基于Monte Carlo方法的艦船裝備系統(tǒng)任務(wù)成功概率模型

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(海軍工程大學(xué) 動力工程系,武漢 430033)

任務(wù)成功概率(mission completion success probability，MCSP)定義為在規(guī)定的任務(wù)剖面內(nèi)，裝備系統(tǒng)能完成規(guī)定任務(wù)的概率，是任務(wù)成功性最根本的度量指標(biāo)[1]。MCSP不僅與裝備自身的可靠性、維修性、使用環(huán)境、任務(wù)要求等因素相關(guān)，還與維修保障密切相關(guān)，因此該指標(biāo)對裝備使用和指揮決策，以及維修保障決策均具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性。基于此，系統(tǒng)的MCSP模型一直是研究的熱點，但縱觀現(xiàn)有的相關(guān)研究[2-5]，由于多是假設(shè)系統(tǒng)組成單元的壽命或故障間隔時間服從指數(shù)分布，沒有考慮單元已工作時間對系統(tǒng)MCSP的影響，且認(rèn)為使用同類備件的單元的壽命也同分布，因而所建模型對于多為老裝備，且壽命或故障間隔時間多為非指數(shù)分布的艦船裝備而言，適用性較差。因此，本文基于Monte Carlo方法，建立綜合考慮系統(tǒng)組成單元獨立但不同分布，且壽命可為任意分布情況下的MCSP模型。

1 問題描述

對于艦船系統(tǒng)而言，由于受海上維修條件所限，維修工作主要是更換備件，MCSP與備件數(shù)量密切相關(guān)，另外，盡管艦船裝備系統(tǒng)十分復(fù)雜，但最終總能簡化為由多個串聯(lián)或并聯(lián)子系統(tǒng)所構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)，因此，計算艦船裝備MCSP的關(guān)鍵在于計算有限備件保障下串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)的MCSP。

2 假設(shè)

1) 故障均可通過更換備件予以排除，不考慮因無法維修而導(dǎo)致的任務(wù)失敗，即任務(wù)成功與否僅與是否有足夠備件相關(guān)。

2) 忽略更換備件的時間，這是因為若裝備設(shè)計為可通過更換備件排除故障時，換件時間通常很短，與任務(wù)時間相比可忽略不計。這樣，連續(xù)無間斷工作的任務(wù)要求就轉(zhuǎn)換為裝備及其所攜帶的備件的總工作時間能超過任務(wù)時間的要求。

在上述假設(shè)成立的前提下，對于要求系統(tǒng)連續(xù)工作的任務(wù)，系統(tǒng)的MCSP等價于在給定備件保障條件下系統(tǒng)的持續(xù)工作時間大于任務(wù)時間的概率。對于單個單元，當(dāng)假設(shè)備件在儲備期內(nèi)不發(fā)生失效時，可根據(jù)冷儲備系統(tǒng)的理論計算其MCSP[6]；但是，對于由同類備件保障的串聯(lián)或并聯(lián)系統(tǒng)，當(dāng)單元的壽命不服從指數(shù)分布時，很難建立系統(tǒng)的MCSP解析計算模型。因此，本文重點研究串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)的MCSP數(shù)值計算模型。

3 系統(tǒng)MCSP模型

3.1 串聯(lián)模型

系統(tǒng)由n個單元串聯(lián)而成，單元i的壽命為隨機(jī)變量Xi，任務(wù)前累積已工作時間為t0i，各單元相互獨立但不一定同分布，所有單元的故障均可通過更換同類備件予以排除。現(xiàn)在的問題是：當(dāng)系統(tǒng)由m個該類備件保障、執(zhí)行時間為T的任務(wù)，系統(tǒng)的任務(wù)成功概率為多少。

顯然，當(dāng)m=0時，系統(tǒng)的壽命等于原串聯(lián)系統(tǒng)的壽命，即n個單元的壽命的最小值，記原串聯(lián)系統(tǒng)的壽命為Y0，原串聯(lián)系統(tǒng)與m個備件組成的新系統(tǒng)的壽命為Xs，則

(1)

(2)

依次類推，帶m個備件時，由原串聯(lián)系統(tǒng)和m個備件構(gòu)成的新系統(tǒng)的壽命等于m+1個串聯(lián)系統(tǒng)的壽命之和，從而

(3)

上式除指數(shù)分布因具有“無記憶”特性可以直接求解外，對于其它分布，由于剩余壽命的分布函數(shù)發(fā)生變化，直接求解十分困難，因此，利用Monte Carlo抽樣技術(shù)進(jìn)行數(shù)值求解[7]。其計算步驟如下。

1) 利用抽樣公式得到各單元壽命的樣本值xi，從而原串聯(lián)系統(tǒng)壽命的樣本值為y0=min(x1,x2,…,xn)，壽命樣本值等于y0的單元為故障單元。這里，若考慮原工作單元的已工作時間，抽樣公式采用剩余壽命抽樣公式；

3) 根據(jù)故障單元編號，可標(biāo)記各單元已工作時間，從而利用剩余壽命抽樣公式可依次得到y(tǒng)2,…，ym，這樣就得到了Xs的樣本值xs，若xs>T，任務(wù)成功，否則任務(wù)失敗；

4) 將1)～3)的計算過程重復(fù)N次，根據(jù)概率論的理論，當(dāng)N足夠大時，N次計算過程中任務(wù)成功的總次數(shù)與N的比值即為任務(wù)成功概率的近似值。

其中，第j次更換備件后，單元i已工作時間t0ij為

t0ij=t0i(j-1)·pij+yj-1

(4)

式中：t0i(j-1)——第j-1次更換備件后單元i的已工作時間；

pij——第j次更換備件時單元i的狀態(tài)變量，若i故障，pij=0，否則pij=1。

3.2 并聯(lián)系統(tǒng)MCSP模型

對于并聯(lián)系統(tǒng)，由于一個單元故障并不導(dǎo)致系統(tǒng)故障，因此在更換備件時有多種策略，比較典型的兩種換件策略是：單元故障時換件和系統(tǒng)故障時換件。由于換件時機(jī)不同，系統(tǒng)的MCSP計算方法也有所不同。

3.2.1 單元故障時換件的策略

需解決的問題與串聯(lián)系統(tǒng)類似，不同的是單元之間為并聯(lián)關(guān)系，采取的換件策略是一旦有單元發(fā)生故障且還有可用備件，立即更換備件并繼續(xù)投入工作。

當(dāng)m=0時，系統(tǒng)的壽命等于原并聯(lián)系統(tǒng)的壽命，采用與串聯(lián)系統(tǒng)分析中相同的符號，則有

Xs=max(X1,X2,…，Xn)

(5)

當(dāng)m=1時，由于采取了有單元故障就換件的策略，因此原并聯(lián)系統(tǒng)與1個備件構(gòu)建的新系統(tǒng)的壽命相當(dāng)于由兩部分合成。若將更換故障單元的時刻作為并聯(lián)系統(tǒng)的一次壽命終結(jié)，則新系統(tǒng)的壽命等于一個串聯(lián)系統(tǒng)與一個并聯(lián)系統(tǒng)的壽命之和，即

Xs= min(X1,X2,…，Xn)+

(6)

依次類推，原并聯(lián)系統(tǒng)與m個備件構(gòu)建的新系統(tǒng)的壽命相當(dāng)于m個串聯(lián)系統(tǒng)與一個并聯(lián)系統(tǒng)的壽命之和，即

(7)

同樣，對上式也只能利用Monte Carlo抽樣技術(shù)進(jìn)行求解，其算法如下。

1) 利用抽樣公式得到并聯(lián)系統(tǒng)各單元壽命的樣本值Xi，從而原并聯(lián)系統(tǒng)壽命的樣本值為y0=max(x1,x2,…，xn)，各單元壽命的最小值z0=min(x1,x2,…，xn)，壽命樣本值等于z0的單元為故障單元。

3) 按同樣的方法，得到y(tǒng)2，…，ym，z2，…，zm，從而，m=0時，xs=y0；m>0時，xs=z0+z1+…+zm-1+ym，若xs>T，任務(wù)成功，否則任務(wù)失敗。

4) 將1)～3)的計算過程重復(fù)N次，當(dāng)N足夠大時，N次計算過程中任務(wù)成功的總次數(shù)與N的比值即為任務(wù)成功概率的近似值。

其中，第j次更換備件后，單元i已工作時間t0ij的計算方法與串聯(lián)系統(tǒng)一致。

3.2.2 系統(tǒng)故障時換件的策略

當(dāng)采取系統(tǒng)故障才換件的策略時，即并聯(lián)系統(tǒng)的n個單元全部故障才更換備件，最終可能會出現(xiàn)可用備件不足以更換整個并聯(lián)系統(tǒng)的情況，此時的策略是有多少換多少。但由于各個單元的壽命不一定同分布，因此，更換的單元不同可能會導(dǎo)致MCSP的計算結(jié)果不同。為此，必須確定備件不足時的更換原則，無論何種原則，其計算方法是一致的。故不妨設(shè)最后一次更換按單元平均壽命從大到小的順序進(jìn)行。

假設(shè)備件數(shù)量與并聯(lián)單元數(shù)量存在如下關(guān)系。

m=k×n+hk=0,1,2…

(8)

式中：h——小于n的正整數(shù)。

上式表明，m個備件可對并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行k次整體替換，最后一次可更換原并聯(lián)系統(tǒng)中的h個單元。根據(jù)前面的分析思路，在該更換策略下，由n單元并聯(lián)系統(tǒng)和m個備件構(gòu)建的新系統(tǒng)的壽命等價于k個n單元并聯(lián)系統(tǒng)和1個h單元并聯(lián)系統(tǒng)的壽命之和，即

Xs=k·max(X1,X2,…，Xn)+

MCSP=P{k·max(X1,X2,…,Xn)+

(9)

MCSP的數(shù)值算法與前述算法類似，對原并聯(lián)系統(tǒng)的壽命進(jìn)行k次抽樣，對最后一次更換備件所得的并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行1次抽樣，累加這k+1個并聯(lián)系統(tǒng)的壽命樣本值，即可得到Xs的樣本值。

4 示例

根據(jù)任務(wù)需求確定需投入的裝備以及裝備之間的邏輯關(guān)系，同時確定各裝備的可更換單元，以可更換單元作為計算裝備系統(tǒng)MCSP的獨立單元。

按照只要通用同類備件就歸為同類單元的原則，并結(jié)合裝備之間的邏輯關(guān)系，確定裝備系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)F。不失一般性，假設(shè)A、B、C類單元分別由A、B、C類備件保障。

F=A·B1·B2·(C1+C2)

(10)

最后確認(rèn)計算所需的初始數(shù)據(jù)，見表1。為簡化表述，假設(shè)各單元的壽命(h)均為威布爾分布。

表1 算例所需的輸入數(shù)據(jù)

完成上述工作后，即可利用文中給出的串并聯(lián)系統(tǒng)MCSP算法計算艦船裝備系統(tǒng)的MCSP。假設(shè)任務(wù)時間為360 h，并聯(lián)系統(tǒng)采取單元故障時換件的策略，取N=10 000，計算結(jié)果為

MCSPA=0.997 8，

MCSPB=0.907 3，

MCSPC=0.915 9。

從而有

MCSPSYS=MCSPA·MCSPB·MCSPC=

0.829 2。

5 結(jié)論

艦船裝備是一個十分復(fù)雜的系統(tǒng)，裝備之間的負(fù)載分擔(dān)、相關(guān)失效以及裝備自身的多狀態(tài)和多功能等諸多復(fù)雜特性都對系統(tǒng)的任務(wù)成功性存在影響。因此，要準(zhǔn)確計算艦船裝備的任務(wù)成功概率，還有待于在充分考慮上述復(fù)雜特性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步展開深入研究。

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