教會(huì)學(xué)生使用解決動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題的利器：圓規(guī)和硬幣

徐 展

(常州市第二中學(xué) 江蘇 常州 213000)

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理常見(jiàn)的題型，如果能作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，據(jù)軌跡定圓心，幾何關(guān)系找到半徑，這類(lèi)問(wèn)題往往就解決了．但要作出運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)、入射速度方向以及由入射速度大小、比荷、磁感應(yīng)強(qiáng)度決定的軌跡圓半徑就得確定，否則軌跡不確定，而這種軌跡不確定的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，就是近幾年高考考題中時(shí)有出現(xiàn)的“動(dòng)態(tài)圓”問(wèn)題.教師在講解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往會(huì)在黑板上畫(huà)若干個(gè)圓，技巧高者徒手畫(huà)，技巧不夠高者借助工具畫(huà)；也有教師利用Flash、幾何畫(huà)板等軟件制作動(dòng)畫(huà)演示．運(yùn)用這些教學(xué)手段往往只能讓學(xué)生“聽(tīng)懂”，并不能讓學(xué)生“會(huì)做”，在筆者看來(lái)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)做這類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是教會(huì)他們使用解決動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題的利器：圓規(guī)和硬幣．

1 平移硬幣 解決僅入射點(diǎn)不定的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題

【例1】(2007年高考四川卷第21題)如圖1(a)所示，長(zhǎng)方形abcd的長(zhǎng)ad=0.6 m，寬ab=0.3 m，O，e分別是ad和bc的中點(diǎn)，以ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(邊界上無(wú)磁場(chǎng))，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.25 T．一群不計(jì)重力、質(zhì)量m=3×10-7kg，電荷量q=+2×10-3C的帶電粒子以速度v=5×102m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁場(chǎng)射入磁場(chǎng)區(qū)域

A．從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊

B．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊

C．從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在Oa邊和ab邊

D．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和be邊

圖1

解析：計(jì)算粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為0.3 m，恰好和磁場(chǎng)邊界圓半徑相同．取一枚硬幣，若硬幣半徑和題圖中給出的磁場(chǎng)圓半徑不同，可重新作圖，使新圖中磁場(chǎng)圓半徑等于硬幣半徑．現(xiàn)將硬幣右邊緣與磁場(chǎng)圓重合，然后將硬幣向上平移，按硬幣右邊緣作出若干圓弧，如圖1(b)，圓弧與磁場(chǎng)圓交點(diǎn)即粒子的出射點(diǎn)，過(guò)出射點(diǎn)作圓弧切線得粒子出射速度方向，可以判斷選項(xiàng)D正確．

小結(jié)：解決軌跡圓半徑確定、入射方向確定、僅入射點(diǎn)不確定的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題，平移硬幣作幾個(gè)圓或幾段圓弧即可．在課堂教學(xué)中，教師可以用硬紙板剪成大小適中的圓(筆者用圓半徑15 cm)，用該紙板圓替代學(xué)生手里的硬幣，在黑板上演示如何平移；有條件的學(xué)校還可以用實(shí)物投影儀直接演示如何平移硬幣．

2 用圓規(guī)解決僅半徑不定的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題

【例2】(2010年高考全國(guó)卷Ⅱ第26題)圖2(a)中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里．圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里．假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域．不計(jì)重力．

(1)已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；

(3)若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問(wèn)磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)．

圖2

小結(jié)：解決入射點(diǎn)、入射方向確定，僅半徑不確定的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題，找到圓心組成集合，用圓規(guī)按半徑從小到大的順序作幾個(gè)圓或幾段圓弧就能找到解題思路．有些學(xué)生可能可以直接找到半徑最小或者最大對(duì)應(yīng)的臨界情況，但是對(duì)于大多數(shù)初次接觸這類(lèi)題目的學(xué)生，用圓規(guī)作半徑逐漸增大的圓有助于順利地找到臨界情況，從而確定臨界條件．

3 旋轉(zhuǎn)硬幣解決僅入射方向不確定的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題

(2)此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間．

圖3

(3)第(2)問(wèn)中作出圓弧對(duì)應(yīng)圓心角最大為240°，此情況下粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)為2t0，該粒子最后離開(kāi)磁場(chǎng)，此即從發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間．

小結(jié)：解決入射點(diǎn)、半徑確定，入射方向不確定的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)硬幣作幾個(gè)圓或幾段圓弧有助于找到臨界情況．必須注意，分析半徑確定的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題，無(wú)論是平移還是旋轉(zhuǎn)硬幣，都必須認(rèn)識(shí)到題圖中給出的長(zhǎng)度與硬幣大小往往不匹配，此時(shí)要重新作圖，使得長(zhǎng)度匹配后才能平移或旋轉(zhuǎn)硬幣尋找解題思路．

4 用圓規(guī)和“心中”的硬幣解決入射方向半徑都不定的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題

【例4】(2011年高考廣東卷第35題)如圖4(a)所示，在以O(shè)為圓心，內(nèi)外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一電荷量為+q，質(zhì)量為m，不計(jì)重力的粒子從內(nèi)圓上的A點(diǎn)進(jìn)入該區(qū)域，速度大小為v，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，問(wèn)磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)小于多少？

圖4

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題因其軌跡不定而難度較大，教學(xué)過(guò)程中如果只注重“教師講”，而忽視“學(xué)生練”，學(xué)生就容易出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的情況，教會(huì)學(xué)生利用圓規(guī)和硬幣尋找解題思路才能使學(xué)生真正掌握動(dòng)態(tài)圓問(wèn)題的處理方法．