對一道運動學問題的深度思考

何 勇

(新疆兵團二中 新疆 烏魯木齊 830002)

在“烏魯木齊地區2011年高三年級第一次診斷性測試”中，一道考查學生關于運動學的選擇題引起了筆者的思考．

【例1】某興趣小組作如下實驗：將3塊外形相同的正方形木板甲、乙、丙，如圖1拼接起來放在水平地面上.一可視為質點的小物體以一定的初速度依次滑過3塊木板．小物體與3塊木板的動摩擦因數之比為μ甲∶μ乙∶μ丙=1∶2∶3；如果小物體每次初速度相同，3塊木板的順序可任意拼接.若要小物體滑過3塊木板所用的時間最短，小物體依次滑過三塊木板的順序為

A.甲、乙、丙 B.丙、乙、甲

C.乙、甲、丙 D.乙、丙、甲

圖1

首先，本道題應該保證“木板在地面上靜止不動”，這一點題目表述含糊不清．3塊木塊拼接起來，成為一個長是寬的3倍的矩形.小物體運動的軌跡平行于矩形的長邊.

接下來，對甲、乙、丙如果在地面上不滑動，進行以下分析．

設每塊木板的寬度均為L，小物體滑上木板的初速度為v0，離開時速度為vt，小物體在木板上滑動根據動能定理可得

-μ甲mgL-μ乙mgL-μ丙mgL=

根據上式可知：小物塊以相同初速度v0從一端滑上木板，離開時末速度vt也一定相等．

1 對兩個木板運動的分析：令μ甲<μ乙

(1)圖像法

由于滑塊在每塊木板上都做勻減速運動，在保證相同的初速度下，且每塊木板上滑行的位移相同，則末速度必然相同，可畫出圖2(a)、(b)對應的v-t圖，如圖2(c).

根據v-t圖可知，按圖2(a)運動的時間ta較圖2(b)運動的時間tb要短．

圖2

(2)平均速度法

設物體滑到中點的速度為v，則其從左端滑到右端，有

t=t1+t2

根據以上兩式可知：要想使物體在物塊上運動的時間最短，必須保證小物體運動到中間的速度較大；故圖2(a)較圖2(b)方式的時間要短．

通過以上兩種方法都可以確定先滑過光滑面，后滑過粗糙面的時間較短．同時可以推廣到3塊木板很容易分析得出結論：依次滑過甲、乙、丙的時間最短，選項A正確．

2 推廣到在多塊木塊的減速運動

在分析之前不妨先來看一個相關問題.

【例2】如圖3，一個木塊滑上一個粗糙程度不均勻的固定水平木板，如果木板從A端至B端與滑塊的動摩擦因數連續增大．試判斷滑塊從哪一端滑上木板的時間較短？

圖3

解析：設物體的初速度為v0，末速度為vt，摩擦力做功為Wf.

根據動能定理可得

經分析木塊從甲端滑至B端和木塊從B端滑至甲端，摩擦力做功相同，由上式可以得出，木塊的末速度vt也相同，其運動的v-t圖如圖4所示．顯而易見，tAB

圖4

如果滑塊與木板間各處的動摩擦因數不同，而木板可以無限分割并且可以任意拼接，當木板按照動摩擦因數從小到大的順序排列時，滑塊在木板上運動時間是最短時間嗎？

構造模型：如圖5所示，一個可視作質點的質量為m1的物塊，滑上一個粗糙程度不同的木板．

圖5

問題分析：假設將AB之間粗糙水平面分成n段，其速度分別記作v1，v2，…，vj，vj+1，…，vn，vn+1，在可以看成相等很小位移Δl的動摩擦因數分別記作μ1，μ2，…，μj，μj+1，…，μn-1，μn，設{μn}為任意排列．

現將其中任意一段當做勻減速直線運動來處理，可以列出方程組

將以上各方程組累加可得

對于其中任意一段Δl的運動時間

所以，滑塊從A端滑到B端的總時間

μ1<μ2<…<μn-1<μn

μ1>μ2>…>μn-1>μn

探究結論：一個物體從光滑端向粗糙端滑行的時間最短，從粗糙端向光滑端滑行的時間最長．

現在，再來看物塊滑過3個木板按甲、乙、丙拼接，小物體滑過3塊木板所用的時間最短；物塊滑過3個木板按丙、乙、甲拼接，小物體滑過3塊木板所用的時間最長就顯而易見了．