關于均勻帶電球殼表面場強的研究

夏亞春

(江蘇省東臺中學 江蘇 鹽城 224200)

1 根據點電荷場強公式應用微積分解之

圖1

為了求其表面的場強，可以將球殼分成“微元”球帶，如圖1所示．球帶上某一小微元AB在球面上P點產生的場強方向如圖1中dE′所示，由對稱性可知，整個球帶在的P點產生的場強矢量合成的結果沿z軸方向．

則整個球面上的電荷在該處產生的場強為

2 緊扣孤立電容器模型巧用功能關系

設均勻帶電球殼的半徑為R，所帶的電荷量為Q，取無窮遠處電勢為零，則球面上的電勢為

(1)

均勻帶電球殼的電容為

(2)

該電容器的靜電能為

(3)

若將該球殼的半徑由R增加到(R+Δr)，其中Δr為無窮小量，則電勢能的減少量為

(4)

在移動無窮小量Δr的過程中，可以認為球面上的場強大小不變．由對稱性可知均勻帶電球殼表面的場強方向均沿半徑方向，且各處場強的大小相等．因此在該微元過程中，電場力做的功為

W=EQΔr

(5)

由功能關系可知

W=Δε減

(6)

由式(4)～(6)可得

忽略無窮小量Δr，可得

3 運用疊加原理滲入極限思想

如圖2所示，在球面上取一個以P點為圓心的圓形小面元，該小面元的半徑遠遠小于球的半徑，則該小面元可以看成平面．在小面元的內外兩側取無限逼近P點且關于P點對稱的A，B兩點，A，P，B三點在球殼的同一條半徑上，則對A，P，B三點來講，小面元又可看成無限大平面．

A，P，B三點的場強均是由小面元上的電荷產生的場強和小面元以外的電荷產生的場強疊加而成的．由于三點無限接近，所以球殼上小面元以外的電荷在A，P，B三點產生的場強相等，由對稱性易知方向均沿半徑向外，設其大小為E其余．

圖2

由于對A，P，B三點來講，小面元可看成無限大平面，因而小面元在A，B兩點產生的場強大小相等，方向相反，在A處場強方向指向圓心，在B處場強方向沿半徑向外，設其大小為E小面元．又由于P點是小面元的正中心，所以小面元在P點產生的場強為零．

由高斯定理可知，A點的場強EA=0，綜上所述則有E小面元=E其余．同樣根據高斯定理易知B點處的場強為

解之得

由于小面元在P點產生的場強為零，即

以上討論提醒我們在物理教學和物理學習中絕不能憑主觀感覺妄下結論，要善于建立準確巧妙的物理模型，運用數學和物理方法進行嚴密的推理和運算，這樣得出的結論才是可靠的．而如何建立物理模型和建立怎樣的物理模型正是物理思想的重要體現，是物理能力的核心所在，是學生學習和研究物理所必需的重要素質．