實際海況下的船舶運動是非線性的，在預報精度上仍有待提高，艏前波法[2]建立在對即將遭遇的波浪預先測量，以及浮體對波浪激勵的運動響應模型的基礎上，實際使用中在測量手段上存在一定的困難。近年來，混沌時間序列的建模和預測已成為信息處理研究領域中的一個重要研究熱點[3-4]。本文在遞推最小二乘算法(RLS)的基礎上引入小波多尺度分析法，對所測船舶運動時間序列進行預處理，將其分解為若干層近似意義上的平穩(wěn)時間序列，再使用Volterra自適應預報模型對每層的單支重構信號進行預報，最后綜合每層的預報值得到原時間序列的預報值。

1 小波多尺度分析法

給定一個時間序列x(k)，選取不同的小波函數(shù)對其進行一次小波變換，可將其分解成近似部分C1和細節(jié)部分D1，然后對近似部分C1繼續(xù)分解，可得到尺度2上的近似部分C2和細節(jié)部分D2……，如此下去，即可實現(xiàn)對時間序列x(k)的多尺度分解。

小波多尺度分析可由Mallat算法實現(xiàn)。Mallat算法如下：

1)信號分解。

(1)

式中：H，G——低通濾波器和高通濾波器；

圖1 塔式分解算法示意

cj，dj——原始信號在分辨率2-j下的近似信號和細節(jié)信號。

2)信號重構。

cj=H*cj+1+G*dj+1
j=J-1,J-2,J-3,…,0

(2)

圖2 塔式重構算法示意

式中：H*，G*——H和G的對偶算子。

采用Mallat算法，每次分解后得到的細節(jié)信號和近似信號比分解前的信號點數(shù)減少1倍，這對預報是不利的。因此對d1,d2,d3,…,dJ和cJ分別進行單支重構，得到D1,D2,D3,…,DJ和CJ，且有

X=D1+D2+…+DJ+CJ

(3)

2 自適應Volterra級數(shù)預報模型

(4)

(5)

其中：hn(i1,…,in)——n階Volterra核；

p——Volterra濾波器階數(shù)。

這種無窮級數(shù)展開式在工程應用中難以實現(xiàn)，考慮到極短期預測的實效性，必須采用有限截斷和有限次求和的形式。取二階截斷m次求和形式，則Volterra自適應預測濾波器改寫為

(6)

在工程應用中，Volterra自適應濾波器階數(shù)p選取為相空間重構的最小嵌入維數(shù)mmin， 定義二階Volterra自適應預測濾波器的輸入矢量U(k)和系數(shù)矢量H(k)分別為

x2(k),x(k)x(k-1),…,x2(k-M+1)]T

H(k)=[h0,h1(0),h1(1),…,h1(m-1),

h2(0,0),h2(0,1),…,h2(m-1,m-1)]T

(7)

則其狀態(tài)擴展后的系數(shù)總個數(shù)為M=1+m+m(m+1)/2。

式(6)可表示為

(8)

如果利用最小均方誤差(MSE)估計對運動姿態(tài)進行實時在線辨識時，隨著新數(shù)據(jù)的不斷獲取，維數(shù)將不斷增大，勢必會耗費大量存儲空間，故本文采用遞推最小二乘(RLS)算法對式(7)表示的VoIterra自適應濾波器的系數(shù)矢量H(k)進行辨識，也能得到更快的收斂速度。其算法可描述為

(9)

3 小波多尺度時間序列預報算法

{X(k),k=1,2,…}為船舶運動姿態(tài)時間序列，對其進行小波分解，并對各層進行單支重構，可以得到

跟隨小組沿著開滿杜鵑花的河流前行，穿越過喜馬拉雅山白雪皚皚的山丘，攀過山脈頂峰，來到也許是世界上最高的與世隔絕的村莊。

X=D1+D2+…+DJ+CJ

(10)

式中：D1={d1,1,d1,2,…,d1,k};D2={d2,1,d2,2,…,d2,k},…,DJ={dJ,1,dJ,2,…,dJ,k}分別為第一層，第二層，……，第J層細節(jié)信號的單支重構結果。CJ={cJ,1,cJ,2,…,cJ,k}是第J層逼近信號的單支重構結果，則

X(k)=d1,k+d2,k+…+dJ,k+cJ,k

(11)

其n步以后的預報值為

(12)

1)對Dj(1≤j≤J)和CJ建立Volterra自適應預報模型，利用遞推最小二乘(RLS)算法來確定VoIterra自適應濾波器的系數(shù)。

(13)

則原來時間序列的預報值為

(14)

4 仿真計算與結果

仿真采用某船舶分別在頂浪12 kn和艏斜浪25 kn航行過程中縱搖和橫搖運動的實船實測運動數(shù)據(jù)，采樣間隔為1 s。步驟如下。

1)對實船數(shù)據(jù)進行歸一化處理。

(15)

x(k)——歸一化后的時間序列；

N——樣本序列個數(shù)。

2)選取某一特定的小波函數(shù)，對歸一化處理后的時間序列x(k)按式(1)、(2)進行小波分解，并單支重構得式(11)。

3)對小波重構后的d1,k,d2,k,…,dJ,k,cJ,k利用式(7)、(8) 建立Volterra自適應預報模型，按式(9)所示的遞推最小二乘(RLS)算法計算得到式(13)，最終合并各層預報值得式(14)，即為最終的預報值。

首先選取100個實船所測數(shù)據(jù)，按上述步驟計算得出該船在未來10 s的縱橫搖預報值，每間隔1 s引入一個新的數(shù)據(jù)，向后連續(xù)預報100 s。使用Cao方法和C-C方法確定嵌入維數(shù)m=3，時間延遲τ=1，小波函數(shù)選取sym10小波。圖3～6為截取連續(xù)預報90次預報仿真曲線。

圖3 頂浪12 kn縱搖預報曲線

為了更直觀地評價算法的預報性能，以預測均方誤差作為評測標準，預測均方誤差Perr定義為

(16)

圖4 頂浪12 kn橫搖預報曲線

圖5 艏斜浪25 kn縱搖預報曲線

圖6 艏斜浪25 kn橫搖預報曲線

為了更好地考察算法的連續(xù)預報性能，分別超前預報3 s、5 s、7 s、10 s，并計算每次預報的相對均方誤差，見表1。

表1 遞推連續(xù)預報誤差分析 %

誤差分析結果表明，隨著預報時間長度的增加，預報精度明顯下降。本方法較傳統(tǒng)的時間序列分析法在預報10 s時精度依然保持在要求范圍之內。

為進一步對利用小波進行運動預報算法的工程實用性進行分析，選取頂浪12 kn橫搖縱搖運動數(shù)據(jù)進行預報，以分析小波多尺度預報算法中一些參數(shù)對預報效果的影響。

1)分解層數(shù)的選取。選擇頂浪12 kn的縱搖數(shù)據(jù)進行預報，以分析小波分解層數(shù)對預報效果的影響。選用sym10小波，前100 s為建模階段，向后一次預報10 s，小波分解層數(shù)選取1～10層，分別計算其預報誤差，分析結果見表2。

表2 不同小波分解層數(shù)的預報誤差(sym10小波)

仿真結果表明,小波分解層數(shù)對預報誤差有一定的影響。隨著分解層數(shù)的增加，預報誤差隨之降低；但當分解層數(shù)增大到一定程度(5層)后，預報誤差逐漸趨于某一固定值，對預報效果基本已經沒有影響。

2)小波函數(shù)類型的選取。選擇頂浪12 kn的橫搖縱搖數(shù)據(jù)進行預報，以分析所選小波函數(shù)類型對預報效果的影響。分解5層，前100 s為建模階段，向后一次預報10 s，選用不同類型的小波，分別計算其預報誤差，分析結果見表3。

表3 不同類型小波函數(shù)對應縱搖和橫搖的預報誤差

結果表明,小波函數(shù)類型的選取非常重要，當選擇不同類型的小波函數(shù)時，相同海況下的橫搖或縱搖運功預報誤差各不相同，同一類型小波函數(shù)對于同一數(shù)據(jù)，橫搖和縱搖運動的預報誤差也不盡相同。

5 結論

基于小波多尺度分析的混沌時間序列法比傳統(tǒng)時間序列方法具有更大的優(yōu)越性，在預報精度和預報時長方面都優(yōu)于傳統(tǒng)時間序列方法，因此在實船預報中可發(fā)揮重要作用；本文選取sym10小波，為緊支集正交小波，且具有更好的對稱性，可減少重構時的相移。

通過對實船實測數(shù)據(jù)的預報計算，發(fā)現(xiàn)小波函數(shù)類型的選取也非常重要，不同海況及航向、航速的組合具有不同的最適合的小波函數(shù)，因此小波函數(shù)的選取將直接影響預報效果，如何更好地選取合適的小波類型，以后需要進一步研究。

[1] 彭秀艷,趙希人,魏納新,等.大型艦船姿態(tài)運動極短期預報的一種AR算法[J].船舶工程,2001(5):6-8.

[2] 趙希人，彭秀艷，呂淑萍，等.具有艏前波觀測量的大型艦船姿態(tài)運動極短期預報[J].船舶力學,2003,7(2): 39-44.

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[4] 劉長德.基于時間序列的船舶運動建模預報方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學，2009.

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