尺度因子自適應的UKF算法在目標跟蹤中的應用

侯建華，劉 倩，笪邦友，馬曉路

(中南民族大學電子信息工程學院，武漢430074)

在目標跟蹤領域，當系統的狀態方程和觀測方程是線性時，普通的卡爾曼濾波可以達到較好的跟蹤效果［1］.而在實際應用中，現實背景復雜多變，導致系統方程或觀測方程往往是非線性的，因此若采用線性的卡爾曼濾波跟蹤，就會變得不穩定甚至發散，導致跟蹤失敗.傳統的解決非線性估計問題的方法是采用擴展卡爾曼濾波器，1995年，Baumberg等提出了基于擴展卡爾曼濾波(EKF)的跟蹤方法［2］.該算法是對非線性的系統方程或觀測方程進行泰勒展開，取其一階近似項，這種把非線性問題線性化的處理會不可避免地引入線性化誤差，此外，系統方程或觀測方程的Jacobian矩陣計算非常復雜、耗時，影響整個算法的實時性.為了解決此問題，Julier等提出了用Unscented卡爾曼濾波器來解決非線性濾波的問題［3］.Unscented卡爾曼濾波的核心部分是Unscented變換，它采用一組精心選擇的加權采樣點(Sigma)來表達系統的統計特性，這些采樣根據真正的非線性方程進化而無需將其線性化.研究表明，UKF 算法與 EKF 算法［4，5］相比，能夠為卡爾曼濾波器提供更好的非線性均值和方差近似解，對系統狀態的估計精度和穩定性都有不同程度的提高.

本文在傳統UKF對稱采樣策略的基礎上，引入了比例修正框架［6］以保證協方差的半正定性，減少非局部效應的發生.此外，UKF采樣過程中，傳統的設定尺度因子的方法是根據實時的環境人工的調整尺度因子α，以得到最優經驗值.為了提高UKF跟蹤算法的實際應用性和智能性，有必要研究一種更優的自適應的尺度因子調整方法.因此，本文將一種尺度因子自適應的UKF算法應用于不同場景的目標跟蹤中，實驗證明該算法具有很好的跟蹤性能和實用性.

1 Unscented變換

Unscented變換是計算非線性變換的隨機變量的統計特征的一種新方法，它使用一組適當選擇的帶權重的離散采樣點(Sigma點)來表征系統狀態概率密度的均值和方差.U具體實現步驟是:把被估計的狀態視為一個隨機變量，在原先狀態分布中按照某種采樣策略［7］采樣一些點，使這些點的均值和協方差與原狀態分布中的均值和協方差相同，然后將非線性變換作用于每一個采樣，得到相應的函數值點集，再求取這些點集的均值和方差，最后通過觀測值調節樣本點的位置，使采樣點集的均值和方差以二階精度逼近原狀態的均值和方差.

假設n是隨機變量x的維數，x的均值為ˉx，協方差為Px，y=f(x)是一個非線性函數，通過Unscented變換估計隨機變量y的均值和協方差的過程如下［8，9］.

(1)根據以下方程確定一組隨機采樣點Xi和采樣點所對應的均值權值W(tm)和方差權值W(ic):其中κ是自由參數，用來捕捉給定分布的高階矩信息，一般對于高斯分布，考慮到4階矩的統計量，通常取n+κ=3.α是尺度因子，控制采樣點和均值ˉx之間的距離.β是用于考慮分布的先驗知識［10］，通常取是矩陣平方根的第i列.

(2)根據非線性變換Yi=f(Xi)計算隨機變量Yi的采樣.

(3)計算隨機變量Yi的均值和協方差:這里列出的Unscented變換是采用對稱采樣策略，文獻［6］證明y均值的計算精度可以精確到三階，對于協方差的精度可以精確到二階.在利用公式(5)求權值時加入了比例修正(1－α2+β)，確保輸出y的協方差的半正定性［11］.在目標跟蹤算法中，就是用這些離散采樣點來表征目標狀態的.

2 尺度因子α的自適應方法

文獻［3］證明可以通過調整尺度因子α的值來控制采樣點到中心點的距離di，在對稱采樣方式下的該距離越遠相應的采樣點的參考價值就越小，即會產生非局部效應.在仿真實驗時可以通過對α取不同的值，從中選擇最優的值以達到最好的跟蹤效果.但在實時環境中，不允許嘗試，必須給出一個具體的尺度因子的取值方案.所以，參考文獻［12］，本文將尺度因子α隨環境自適應變化的算法應用于UKF的目標跟蹤.

假設t時刻的UKF濾波值為x^t/t，真實值為xt/t，而由公式(9)可知，Pt/t表征了預測值與真實值的關系(也就是誤差)，可以近似的計算出x^t/t與xt/t之間的距離dt/t，為了方便計算，利用公式(10)近似計算dt/t:

這種方法的基本思路就是用第k步的濾波值近似覆蓋真值的鄰域O(^xt/t，dt/t)，此作為第t+1樣范圍，使Sigma點(采樣點)到中心點的距離di不超過dt/t，即令:

利用公式(11)求出的 αt+1/t，重新采樣生成Sigma點和相應的權值，完成相應的更新.這樣循環的更新的 α值，就可以得到尺度因子自適應的Unscented變換.

3 UKF對跟蹤系統的建模

UKF是在普通卡爾曼濾波的框架上，將Unscented變換分別應用于均值和協方差的求解，并不斷遞推，就可得到UKF非線性濾波器.

考慮一般的目標跟蹤問題，目標的狀態方程和觀測方程分別為:

其中A為表征運動模型的參數，xt表示t時刻系統的狀態向量，zt為時刻的觀測向量，vt為系統噪聲，ωt為觀測噪聲.

本文UKF濾波過程的實現步驟如下:

1)初始化，根據初始狀態變量x得到均值^x和協方差P0.

2)計算2n+1個加權Sigma點xi(t－1/t－1)來表征系統的狀態分布(其中i=0，1，…，2n，是狀態向量的維數):

得到采樣點集xi(t－1/t－1);根據公式(9)～(11)更新α;最后將更新的αt+1/t代入公式(4)～(7)計算相應的權值W(m)i，W(c)i.

3)預測.由系統狀態方程和觀測方程對各個采樣的Sigma點集里的每個采樣點進行非線性變換，得到變換后的Sigma點集:

計算預測的狀態均值和協方差:

4)觀測更新.計算觀測均值、自相關函數和觀測的互相關函數:

計算狀態更新的濾波增益:

狀態更新后的濾波值:

狀態后驗概率方差陣:

若繼續跟蹤t=t+1，轉(2);否則結束.

4 仿真方案

為了驗證尺度因子自適應的UKF跟蹤算法的效果，分別對傳統的UKF算法和自適應的UKF算法進行了仿真，并對新算法的實用性進行了測試.

4.1 算法的自適應性驗證

4.1.1 仿真條件

在二維直角坐標系中，假設目標做勻速運動，取目標的位置和速度為系統的狀態變量，即→x=［x，y，vx，vy］，x和y表示目標中心點的坐標，vx，vy分別表示x，y的導數，即速度.觀測向量zt的兩個分量分別表示t時刻目標中心處的斜距和方位角，xct和yct分別表示t時刻目標中心處的觀測值.vt是從傳感器得到的噪聲，ωt是從觀測樣本得到的噪聲(仿真時加入隨機噪聲以模擬復雜環境).具體仿真條件如下:

初始狀態向量→x0=［15000，30，15000，30］，Δt=10是采樣間隔.

4.1.2 仿真結果與分析

首先對標準的UKF算法進行仿真，分別取α為0.1，0.3，0.5，0.8，1(其中 α=1 是為最優經驗值).其次，對本文提出的尺度因子α自適應的UKF算法進行仿真.

實驗結果如表1.表1中真值與UKF濾波值的誤差比公式為:

表1 不同α下的跟蹤精度Tab.1 Tracking performance with difference α

從表1可以看出，尺度因子α的不同取值時對跟蹤精度有很大的影響，濾波精度有明顯的差異，因此實際應用時需要人工反復調節α的大小以獲得最優值(α=1)，使真值和濾波值的差異最小.此操作復雜，智能性和實用性不高.

圖1(a)和圖1(b)對比可知，尺度因子α自適應的UKF算法能夠取得和最優經驗值(α=1)時的UKF算法基本相同的跟蹤精度.

圖1 不同α下的跟蹤精度Fig.1 Tracking performance with difference α

4.2 算法的實用性驗證

4.2.1 實驗條件

為了測試本文算法的實用性和智能性，本文分別對動態背景下的行人行走視頻(實驗一)和多干擾復雜環境下的車輛行駛視頻(實驗二)進行試驗，并將仿真結果與卡爾曼濾波的跟蹤算法進行對比.兩組實驗的狀態向量設置為二維空間的目標的位置、速度，即→x=［x，y，vx，vy］，狀態初始值由手動選取目標區域完成，考慮到實時視頻任意相鄰兩幀幀差為幾十毫秒，目標速度基本不會發生變化，所以設置系統運動模型為勻速即狀態轉移矩陣:

A=［1，1，0，0;0，1，0，0;0，0，1，1;0，0，0，1］T，觀測模型參數為t時刻目標中心處的斜距和方位角，如公式(21)，系統噪聲和觀測噪聲均調到最佳.

4.2.1 實驗結果與分析

如圖2所示，本組實驗是在視頻第三幀時，人工的選取要跟蹤的目標(也就是確定初始狀態值)，黑色矩形框是目標的跟蹤框.視頻中的樹木和其他行人構成了變化的背景，地面顏色與選定的目標人物上衣顏色相仿，圖2(a)～(c)中，由于動態背景和周圍雜物的影響，普通的卡爾曼跟蹤算法在第30幀時跟蹤框已經逐漸偏離目標，在第60幀時已經無法對目標進行跟蹤.而圖2(d)～(f)(本文算法實驗結果)具有明顯的優勢，在動態背景環境下，本文算法卻仍然能夠穩定地跟蹤目標.

(1)普通卡爾曼濾波進行人體跟蹤結果如圖2(a)～(c);本文算法進行人體跟蹤結果如圖2(d)～(f).

圖2 卡爾曼濾波和本文算法的比較Fig.2 Comparisons between Kalman filter and improved UKF

(2)普通卡爾曼濾波進行交通車輛跟蹤結果如圖3(a)～(c);本文算法進行交通車輛跟蹤跟蹤結果如圖3(d)～(f).

圖3 卡爾曼濾波和本文算法的比較Fig.3 Comparison between Kalman filter and improved UKF

圖3是普通卡爾曼濾波和本文算法用于監測交通車輛的實驗結果，初始狀態也是通過人工選取，即圖3(a)中的第5幀和圖3(d)中的第2幀中黑色矩形框選定的卡車.視頻中其他來往的車輛構成復雜的非線性背景.實驗表明，在復雜的非線性環境下，普通卡爾曼算法不能達到跟蹤的目的，如圖3(b)所示，在視頻第10幀時黑色跟蹤框已經偏離目標，基本上失去了跟蹤的意義.而本文算法如圖3(f)所示，可以一直很穩定的對目標進行跟蹤，具有很好的跟蹤效果.

綜合圖2和圖3可以看出，不同場景條件下，不用人為的調節尺度因子，本文算法都具有很好的跟蹤效果，自適應能力很強，實用性很好.

5 結語

本文提出的尺度因子自適應的UKF跟蹤算法能夠取得和最優經驗值條件下的普通UKF算法大致相同的精度;在不同的實際環境下都能取得理想的跟蹤效果，提高了非線性濾波的實時跟蹤能力和濾波的數值穩定性，具有非常好的實用價值.

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