外壓圓錐殼開孔應力集中系數分析

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(1.武漢船舶職業技術學院 船舶工程系，武漢 430050；2.武漢理工大學 交通學院，武漢 430063)

圓錐殼開孔與圓柱殼開孔一樣具有重要的工程意義，由于圓錐母線與中心線的夾角，其開孔的力學特性比圓柱開孔復雜。目前，關于圓柱殼開孔的研究已比較成熟，關于在圓錐殼上開孔，具有代表性的研究是圓錐殼的精確解與等效圓柱殼的解的比較[1]及討論圓柱殼曲率半徑保持恒定，而圓錐殼的半徑是一個變化量，且是一非圓孔[2]。對圓錐殼開孔的影響因素比較多，力學規律比較復雜。本文旨在分析圓錐殼開孔大小、錐角等因素對應力集中系數及應力分布規律的影響，并分析圍欄加強對降低應力集中系數的影響，提出圓錐殼開孔的加強措施。

為了適應特定環境的需要，圓錐殼開孔中心線幾乎可以與錐殼中心線平行，而圓柱殼是無法實現的。在外壓作用下，圓錐殼開孔會導致應力集中，但關于應力集中的特點以及應力集中的量值均未見系統的研究。本文根據圓錐殼的開孔角度，將其分為三類，采用有限元方法，以錐角為變量，對圓錐殼開孔進行系列計算，分析應力集中系數的規律，為圓錐殼開孔設計提供理論依據。

1 圓錐殼開孔形式及參數定義

與圓柱殼一樣，圓錐開孔也分為正交和斜交開孔兩種形式，開孔形式及參數見圖1。然而圓錐殼正交開孔的定義沒有圓柱殼那樣明確。如果參照圓柱正交開孔[3]的定義，圓錐正交開孔指的是開孔中心線垂直于錐殼中心線，即α=90°(見圖1)。由于圓柱殼母線同中心線平行，因此圓柱殼正交孔實際上是垂直于殼體的，根據這一特性，圓錐殼的正交開孔也可定義為與圓錐殼母線垂直的開孔，即α=90°。以后一種形式作為正交孔的定義，前一種開孔作為一種典型的開孔形式。

圖1 圓錐殼開孔形式及參數

為了表述應力集中的大小，定義應力集中系數k為

k=σ/σn

(1)

式中：σ——開孔處的最大應力;

σn——開孔中心的名義應力，σn=PRZ/t。

2 有限元模型的建立

主要分析理想圓錐殼開孔應力集中系數的大小及應力分布的規律，不對圓錐殼開孔結構進行強度校核，因此結構的計算載荷采用單位載荷，即計算壓力p=1 MPa。

圓錐殼開孔有限元模型采用shell63單元，開孔區域網格劃分較小，單元最小尺寸不超過30 mm，并向四周過渡；對于大傾角開孔，開孔局部區域采用solid45單元。模型小端設置封板，大端剛性固定，小端僅留軸向以及轉動自由度。

3 錐角對應力集中系數的影響

根據變量轉換公式[4]，通過量級分析，略去h/R量級的小量，從而將圓錐殼有矩問題求解的基本微分方程轉換成一個二階復常系數的常微分方程式。計算時保持開孔中心處圓錐殼截面半徑恒定，通過改變錐殼大小端半徑控制錐角的大小。根據開孔中心線與錐殼的關系將開孔分為三類。

1) 第一類開孔，α=90°，開孔中心線與圓錐殼中心線垂直；

2) 第二類開孔，α-β=90°，開孔中心線垂直于圓錐殼曲面；

3) 第三類為大傾角開孔，一般取α=150～180°，中心線與錐殼母線成小夾角。

計算作以下假定：錐段長度L=5 000 mm，開孔半徑a=400 mm，開孔中心位置錐殼半徑RZ=3 000 mm，開孔中心位于錐殼段中心，即z=L/2，錐殼厚度t=20 mm，其余參數根據已知參數求得，計算結果見表1，孔邊殼板的應力分布見圖2～5。

表1 不同錐角情況下孔邊殼板最大主應力

圖2 圓柱殼正交開孔孔邊中面應力 圖3 tanβ=0第三類開孔孔邊中面應力

圖4 tanβ=0.3第一類開孔孔邊中面 圖5 tanβ=0.3第三類開孔孔邊中面應力

從表1可見，隨著圓錐殼半錐角的增大，第一、二類開孔中面主應力逐步增大，其中第二類開孔主應力增加緩慢，而第三類開孔主應力減小，且減小的幅度隨著半錐角的增大而變緩；第三類開孔的最大主應力明顯高于第一、二類開孔。三類開孔中，第二類開孔孔邊殼板主應力最低，第一類介于第二、三類之間。

通過上述分析發現，開孔應力的大小實際上與開孔的面積有較為直接的關系，由于第二類開孔中心線與殼板正交，因此開孔面積最小，且開孔面積幾乎不變；而第一、三類開孔與殼板斜交，開孔面積較大，尤其是第三類大傾角開孔，當半錐角較小時，開孔面積較大，極端的當β=0(圓柱殼)時，開孔面積最大，應力也最大。

以圓錐殼殼板外法線方向作為0°角，將開孔中心線與外法線的夾角定義為新的開孔角度φ，φ=α-β-90°，相應的三類開孔的角度分別為：第一類φ=-β;第二類φ=0;第三類φ=-β+60°。根據新定義的開孔角，在不同半錐角情況下，孔邊殼板的應力集中系數見表2。

表2 不同錐角情況下孔邊殼板應力集中系數

從孔邊殼板的應力云圖可以看出，應力集中發生在開孔前后端，第三類開孔的最大應力位于開孔后端，即圓錐殼直徑較小的一端。開孔前后端曲率半徑存在一定差異，靠大端的曲率半徑大于小端的曲率半徑。

4 結論

圓錐殼正交開孔的應力集中系數最小，大斜角開孔的應力集中系數明顯高于正交開孔，實際應用時應嚴格控制開孔的偏斜角。文中僅討論自由開孔的應力集中系數，其值均較高，但只要采取合理的加強措施，如圍壁加強，可有效降低應力集中系數，滿足工程要求。

[1] 崔維成,裴俊厚,張 偉.圓錐殼的精確解與等效圓柱殼的解的比較[J].船舶力學,2000,4(4):34-42.

[2] 劉殿魁,胡 超. 圓柱殼開孔的應力集中——非圓孔問題的一般解[J].應用數學和力學,1997,18(7):585-602.

[3] 徐秉漢,裴俊厚,朱邦俊.殼體開孔的理論與實驗[M].北京:國防工業出版社,1987.

[4] 崔維成,裴俊厚,張 偉.具有薄殼理論同樣精度的圓錐殼簡化解[J].上海交通大學學報, 2002,36(1):125-128.